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Chapitre 4 – Exercices par capacités

Résolution graphique d'équations et d'inéquations  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Résoudre graphiquement \(f(x) = g(x)\)

Rappel de cours — Résolution graphique d'une équation

Résoudre graphiquement \(f(x) = g(x)\) revient à trouver les abscisses des points d'intersection des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).

  1. Tracer (ou observer) les courbes de \(f\) et \(g\) dans le même repère.
  2. Repérer les points d'intersection.
  3. Lire les abscisses de ces points : ce sont les solutions.

S'il n'y a aucun point d'intersection, l'équation n'a pas de solution.

Exercice 1

On considère les fonctions \(f(x) = 2x - 1\) et \(g(x) = -x + 5\), représentées ci-dessous.

x y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 O (2 ; 3) f(x) = 2x − 1 g(x) = −x + 5
Courbes de \(f\) et \(g\) dans le même repère
  1. Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\).
  2. Vérifier par le calcul.
  1. Les deux droites se coupent au point de coordonnées \((2\,;\,3)\).
    L'équation \(f(x) = g(x)\) admet une unique solution : \(x = 2\).
  2. Vérification : \(2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\).
    \(f(2) = 2 \times 2 - 1 = 3\) et \(g(2) = -2 + 5 = 3\). On retrouve bien le résultat.

Exercice 2

Un menuisier compare deux fournisseurs de panneaux de bois. Le fournisseur A facture selon \(f(x) = 8x + 120\) et le fournisseur B selon \(g(x) = 12x + 40\), où \(x\) est le nombre de panneaux.

x y (€) 5 10 15 20 25 100 200 300 400 O (20 ; 280) f : A g : B
Tarifs des fournisseurs A et B en fonction du nombre de panneaux
  1. Résoudre graphiquement \(f(x) = g(x)\). Interpréter.
  2. Vérifier par le calcul.
  3. Quel fournisseur choisir pour une commande de 10 panneaux ? De 30 panneaux ?
  1. Les deux droites se coupent en \((20\,;\,280)\).
    Pour \(x = 20\) panneaux, les deux fournisseurs proposent le même tarif de 280 €.
  2. \(8x + 120 = 12x + 40 \Rightarrow 80 = 4x \Rightarrow x = 20\).
    \(f(20) = 160 + 120 = 280\) €. Correct.
  3. Pour 10 panneaux : \(f(10) = 200\) € et \(g(10) = 160\) € → fournisseur B moins cher.
    Pour 30 panneaux : \(f(30) = 360\) € et \(g(30) = 400\) € → fournisseur A moins cher.

Exercice 3

On donne les courbes de \(f\) et \(g\) ci-dessous (\(f\) est une parabole et \(g\) est une droite).

x y −2 −1 1 2 3 1 2 3 −1 O (−1 ; −1) (2 ; 2) f g
Courbes de \(f(x)=x^2-2\) et \(g(x)=x\)

Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\).

Les deux courbes se coupent en deux points : \((-1\,;\,-1)\) et \((2\,;\,2)\).
L'équation \(f(x) = g(x)\) admet deux solutions : \(x = -1\) et \(x = 2\).

Vérification :
Pour \(x = -1\) : \(f(-1) = 1 - 2 = -1\) et \(g(-1) = -1\). Correct.
Pour \(x = 2\) : \(f(2) = 4 - 2 = 2\) et \(g(2) = 2\). Correct.

Exercice 4

Un artisan agenceur modélise le coût de production de \(x\) meubles par \(f(x) = 0{,}5x^2 + 10\) (en centaines d'euros) et son chiffre d'affaires par \(g(x) = 5x\) (en centaines d'euros).

x y 2 4 6 8 10 10 20 30 40 50 O A B f (coût) g (C.A.)
Coût de production \(f\) et chiffre d'affaires \(g\) en fonction du nombre de meubles
  1. Lire graphiquement les abscisses des points d'intersection A et B.
  2. Interpréter ces solutions dans le contexte du problème.
  3. Pour quelles valeurs de \(x\) le chiffre d'affaires est-il supérieur au coût ?
  1. Par lecture graphique, les courbes se coupent environ en \(x \approx 2{,}8\) et \(x \approx 7{,}2\).
    L'équation \(f(x) = g(x)\) admet deux solutions approchées : \(x \approx 2{,}8\) et \(x \approx 7{,}2\).
  2. Ce sont les seuils de rentabilité : pour ces quantités, le coût de production est exactement égal au chiffre d'affaires (bénéfice nul).
  3. Le chiffre d'affaires est supérieur au coût (la droite est au-dessus de la parabole) pour \(2{,}8 \lesssim x \lesssim 7{,}2\).
    L'artisan réalise un bénéfice en produisant entre 3 et 7 meubles (en valeurs entières).

