Chapitre 4 — Résolution graphique d'équations | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Mohammed, technicien d'études du bâtiment chez BâtiPlan 93, compare deux devis pour un client souhaitant construire une maison de surface variable selon le budget.
\(x\) : surface habitable en m². Le forfait fixe correspond à la VRD (voirie/raccordements/déblais) et aux fondations.
Identifier la nature des fonctions \(A\) et \(B\). Donner leurs caractéristiques.
Toutes deux affines. A : pente 1 800 €/m², ordonnée 20 000 €. B : pente 1 500 €/m², ordonnée 35 000 €.
B a un forfait fixe plus élevé mais un meilleur tarif au m².
Calculer \(A\) et \(B\) pour \(x = 30, 50, 80, 100\) m². Présenter dans un tableau.
| \(x\) (m²) | \(A(x)\) | \(B(x)\) | Moins cher |
|---|---|---|---|
| 30 | 74 000 € | 80 000 € | A |
| 50 | 110 000 € | 110 000 € | égalité |
| 80 | 164 000 € | 155 000 € | B |
| 100 | 200 000 € | 185 000 € | B |
Résoudre par le calcul l'équation \(A(x) = B(x)\).
\(1\,800x + 20\,000 = 1\,500x + 35\,000\) → \(300x = 15\,000\) → \(x = \mathbf{50}\) m².
Coût au seuil : \(A(50) = B(50) = 110\,000\,€\). ✓
Représenter \(A\) et \(B\) dans un repère (x de 0 à 120 m², y de 0 à 220 000 €) et identifier la zone où chaque entreprise est plus avantageuse.
Avant 50 m² : A est moins chère. Après 50 m² : B est moins chère.
Résoudre graphiquement \(B(x) \leqslant A(x)\) et interpréter.
La courbe B est en dessous de A pour \(x \geqslant 50\) m². Donc \(B(x) \leqslant A(x)\) ⇔ \(x \geqslant 50\) m².
B est plus avantageuse pour les maisons de plus de 50 m².
Le client a un budget de 150 000 €. Calculer la surface maximale possible chez A puis chez B.
Chez A : \(1\,800x + 20\,000 = 150\,000\) → \(1\,800x = 130\,000\) → \(x = \dfrac{130\,000}{1\,800} \approx \mathbf{72{,}2}\) m².
Chez B : \(1\,500x + 35\,000 = 150\,000\) → \(1\,500x = 115\,000\) → \(x = \dfrac{115\,000}{1\,500} \approx \mathbf{76{,}7}\) m².
Pour 150 000 €, B permet 4,5 m² de plus que A.
Le client veut une maison de 90 m². Quelle entreprise choisir et combien il économise ?
\(A(90) = 162\,000 + 20\,000 = 182\,000\,€\). \(B(90) = 135\,000 + 35\,000 = 170\,000\,€\).
Choisir B. Économie : \(182\,000 - 170\,000 = \mathbf{12\,000\,€}\).
Rédiger l'avis de Mohammed au client (5 lignes).
Avis comparatif — Entreprises A et B
• \(A(x) = 1\,800x + 20\,000\) (forfait bas, m² cher) vs \(B(x) = 1\,500x + 35\,000\) (forfait haut, m² doux).
• Seuil de bascule : 50 m².
• Pour une maison de 90 m² : B = 170 000 €, A = 182 000 € → économie 12 000 € avec B.
• Avec un budget de 150 000 € : 76,7 m² possible chez B, 72,2 m² chez A.
• Recommandation : B, sauf si surface < 50 m² (rare en habitation).
Si A propose une réduction de 5 % sur le tarif m² (\(A'(x) = 1\,710x + 20\,000\)), refaire le calcul du seuil.
\(1\,710x + 20\,000 = 1\,500x + 35\,000\) → \(210x = 15\,000\) → \(x \approx \mathbf{71{,}4}\) m².
A devient compétitive jusqu'à 71,4 m² au lieu de 50 m². Le seuil a fortement reculé en faveur de A.
📚 §1-§2 de la leçon Ch04.