Chapitre 4 — Résolution graphique d'équations | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Deux véhicules circulent sur une portion de route droite de 200 km entre Reims et Paris.
Donner la nature des fonctions \(x_A\) et \(x_B\). Interpréter les coefficients.
\(x_A\) est linéaire : pente +50 km/h (vitesse, sens positif), origine 0 (départ de Reims).
\(x_B\) est affine : pente -80 km/h (vitesse en sens inverse), ordonnée 200 (départ de Paris à 200 km de Reims).
Compléter le tableau de positions à \(t = 0\), \(0{,}5\), \(1\), \(1{,}5\), \(2\) heures.
| \(t\) (h) | \(x_A\) (km) | \(x_B\) (km) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 200 |
| 0,5 | 25 | 160 |
| 1 | 50 | 120 |
| 1,5 | 75 | 80 |
| 2 | 100 | 40 |
Représenter \(x_A\) et \(x_B\) sur un même repère. Le point d'intersection donne la rencontre.
Résoudre par le calcul l'équation \(x_A(t) = x_B(t)\).
\(50t = 200 - 80t\) → \(130t = 200\) → \(t = \dfrac{200}{130} \approx \mathbf{1{,}54\,\text{h}}\) (soit 1 h 32 min).
Position : \(x_A(1{,}54) = 50 \times 1{,}54 \approx \mathbf{77\,\text{km}}\) de Reims.
Vérifier que \(x_B(1{,}54)\) donne le même résultat que \(x_A(1{,}54)\).
\(x_B(1{,}54) = 200 - 80 \times 1{,}54 = 200 - 123{,}2 = 76{,}8 \approx 77\,\text{km}\) ✓.
Les deux véhicules sont bien au même endroit (77 km de Reims, soit 123 km de Paris).
Si A double sa vitesse (\(x_A(t) = 100t\)), recalculer le moment et le lieu de la rencontre.
\(100t = 200 - 80t\) → \(180t = 200\) → \(t \approx 1{,}11\,\text{h}\) (soit 1 h 07 min).
Position : \(100 \times 1{,}11 \approx \mathbf{111\,\text{km}}\) de Reims.
Avec A plus rapide, la rencontre a lieu plus tôt et plus loin de Reims.
Si B part 30 min après A (donc \(x_B(t) = 200 - 80(t - 0{,}5)\) pour \(t \geq 0{,}5\)), quand se rencontrent-ils ?
\(x_B(t) = 200 - 80(t - 0{,}5) = 240 - 80t\) (pour \(t \geq 0{,}5\)).
\(50t = 240 - 80t\) → \(130t = 240\) → \(t \approx 1{,}85\,\text{h}\) (soit 1 h 51 min).
Position : \(50 \times 1{,}85 \approx \mathbf{92{,}5\,\text{km}}\) de Reims.
Rédiger un encadré pédagogique sur la lecture d'un graphique horaire (5 lignes).
Lire un graphique horaire en cinématique
• Chaque droite représente la position d'un mobile en fonction du temps.
• La pente de la droite = vitesse du mobile (signe selon le sens).
• L'ordonnée à l'origine = position de départ.
• Le point d'intersection de deux droites = rencontre des deux mobiles.
• Application physique : ce type de calcul est utilisé au quotidien (régulation trafic, sécurité ferroviaire, navigation maritime).
Si A et B partent en même temps mais dans le même sens (B devant), avec A à 80 km/h et B à 50 km/h, à quel instant A rattrape-t-il B (qui partait 100 km devant) ?
\(x_A(t) = 80t\), \(x_B(t) = 100 + 50t\).
\(80t = 100 + 50t\) → \(30t = 100\) → \(t \approx \mathbf{3{,}33\,\text{h}}\) (soit 3 h 20 min).
A rattrape B à 80 × 3,33 ≈ 267 km du départ de A.
📚 §1 de la leçon Ch04 + lien PC Ch05 (Mouvement).