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Chapitre 4 – Exercices par capacités

Résolution graphique d'équations et d'inéquations  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 29 juillet 2026

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Résoudre graphiquement \(f(x) = g(x)\)

Rappel de cours — Résolution graphique d'une équation

Résoudre graphiquement \(f(x) = g(x)\) revient à trouver les abscisses des points d'intersection des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).

  1. Tracer (ou observer) les courbes de \(f\) et \(g\) dans le même repère.
  2. Repérer les points d'intersection.
  3. Lire les abscisses de ces points : ce sont les solutions.

S'il n'y a aucun point d'intersection, l'équation n'a pas de solution.

Exercice 1

On considère les fonctions \(f(x) = 2x - 1\) et \(g(x) = -x + 5\), représentées ci-dessous.

x y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 O (2 ; 3) f(x) = 2x − 1 g(x) = −x + 5
Courbes de \(f\) et \(g\) dans le même repère
  1. Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\).
  2. Vérifier par le calcul.
  1. Les deux droites se coupent au point de coordonnées \((2\,;\,3)\).
    L'équation \(f(x) = g(x)\) admet une unique solution : \(x = 2\).
  2. Vérification : \(2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\).
    \(f(2) = 2 \times 2 - 1 = 3\) et \(g(2) = -2 + 5 = 3\). On retrouve bien le résultat.

Exercice 2

Un commerçant compare deux transporteurs pour expédier des colis. Le transporteur A facture selon \(f(x) = 8x + 120\) et le transporteur B selon \(g(x) = 12x + 40\), où \(x\) est le nombre de colis.

Tarifs des transporteurs A et B en fonction du nombre de colis
  1. Résoudre graphiquement \(f(x) = g(x)\). Interpréter.
  2. Vérifier par le calcul.
  3. Quel transporteur choisir pour une expédition de 10 colis ? De 30 colis ?
  1. Les deux droites se coupent en \((20\,;\,280)\).
    Pour \(x = 20\) colis, les deux transporteurs proposent le même tarif de 280 €.
  2. \(8x + 120 = 12x + 40 \Rightarrow 80 = 4x \Rightarrow x = 20\).
    \(f(20) = 160 + 120 = 280\) €. Correct.
  3. Pour 10 colis : \(f(10) = 200\) € et \(g(10) = 160\) € → transporteur B moins cher.
    Pour 30 colis : \(f(30) = 360\) € et \(g(30) = 400\) € → transporteur A moins cher.

Exercice 3

On donne les courbes de \(f\) et \(g\) ci-dessous (\(f\) est une parabole et \(g\) est une droite).

Courbes de \(f(x)=x^2-2\) et \(g(x)=x\)

Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\).

Les deux courbes se coupent en deux points : \((-1\,;\,-1)\) et \((2\,;\,2)\).
L'équation \(f(x) = g(x)\) admet deux solutions : \(x = -1\) et \(x = 2\).

Vérification :
Pour \(x = -1\) : \(f(-1) = 1 - 2 = -1\) et \(g(-1) = -1\). Correct.
Pour \(x = 2\) : \(f(2) = 4 - 2 = 2\) et \(g(2) = 2\). Correct.

Exercice 4

Un traiteur modélise le coût de production de \(x\) lots de repas par \(f(x) = 0{,}5x^2 + 10\) (en centaines d'euros) et son chiffre d'affaires par \(g(x) = 5x\) (en centaines d'euros).

x y 2 4 6 8 10 10 20 30 40 50 O A B f (coût) g (C.A.)
Coût de production \(f\) et chiffre d'affaires \(g\) en fonction du nombre de lots de repas
  1. Lire graphiquement les abscisses des points d'intersection A et B.
  2. Interpréter ces solutions dans le contexte du problème.
  3. Pour quelles valeurs de \(x\) le chiffre d'affaires est-il supérieur au coût ?
  1. Par lecture graphique, les courbes se coupent environ en \(x \approx 2{,}8\) et \(x \approx 7{,}2\).
    L'équation \(f(x) = g(x)\) admet deux solutions approchées : \(x \approx 2{,}8\) et \(x \approx 7{,}2\).
  2. Ce sont les seuils de rentabilité : pour ces quantités, le coût de production est exactement égal au chiffre d'affaires (bénéfice nul).
  3. Le chiffre d'affaires est supérieur au coût (la droite est strictement au-dessus de la parabole) pour \(2{,}8 < x < 7{,}2\) environ.
    Le traiteur réalise un bénéfice en produisant entre 3 et 7 lots de repas (en valeurs entières).

