Suites numériques — 1ère Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Un menuisier agenceur débute avec un salaire de 1 600 €. Son employeur lui accorde une augmentation de 30 € par an.
a) Quel est le premier terme ? \(u_0 = ...\)
b) Quelle est la raison ? \(r = ...\)
c) Calculer les termes suivants :
\(u_1 = u_0 + r = 1\,600 + 30 = ...\)
\(u_2 = u_1 + r = ... + 30 = ...\)
\(u_3 = u_2 + r = ... + 30 = ...\)
a) \(u_0 = \mathbf{1\,600}\) €
b) \(r = \mathbf{30}\) €
c) \(u_1 = 1\,600 + 30 = \mathbf{1\,630}\) €
\(u_2 = 1\,630 + 30 = \mathbf{1\,660}\) €
\(u_3 = 1\,660 + 30 = \mathbf{1\,690}\) €
Toujours avec \(u_0 = 1\,600\) et \(r = 30\).
a) Écrire la formule du terme général : \(u_n = 1\,600 + n \times ... = ...\)
b) Calculer le salaire après 5 ans : \(u_5 = 1\,600 + 5 \times 30 = ...\)
c) Calculer le salaire après 10 ans : \(u_{10} = 1\,600 + 10 \times 30 = ...\)
a) \(u_n = 1\,600 + 30n\)
b) \(u_5 = 1\,600 + 5 \times 30 = 1\,600 + 150 = \mathbf{1\,750}\) €
c) \(u_{10} = 1\,600 + 10 \times 30 = 1\,600 + 300 = \mathbf{1\,900}\) €
Pour chaque suite arithmétique, donner le sens de variation :
a) \(u_0 = 200\) et \(r = 15\) → suite ...
b) \(v_0 = 80\) et \(r = -5\) → suite ...
c) \(w_n = 12 + 3n\) → raison \(r = ...\) → suite ...
d) \(t_n = 50 - 2n\) → raison \(r = ...\) → suite ...
a) \(r = 15 > 0\) : suite croissante.
b) \(r = -5 < 0\) : suite décroissante.
c) \(r = \mathbf{3} > 0\) : suite croissante.
d) \(r = \mathbf{-2} < 0\) : suite décroissante.
Voici les premiers termes de deux suites. Pour chacune, dire si elle est arithmétique. Si oui, donner la raison.
a) Suite \((u_n)\) : 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17
\(u_1 - u_0 = 8 - 5 = ...\) et \(u_2 - u_1 = 11 - 8 = ...\) → Suite arithmétique ? ... Raison : ...
b) Suite \((v_n)\) : 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48
\(v_1 - v_0 = 6 - 3 = ...\) et \(v_2 - v_1 = 12 - 6 = ...\) → Suite arithmétique ? ...
a) \(u_1 - u_0 = 3\), \(u_2 - u_1 = 3\). La différence est constante : suite arithmétique de raison \(r = \mathbf{3}\).
b) \(v_1 - v_0 = 3\), \(v_2 - v_1 = 6\). Les différences ne sont pas constantes : la suite n'est pas arithmétique.
Calculer la somme \(S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10\).
a) Combien y a-t-il de termes ? ...
b) Quel est le premier terme ? ... Le dernier ? ...
c) Appliquer la formule : \(S = \dfrac{... \times (... + ...)}{2} = ...\)
a) Il y a 5 termes.
b) Premier terme : 2. Dernier terme : 10.
c) \(S = \dfrac{5 \times (2 + 10)}{2} = \dfrac{5 \times 12}{2} = \dfrac{60}{2} = \mathbf{30}\)
Un ébéniste débute avec un salaire de 1 500 €. Son employeur lui accorde une augmentation de 40 € par an.
a) Quel est le premier terme ? \(u_0 = ...\)
b) Quelle est la raison ? \(r = ...\)
c) Calculer les termes suivants :
\(u_1 = u_0 + r = 1\,500 + 40 = ...\)
\(u_2 = u_1 + r = ... + 40 = ...\)
\(u_3 = u_2 + r = ... + 40 = ...\)
a) \(u_0 = \mathbf{1\,500}\) €
b) \(r = \mathbf{40}\) €
c) \(u_1 = 1\,500 + 40 = \mathbf{1\,540}\) €
\(u_2 = 1\,540 + 40 = \mathbf{1\,580}\) €
\(u_3 = 1\,580 + 40 = \mathbf{1\,620}\) €
Toujours avec \(u_0 = 1\,500\) et \(r = 40\).
a) Écrire la formule du terme général : \(u_n = 1\,500 + n \times ... = ...\)
b) Calculer le salaire après 5 ans : \(u_5 = 1\,500 + 5 \times 40 = ...\)
c) Calculer le salaire après 10 ans : \(u_{10} = 1\,500 + 10 \times 40 = ...\)
a) \(u_n = 1\,500 + 40n\)
b) \(u_5 = 1\,500 + 5 \times 40 = 1\,500 + 200 = \mathbf{1\,700}\) €
c) \(u_{10} = 1\,500 + 10 \times 40 = 1\,500 + 400 = \mathbf{1\,900}\) €
Pour chaque suite arithmétique, donner le sens de variation :
a) \(u_0 = 150\) et \(r = 25\) → suite ...
