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Chapitre 4 – Exercices par capacités

Résolution graphique d'équations et d'inéquations  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Résoudre graphiquement \(f(x) = g(x)\)

Rappel de cours — Résoudre graphiquement \(f(x) = g(x)\)

Résoudre \(f(x) = g(x)\), c'est chercher les abscisses des points d'intersection des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\), sur l'intervalle d'étude.

  1. Repérer les deux courbes et le nom de chacune.
  2. Marquer les points d'intersection.
  3. Lire l'abscisse de chaque point : ce sont les solutions.

Le point d'intersection est un couple \((x\,;\,y)\) ; la solution est seulement son abscisse. Le nombre de solutions est le nombre de points d'intersection. S'il n'y en a aucun, on écrit \(\mathcal{S} = \varnothing\).

Exercice 1

Les fonctions \(f(x) = 2x - 1\) et \(g(x) = -x + 5\) sont représentées ci-dessous sur l'intervalle \(I = [0\,;\,6]\).

  1. Lire les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
  2. En déduire la solution de l'équation \(f(x) = g(x)\).
  3. Vérifier en calculant \(f\) et \(g\) à la valeur lue.
  1. Les deux droites se coupent au point de coordonnées \((2\,;\,3)\).
  2. La solution est l'abscisse de ce point : \(x = 2\), soit \(\mathcal{S} = \{2\}\). Répondre « \((2\,;\,3)\) » ou « 3 » est faux : c'est le point, ou son ordonnée.
  3. \(f(2) = 2 \times 2 - 1 = 3\) et \(g(2) = -2 + 5 = 3\). Les deux valeurs sont égales : la lecture est juste.

Exercice 2

Un commerçant compare deux transporteurs pour expédier des colis. Le transporteur A facture \(f(x) = 8x + 120\) euros et le transporteur B facture \(g(x) = 12x + 40\) euros, où \(x\) est le nombre de colis, entre 0 et 35.

  1. Résoudre graphiquement \(f(x) = g(x)\). Interpréter.
  2. Vérifier le résultat en calculant \(f\) et \(g\) à la valeur lue.
  3. Quel transporteur choisir pour une expédition de 10 colis ? De 30 colis ?
  1. Les deux droites se coupent en \((20\,;\,280)\) : \(\mathcal{S} = \{20\}\).
    Pour 20 colis, les deux transporteurs demandent le même prix, 280 €.
  2. \(f(20) = 8 \times 20 + 120 = 280\) et \(g(20) = 12 \times 20 + 40 = 280\). Les deux valeurs sont égales.
  3. Pour 10 colis : \(f(10) = 200\) € et \(g(10) = 160\) € → transporteur B moins cher.
    Pour 30 colis : \(f(30) = 360\) € et \(g(30) = 400\) € → transporteur A moins cher.

Exercice 3

On donne ci-dessous, sur l'intervalle \(I = [-2\,;\,3]\), les courbes de \(f(x) = x^2 - 2\) (une parabole) et de \(g(x) = x\) (une droite).

  1. Combien les deux courbes ont-elles de points d'intersection ?
  2. Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\).
  3. Vérifier chaque solution par le calcul.
  1. Les deux courbes se coupent en deux points : \((-1\,;\,-1)\) et \((2\,;\,2)\).
  2. Les solutions sont les abscisses : \(\mathcal{S} = \{-1\,;\,2\}\).
  3. \(f(-1) = 1 - 2 = -1\) et \(g(-1) = -1\) ; \(f(2) = 4 - 2 = 2\) et \(g(2) = 2\). Les deux solutions sont justes.

Exercice 4

Un traiteur modélise le coût de production de \(x\) lots de repas par \(f(x) = 0{,}5x^2 + 10\) et son chiffre d'affaires par \(g(x) = 5x\), en centaines d'euros, pour \(x\) compris entre 0 et 10.

