Chapitre 4 — Résolution graphique d'équations | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Léa, technicienne MEE, doit conseiller le syndic sur le maintien d'une chaudière ancienne ou son remplacement par un modèle neuf.
On veut savoir à partir de quel âge la chaudière ancienne coûte plus cher à entretenir que ne coûte une chaudière neuve.
Donner la nature des fonctions \(f\) et \(g\). Préciser la signification de chaque coefficient.
\(f\) est une fonction affine : pente 50 (€/an d'âge supplémentaire) ; ordonnée 200 (coût d'entretien année 0, c.-à-d. chaudière neuve si on garde l'option A).
\(g\) est une fonction constante : 600 €/an quel que soit l'âge.
Calculer \(f(0)\), \(f(4)\), \(f(8)\), \(f(12)\). Comparer à \(g(n) = 600\).
\(f(0) = 200\), \(f(4) = 400\), \(f(8) = 600\), \(f(12) = 800\).
L'option A coûte 200 € à neuve, mais atteint 600 € (égalité avec \(g\)) à 8 ans, et dépasse ensuite.
Résoudre par le calcul l'équation \(f(n) = g(n)\), c'est-à-dire \(50n + 200 = 600\).
\(50n + 200 = 600\) → \(50n = 400\) → \(n = \mathbf{8}\) ans.
À l'âge de 8 ans, l'entretien de l'ancienne chaudière coûte autant qu'une chaudière neuve.
Représenter graphiquement les deux fonctions sur un repère (\(n\) de 0 à 15, coût de 0 à 1 000). Indiquer le point d'intersection et la zone où l'option A est plus économique.
Zone option A plus économique : \(n \in [0\,;\,8]\) (la droite rouge est sous la droite bleue).
La chaudière actuelle a 6 ans. Quel est son coût d'entretien cette année ? Combien d'années reste-t-il avant qu'il ne dépasse 600 € ?
\(f(6) = 50 \times 6 + 200 = \mathbf{500\,€}\).
Il reste 2 ans avant que l'entretien ne dépasse 600 € (à \(n = 8\)).
Pour quel âge le coût d'entretien atteint-il 1 000 €/an ? Résoudre \(f(n) = 1\,000\).
\(50n + 200 = 1\,000\) → \(50n = 800\) → \(n = \mathbf{16}\) ans.
À 16 ans, le coût d'entretien atteint 1 000 €/an — bien au-delà de la durée de vie habituelle d'une chaudière.
Si la chaudière neuve coûte en réalité \(g_2(n) = 700\) €/an, calculer le nouveau seuil de bascule.
\(50n + 200 = 700\) → \(50n = 500\) → \(n = \mathbf{10}\) ans.
Une chaudière neuve plus chère retarde le point de bascule (8 → 10 ans).
Rédiger l'avis de Léa au syndic. 5 lignes.
Avis MEE — Chaudière collective
• Modèle : \(f(n) = 50n + 200\) (entretien) vs \(g(n) = 600\) (neuf).
• Seuil de bascule : 8 ans.
• Chaudière actuelle à 6 ans → coût 500 €/an, 2 ans avant le seuil.
• Recommandation : provisionner le remplacement pour l'année N+2.
• Si chaudière neuve plus chère (700 €/an), seuil repoussé à 10 ans : marge de 4 ans.
Si on ajoute le gain énergétique d'une chaudière neuve (économie de 150 €/an), \(g'(n) = 600 - 150 = 450\). Nouveau seuil ?
\(50n + 200 = 450\) → \(50n = 250\) → \(n = \mathbf{5}\) ans.
Avec l'économie d'énergie, il faut remplacer dès 5 ans ! Le bilan énergétique change radicalement l'analyse.
📚 §1-§2 de la leçon Ch04.