b) \(v_0 = 60\) et \(r = -4\) → suite ...
c) \(w_n = 9 + 5n\) → raison \(r = ...\) → suite ...
d) \(t_n = 75 - 3n\) → raison \(r = ...\) → suite ...
a) \(r = 25 > 0\) : suite croissante.
b) \(r = -4 < 0\) : suite décroissante.
c) \(r = \mathbf{5} > 0\) : suite croissante.
d) \(r = \mathbf{-3} < 0\) : suite décroissante.
Voici les premiers termes de deux suites. Pour chacune, dire si elle est arithmétique. Si oui, donner la raison.
a) Suite \((u_n)\) : 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; 23
\(u_1 - u_0 = 11 - 7 = ...\) et \(u_2 - u_1 = 15 - 11 = ...\) → Suite arithmétique ? ... Raison : ...
b) Suite \((v_n)\) : 2 ; 10 ; 50 ; 250 ; 1 250
\(v_1 - v_0 = 10 - 2 = ...\) et \(v_2 - v_1 = 50 - 10 = ...\) → Suite arithmétique ? ...
a) \(u_1 - u_0 = 4\), \(u_2 - u_1 = 4\). La différence est constante : suite arithmétique de raison \(r = \mathbf{4}\).
b) \(v_1 - v_0 = 8\), \(v_2 - v_1 = 40\). Les différences ne sont pas constantes : la suite n'est pas arithmétique.
Calculer la somme \(S = 3 + 6 + 9 + 12 + 15\).
a) Combien y a-t-il de termes ? ...
b) Quel est le premier terme ? ... Le dernier ? ...
c) Appliquer la formule : \(S = \dfrac{... \times (... + ...)}{2} = ...\)
a) Il y a 5 termes.
b) Premier terme : 3. Dernier terme : 15.
c) \(S = \dfrac{5 \times (3 + 15)}{2} = \dfrac{5 \times 18}{2} = \dfrac{90}{2} = \mathbf{45}\)
Barème : 20 points
Un installateur thermique pose des radiateurs dans un immeuble de 5 étages. Au rez-de-chaussée, il pose 10 radiateurs. À chaque étage supérieur, il en pose 3 de plus.
a) Justifier que le nombre de radiateurs forme une suite arithmétique. Donner \(u_0\) et \(r\).
b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
c) Combien de radiateurs pose-t-il au 4e étage ?
a) On ajoute 3 radiateurs à chaque étage : \(u_{n+1} = u_n + 3\). C'est une suite arithmétique avec \(u_0 = 10\) et \(r = 3\).
b) \(u_n = 10 + 3n\)
c) \(u_4 = 10 + 3 \times 4 = 10 + 12 = \mathbf{22}\) radiateurs.
Une chaudière neuve a un rendement de 92 %. Des mesures montrent que le rendement diminue de 1,5 point chaque année : après \(n\) années, le rendement (en %) est \(u_n = 92 - 1{,}5n\).
a) Justifier que \((u_n)\) est une suite arithmétique. Donner \(u_0\) et \(r\).
b) Déterminer le sens de variation de la suite à partir de sa raison.
c) Calculer le rendement après 4 ans.
d) La chaudière doit être remplacée dès que le rendement passe strictement sous 80 %. Au bout de combien d'années ?
a) Le rendement diminue de la même quantité (1,5 point) chaque année : c'est une suite arithmétique avec \(u_0 = 92\) et \(r = -1{,}5\).
b) \(r = -1{,}5 < 0\) : la suite est décroissante.
c) \(u_4 = 92 - 1{,}5 \times 4 = 92 - 6 = \mathbf{86\,\%}\)
d) \(u_8 = 92 - 12 = 80\,\%\) (pas encore sous 80 %) et \(u_9 = 92 - 13{,}5 = 78{,}5\,\%\). La chaudière doit être remplacée au bout de 9 ans.
Un artisan menuisier achète une machine-outil d'une valeur de 9 000 €. Elle est amortie de manière linéaire sur 6 ans.
a) Quelle est la perte de valeur annuelle ?
b) Exprimer la valeur résiduelle \(v_n\) après \(n\) années.
c) Quelle est la valeur résiduelle après 4 ans ?
d) Au bout de combien d'années la machine n'a-t-elle plus de valeur ?
a) Perte annuelle : \(\dfrac{9\,000}{6} = \mathbf{1\,500}\) €/an.
b) \(v_n = 9\,000 - 1\,500n\) (suite arithmétique, \(v_0 = 9\,000\), \(r = -1\,500\)).
c) \(v_4 = 9\,000 - 1\,500 \times 4 = 9\,000 - 6\,000 = \mathbf{3\,000}\) €.
d) \(v_n = 0\) quand \(9\,000 - 1\,500n = 0\), soit \(n = \dfrac{9\,000}{1\,500} = \mathbf{6}\) ans.