  1. Résoudre graphiquement \(f(x) = g(x)\), avec la précision que permet le quadrillage.
  2. Interpréter ces solutions dans le contexte du problème.
  3. Vérifier la première lecture en calculant \(f\) et \(g\) à la valeur lue.
  1. Les courbes se coupent en deux points, d'abscisses \(x \approx 2{,}8\) et \(x \approx 7{,}2\) : \(\mathcal{S} \approx \{2{,}8\,;\,7{,}2\}\). Une lecture à l'unité, environ 3 et 7, est acceptée. On écrit « \(\approx\) » car la valeur est lue.
  2. Pour environ 2,8 lots et environ 7,2 lots, le coût de production est égal au chiffre d'affaires : le bénéfice est nul. Ce sont les deux seuils de rentabilité.
  3. \(f(2{,}8) = 0{,}5 \times 7{,}84 + 10 = 13{,}92\) et \(g(2{,}8) = 14\). Les deux valeurs sont très proches : la lecture est cohérente.

Exercice 5

La courbe d'une fonction \(f\) est donnée ci-dessous sur l'intervalle \(I = [0\,;\,8]\), avec la droite horizontale d'équation \(y = 7\).

  1. Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = 7\).
  2. Tracer la droite \(y = 9\), puis résoudre \(f(x) = 9\).
  3. Combien l'équation \(f(x) = 10\) a-t-elle de solutions ? Écrire son ensemble de solutions.
  1. La droite \(y = 7\) coupe la courbe en deux points, d'abscisses 2 et 6 : \(\mathcal{S} = \{2\,;\,6\}\).
  2. La droite \(y = 9\) touche la courbe en un seul point, son point le plus haut, d'abscisse 4 : \(\mathcal{S} = \{4\}\).
  3. La droite \(y = 10\) passe au-dessus de toute la courbe : aucun point d'intersection, donc aucune solution. \(\mathcal{S} = \varnothing\) (et non « 0 »).

Exercice 6

Sur l'intervalle \(I = [0\,;\,5]\), on donne trois fonctions affines : \(f(x) = 4x + 3\), \(g(x) = 4x - 1\) et \(h(x) = -x + 8\).

  1. Sans tracer les courbes, dire combien l'équation \(f(x) = g(x)\) a de solutions. Justifier, puis écrire l'ensemble des solutions.
  2. Les droites de \(f\) et de \(h\) se coupent-elles ? Justifier.
  3. Un élève lit sur l'écran de sa calculatrice que les droites de \(f\) et de \(h\) se coupent en \(x = 1\). Vérifier cette lecture par le calcul.
  1. Les droites de \(f\) et de \(g\) ont le même coefficient directeur, 4 : elles sont parallèles et ne se coupent jamais. L'équation n'a aucune solution : \(\mathcal{S} = \varnothing\).
  2. Oui : les coefficients directeurs sont différents (4 et −1), les droites ne sont pas parallèles. Elles ont un seul point d'intersection.
  3. \(f(1) = 4 \times 1 + 3 = 7\) et \(h(1) = -1 + 8 = 7\). Les deux valeurs sont égales : \(x = 1\) est bien la solution de \(f(x) = h(x)\).

C2 — Résoudre graphiquement \(f(x) \geqslant g(x)\)

Rappel de cours — Résoudre graphiquement \(f(x) \geqslant g(x)\)

Résoudre \(f(x) \geqslant g(x)\), c'est chercher les valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\) (ou la touche).

  1. Repérer les points d'intersection : ce sont les valeurs limites.
  2. Sur chaque portion de l'intervalle, dire laquelle des deux courbes est au-dessus.
  3. Écrire l'ensemble des solutions en intervalles, sans oublier les bornes de l'intervalle d'étude.

Inégalité large (\(\geqslant\), \(\leqslant\)) : crochet fermé aux points d'intersection. Inégalité stricte (\(>\), \(<\)) : crochet ouvert. Deux portions se réunissent avec le symbole \(\cup\).

