Chapitre 4 — Résolution graphique d'équations | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Théo, installateur en chauffage chez ÉcoClim 93, doit conseiller M. Diop sur le choix entre garder une chaudière gaz à condensation ou installer une pompe à chaleur (PAC). Il compare les coûts annuels selon la consommation thermique \(x\) (en kWh thermiques par an).
Identifier la nature des fonctions \(G\) et \(P\). Donner leur coefficient directeur et leur ordonnée à l'origine.
\(G\) et \(P\) sont des fonctions affines (de la forme \(f(x) = ax + b\)).
\(G\) : coefficient directeur \(a = 0{,}10\), ordonnée à l'origine \(b = 200\).
\(P\) : coefficient directeur \(a = 0{,}06\), ordonnée à l'origine \(b = 350\).
Calculer le coût annuel des deux solutions pour \(x = 2\,000\), \(x = 4\,000\) et \(x = 6\,000\) kWh.
| \(x\) (kWh) | \(G(x)\) | \(P(x)\) | Moins cher |
|---|---|---|---|
| 2 000 | 400 € | 470 € | Gaz |
| 4 000 | 600 € | 590 € | PAC |
| 6 000 | 800 € | 710 € | PAC |
Représenter graphiquement les deux fonctions sur un même repère (axe \(x\) de 0 à 8 000 kWh, axe \(y\) de 0 à 1 000 €).
Tracer la droite passant par \((0\,;\,200)\) et \((8\,000\,;\,1\,000)\) (gaz) et celle passant par \((0\,;\,350)\) et \((8\,000\,;\,830)\) (PAC).
Les deux droites se coupent au point d'intersection ≈ \((3\,750\,;\,575)\).
Résoudre par le calcul l'équation \(G(x) = P(x)\) pour trouver le seuil de bascule.
\( 0{,}10\,x + 200 = 0{,}06\,x + 350 \)
\( 0{,}10\,x - 0{,}06\,x = 350 - 200 \)
\( 0{,}04\,x = 150 \) → \( x = \dfrac{150}{0{,}04} = \mathbf{3\,750} \) kWh.
Au seuil : \( G(3750) = P(3750) = 575\,€ \) ✓.
Résoudre graphiquement l'inéquation \(P(x) \leqslant G(x)\). Interpréter dans le contexte.
On cherche les \(x\) tels que la PAC est moins chère que le gaz.
Sur le graphique, la droite \(P\) est en dessous de \(G\) à partir de \(x = 3\,750\). Donc \(P(x) \leqslant G(x)\) pour \(x \geqslant 3\,750\) kWh.
Conclusion : la PAC devient plus économique au-delà de 3 750 kWh thermiques/an.
M. Diop consomme actuellement 8 000 kWh thermiques/an. Calculer son économie annuelle s'il passe à la PAC. Et au bout de 10 ans ?
\(G(8000) = 1\,000\,€\) ; \(P(8000) = 830\,€\). Économie annuelle : 170 €.
Sur 10 ans : \(170 \times 10 = \mathbf{1\,700\,€}\) (sans tenir compte de l'évolution des prix).
L'installation d'une PAC coûte 12 000 € (8 000 € après aides). En combien d'années l'investissement est-il amorti ?
Économie annuelle : 170 €. Amortissement : \( \dfrac{8\,000}{170} \approx \mathbf{47\,\text{ans}} \).
C'est très long ! La PAC seule pour économiser 170 €/an n'est pas rentable. Mais le calcul change si :
Théo rédige une note de conseil pour M. Diop. 5 lignes.
Conseil énergétique — M. Diop
• Modèle : \(G(x) = 0{,}10x + 200\) (gaz) vs \(P(x) = 0{,}06x + 350\) (PAC).
• Seuil de bascule : 3 750 kWh/an. Au-dessus, la PAC est plus économique.
• Votre consommation actuelle (8 000 kWh) → économie de 170 €/an en passant à la PAC.
• Investissement PAC après aides : 8 000 € → amortissement long (47 ans), mais à anticiper si chaudière vieillissante.
• Recommandation : remplacement à privilégier en fin de vie chaudière + avant nouvelle hausse du prix du gaz.
Si le prix du gaz augmente de 30 % (nouvelle équation \(G'(x) = 0{,}13x + 200\)), recalculer le nouveau seuil de bascule.
\( 0{,}13\,x + 200 = 0{,}06\,x + 350 \) → \( 0{,}07\,x = 150 \) → \( x = \dfrac{150}{0{,}07} \approx \mathbf{2\,143} \) kWh.
Le seuil descend à 2 143 kWh : la PAC devient rentable beaucoup plus tôt en cas de hausse du gaz.
📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Résolution graphique f(x) = g(x)) et §2 (Inéquations graphiques) de la leçon Ch04.