C2 — Résoudre graphiquement \(f(x) \geqslant g(x)\)

Rappel de cours — Résolution graphique d'une inéquation

Résoudre graphiquement \(f(x) \geqslant g(x)\) revient à déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe de \(f\) est au-dessus (ou confondue avec) la courbe de \(g\).

  1. Repérer les points d'intersection des courbes (ce sont les valeurs limites).
  2. Déterminer les zones où la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\).
  3. Écrire l'ensemble solution sous forme d'intervalle(s).

Exercice 5

On reprend les fonctions \(f(x) = 2x - 1\) et \(g(x) = -x + 5\) de l'exercice 1.

x y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 O (2 ; 3) f(x) = 2x − 1 g(x) = −x + 5 f au-dessus de g
Zone colorée : ensemble des \(x\) pour lesquels \(f(x) \geqslant g(x)\)

Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \geqslant g(x)\).

Les deux droites se coupent en \(x = 2\).
Pour \(x \geqslant 2\), la droite de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\).

L'ensemble solution est : \(\boxed{x \geqslant 2}\), soit l'intervalle \([2\,;\,+\infty[\).

Exercice 6

Une association compare deux devis pour organiser un événement. Le devis A est modélisé par \(f(x) = 50x + 200\) et le devis B par \(g(x) = 30x + 600\), où \(x\) est le nombre de participants.

x (participants) y (€) 5 10 15 20 25 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 O (20 ; 1 200) f : devis A g : devis B f en dessous de g
Devis A et B en fonction du nombre de participants
  1. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \leqslant g(x)\). Interpréter.
  2. Pour 15 participants, quel devis est le plus avantageux ?
  1. Les droites se coupent en \(x = 20\). Pour \(x \leqslant 20\), la droite \(f\) est en dessous de la droite \(g\).
    Dans le contexte, \(x\) est un nombre de participants et \(x \geqslant 0\) : l'ensemble solution utile est \(\boxed{0 \leqslant x \leqslant 20}\).
    Interprétation : jusqu'à 20 participants inclus, le devis A est moins cher ou égal au devis B.
  2. Pour 15 participants : \(f(15) = 750 + 200 = 950\) € et \(g(15) = 450 + 600 = 1\,050\) €.
    Le devis A est plus avantageux (100 € de moins).

Exercice 7

On donne les représentations graphiques de \(f\) et \(g\) ci-dessous.

x y −1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 −1 O (0 ; 0) (3 ; 3) f(x) = −x² + 4x g(x) = x
Courbes de \(f(x) = -x^2 + 4x\) et \(g(x) = x\)

Les courbes de \(f(x) = -x^2 + 4x\) et \(g(x) = x\) se coupent en \(x = 0\) et \(x = 3\).

  1. Résoudre graphiquement \(f(x) \geqslant g(x)\).
  2. Résoudre graphiquement \(f(x) < g(x)\).
  1. La parabole \(f\) est au-dessus de la droite \(g\) entre les deux points d'intersection.
    L'ensemble solution de \(f(x) \geqslant g(x)\) est : \(\boxed{0 \leqslant x \leqslant 3}\), soit l'intervalle \([0\,;\,3]\).
  2. La droite \(g\) est au-dessus de la parabole \(f\) en dehors de l'intervalle \([0\,;\,3]\).
    L'ensemble solution de \(f(x) < g(x)\) est : \(x < 0\) ou \(x > 3\), soit \(]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]3\,;\,+\infty[\).

Exercice 8

Une exploitation agricole modélise le rendement \(f(x)\) d'une parcelle (en tonnes) en fonction d'une dose \(x\) d'engrais (en kg) par \(f(x) = -0{,}5x^2 + 6x\). Le rendement minimal visé est \(g(x) = 10\) tonnes.

x (kg) y (t) 2 4 6 8 10 12 5 10 15 20 O (2 ; 10) (10 ; 10) f (rendement) g = 10
Rendement \(f(x)\) et objectif minimal \(g(x) = 10\) tonnes
  1. Résoudre graphiquement \(f(x) \geqslant 10\). Interpréter.
  2. Quelle dose maximise le rendement selon ce modèle ?
  1. La parabole est au-dessus de la droite \(y = 10\) entre les deux points d'intersection.
    Par lecture graphique : \(f(x) \geqslant 10\) pour \(\boxed{2 \leqslant x \leqslant 10}\).
    Interprétation : le rendement prévu atteint au moins 10 tonnes pour une dose comprise entre 2 kg et 10 kg.
  2. Le sommet de la parabole est atteint pour \(x = \dfrac{-6}{2 \times (-0{,}5)} = 6\) kg.
    Le rendement maximal modélisé est \(f(6) = -0{,}5 \times 36 + 36 = 18\) tonnes.
    Selon ce modèle, la dose optimale est de 6 kg.