Exercice 7

On reprend les fonctions \(f(x) = 2x - 1\) et \(g(x) = -x + 5\) de l'exercice 1, sur l'intervalle \(I = [0\,;\,6]\).

  1. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \geqslant g(x)\).
  2. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) < g(x)\).
  1. Les deux droites se coupent en \(x = 2\). Après ce point, la droite de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\). L'inégalité est large, et l'intervalle d'étude s'arrête à 6 :
    \(\mathcal{S} = [2\,;\,6]\), et non \([2\,;\,+\infty[\).
  2. Avant 2, la droite de \(f\) est en dessous. L'inégalité est stricte, donc 2 est exclu : \(\mathcal{S} = [0\,;\,2[\).

Exercice 8

Une association compare deux devis pour organiser un repas. Le devis A coûte \(f(x) = 50x + 200\) euros et le devis B coûte \(g(x) = 30x + 600\) euros, où \(x\) est le nombre de participants, entre 0 et 40.

  1. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \leqslant g(x)\). Interpréter.
  2. Pour 15 participants, quel devis est le plus avantageux ? Justifier à l'aide du a.
  1. Les droites se coupent en \(x = 20\). Avant 20, la droite de \(f\) est en dessous de celle de \(g\). Sur l'intervalle d'étude \([0\,;\,40]\) :
    \(\mathcal{S} = [0\,;\,20]\).
    Interprétation : jusqu'à 20 participants, le devis A coûte moins cher que le devis B, ou autant.
  2. 15 appartient à \(\mathcal{S}\) : le devis A est le plus avantageux. Contrôle : \(f(15) = 950\) € et \(g(15) = 1\,050\) €.

Exercice 9

On donne ci-dessous, sur l'intervalle \(I = [-1\,;\,4]\), les courbes de \(f(x) = -x^2 + 4x\) et de \(g(x) = x\).

  1. Lire les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
  2. Résoudre graphiquement \(f(x) \geqslant g(x)\).
  3. Résoudre graphiquement \(f(x) < g(x)\).
  1. Les courbes se coupent en \(x = 0\) et en \(x = 3\).
  2. Entre ces deux valeurs, la parabole est au-dessus de la droite : \(\mathcal{S} = [0\,;\,3]\).
  3. La droite est au-dessus de la parabole avant 0 et après 3. L'inégalité est stricte, et l'intervalle d'étude va de −1 à 4 :
    \(\mathcal{S} = [-1\,;\,0[\,\cup\,]3\,;\,4]\).

Exercice 10

Un ballon est lancé. Sa hauteur, en mètres, est modélisée par \(h(x) = -0{,}05x^2 + x\), où \(x\) est la distance horizontale parcourue, en mètres, avec \(0 \leqslant x \leqslant 20\).

  1. Résoudre graphiquement \(h(x) \geqslant 3{,}2\). Sur quelle distance le ballon est-il à au moins 3,2 m du sol ?
  2. Résoudre graphiquement \(h(x) < 1{,}8\). Interpréter.
  1. La droite \(y = 3{,}2\) coupe la courbe en \(x = 4\) et \(x = 16\). Entre ces deux valeurs, la courbe est au-dessus : \(\mathcal{S} = [4\,;\,16]\).
    Le ballon est à au moins 3,2 m du sol sur \(16 - 4 = 12\) m de distance horizontale.
    Contrôle : \(h(4) = -0{,}05 \times 16 + 4 = 3{,}2\).
  2. La droite \(y = 1{,}8\) coupe la courbe en \(x = 2\) et \(x = 18\). La courbe est en dessous avant 2 et après 18, et l'inégalité est stricte :
    \(\mathcal{S} = [0\,;\,2[\,\cup\,]18\,;\,20]\).
    Le ballon est à moins de 1,8 m du sol sur les 2 premiers mètres et sur les 2 derniers mètres parcourus.