C2 — Résoudre graphiquement \(f(x) \geqslant g(x)\)

Rappel de cours — Résolution graphique d'une inéquation

Résoudre graphiquement \(f(x) \geqslant g(x)\) revient à déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe de \(f\) est au-dessus (ou confondue avec) la courbe de \(g\).

  1. Repérer les points d'intersection des courbes (ce sont les valeurs limites).
  2. Déterminer les zones où la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\).
  3. Écrire l'ensemble solution sous forme d'intervalle(s).

Exercice 5

On reprend les fonctions \(f(x) = 2x - 1\) et \(g(x) = -x + 5\) de l'exercice 1.

x y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 O (2 ; 3) f(x) = 2x − 1 g(x) = −x + 5 f au-dessus de g
Zone colorée : ensemble des \(x\) pour lesquels \(f(x) \geqslant g(x)\)

Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \geqslant g(x)\).

Les deux droites se coupent en \(x = 2\).
Pour \(x \geqslant 2\), la droite de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\).

L'ensemble solution est : \(\boxed{x \geqslant 2}\), soit l'intervalle \([2\,;\,+\infty[\).

Exercice 6

Un charpentier compare deux devis pour un toit. Le devis A est modélisé par \(f(x) = 50x + 200\) et le devis B par \(g(x) = 30x + 600\), où \(x\) est la surface en m².

x (m²) y (€) 5 10 15 20 25 200 400 600 800 1000 O (20 ; 1 200) f : devis A g : devis B f en dessous de g
Devis A et B en fonction de la surface
  1. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \leqslant g(x)\). Interpréter.
  2. Pour une toiture de 15 m², quel devis est le plus avantageux ?
  1. Les droites se coupent en \(x = 20\). Pour \(x \leqslant 20\), la droite \(f\) est en dessous de la droite \(g\).
    L'ensemble solution est \(\boxed{x \leqslant 20}\), soit \(]-\infty\,;\,20]\).
    Interprétation : pour une surface inférieure ou égale à 20 m², le devis A est moins cher ou égal au devis B.
  2. Pour 15 m² : \(f(15) = 750 + 200 = 950\) € et \(g(15) = 450 + 600 = 1\,050\) €.
    Le devis A est plus avantageux (200 € de moins).

Exercice 7

On donne les représentations graphiques de \(f\) et \(g\) ci-dessous.

x y −1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 −1 O
Courbes de \(f(x) = -x^2 + 4x\) et \(g(x) = x\)

Les courbes de \(f(x) = -x^2 + 4x\) et \(g(x) = x\) se coupent en \(x = 0\) et \(x = 3\).

  1. Résoudre graphiquement \(f(x) \geqslant g(x)\).
  2. Résoudre graphiquement \(f(x) < g(x)\).
  1. La parabole \(f\) est au-dessus de la droite \(g\) entre les deux points d'intersection.
    L'ensemble solution de \(f(x) \geqslant g(x)\) est : \(\boxed{0 \leqslant x \leqslant 3}\), soit l'intervalle \([0\,;\,3]\).
  2. La droite \(g\) est au-dessus de la parabole \(f\) en dehors de l'intervalle \([0\,;\,3]\).
    L'ensemble solution de \(f(x) < g(x)\) est : \(x < 0\) ou \(x > 3\), soit \(]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]3\,;\,+\infty[\).

Exercice 8

Un menuisier modélise la résistance d'une poutre en fonction de son épaisseur \(x\) (en cm) par \(f(x) = -0{,}5x^2 + 6x\) (en kN). La charge minimale exigée par la norme est \(g(x) = 10\) kN.

x (cm) y (kN) 2 4 6 8 10 12 5 10 15 20 O (2 ; 10) (10 ; 10) f (résistance) g = 10
Résistance de la poutre \(f(x)\) et seuil minimal \(g(x) = 10\) kN
  1. Résoudre graphiquement \(f(x) \geqslant 10\). Interpréter.
  2. Quelle épaisseur maximise la résistance de la poutre ?
  1. La parabole est au-dessus de la droite \(y = 10\) entre les deux points d'intersection.
    Par lecture graphique : \(f(x) \geqslant 10\) pour \(\boxed{2 \leqslant x \leqslant 10}\).
    Interprétation : la poutre respecte la norme de résistance pour une épaisseur comprise entre 2 cm et 10 cm.
  2. Le sommet de la parabole est atteint pour \(x = \dfrac{-6}{2 \times (-0{,}5)} = 6\) cm.
    La résistance maximale est \(f(6) = -0{,}5 \times 36 + 36 = 18\) kN.
    L'épaisseur optimale est de 6 cm.