Un menuisier relève la longueur totale de plinthes posées sur un chantier en fin de chaque journée : jour 0 : 24 m ; jour 1 : 31,5 m ; jour 2 : 39 m ; jour 3 : 46,5 m.
a) Montrer que ces valeurs sont les premiers termes d'une suite arithmétique et donner sa raison.
b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
c) Le chantier nécessite 100 m de plinthes. La pose sera-t-elle terminée au jour 10 ? Justifier.
a) \(31{,}5 - 24 = 7{,}5\) ; \(39 - 31{,}5 = 7{,}5\) ; \(46{,}5 - 39 = 7{,}5\). La différence est constante : suite arithmétique de raison \(r = 7{,}5\) et de premier terme \(u_0 = 24\).
b) \(u_n = 24 + 7{,}5n\)
c) \(u_{10} = 24 + 7{,}5 \times 10 = 99\) m \(< 100\) m : non, il manquera 1 m (la pose se termine au jour 11, avec \(u_{11} = 106{,}5\) m).
Calculer le total des salaires perçus par le menuisier de la question 1 (socle) pendant les 5 premières années (\(u_0\) à \(u_4\)), sachant que \(u_n = 10 + 3n\) représente le nombre de radiateurs.
En fait, calculons la somme des 5 premiers termes de la suite \(u_n = 10 + 3n\) (de \(u_0\) à \(u_4\)).
\(u_0 = 10\), \(u_4 = 10 + 3 \times 4 = 22\). Il y a 5 termes (de \(u_0\) à \(u_4\)).
\(S = \dfrac{5 \times (10 + 22)}{2} = \dfrac{5 \times 32}{2} = \dfrac{160}{2} = \mathbf{80}\) radiateurs au total.
Un menuisier agenceur pose des étagères dans un magasin de 6 niveaux. Au rez-de-chaussée, il installe 8 étagères. À chaque niveau supérieur, il en pose 4 de plus.
a) Justifier que le nombre d'étagères forme une suite arithmétique. Donner \(u_0\) et \(r\).
b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
c) Combien d'étagères pose-t-il au 5e niveau ?
a) On ajoute 4 étagères à chaque niveau : \(u_{n+1} = u_n + 4\). C'est une suite arithmétique avec \(u_0 = 8\) et \(r = 4\).
b) \(u_n = 8 + 4n\)
c) \(u_5 = 8 + 4 \times 5 = 8 + 20 = \mathbf{28}\) étagères.
Un compresseur de pompe à chaleur a une efficacité initiale de 95 %. Des mesures montrent que l'efficacité diminue de 2 points chaque année : après \(n\) années, l'efficacité (en %) est \(u_n = 95 - 2n\).
a) Justifier que \((u_n)\) est une suite arithmétique. Donner \(u_0\) et \(r\).
b) Déterminer le sens de variation de la suite à partir de sa raison.
c) Calculer l'efficacité après 3 ans.
d) Le compresseur doit être révisé dès que l'efficacité passe strictement sous 85 %. Au bout de combien d'années ?
a) L'efficacité diminue de la même quantité (2 points) chaque année : c'est une suite arithmétique avec \(u_0 = 95\) et \(r = -2\).
b) \(r = -2 < 0\) : la suite est décroissante.
c) \(u_3 = 95 - 2 \times 3 = \mathbf{89\,\%}\)
d) \(u_5 = 95 - 10 = 85\,\%\) (pas encore sous 85 %) et \(u_6 = 95 - 12 = 83\,\%\). Le compresseur doit être révisé au bout de 6 ans.
Un fabricant de mobilier achète une défonceuse numérique d'une valeur de 12 000 €. Elle est amortie de manière linéaire sur 8 ans.
a) Quelle est la perte de valeur annuelle ?
b) Exprimer la valeur résiduelle \(v_n\) après \(n\) années.
c) Quelle est la valeur résiduelle après 5 ans ?
d) Au bout de combien d'années la machine n'a-t-elle plus de valeur ?
a) Perte annuelle : \(\dfrac{12\,000}{8} = \mathbf{1\,500}\) €/an.
b) \(v_n = 12\,000 - 1\,500n\) (suite arithmétique, \(v_0 = 12\,000\), \(r = -1\,500\)).
c) \(v_5 = 12\,000 - 1\,500 \times 5 = 12\,000 - 7\,500 = \mathbf{4\,500}\) €.
d) \(v_n = 0\) quand \(12\,000 - 1\,500n = 0\), soit \(n = \dfrac{12\,000}{1\,500} = \mathbf{8}\) ans.
Une entreprise d'agencement relève le nombre total de panneaux découpés depuis le début d'une commande : semaine 0 : 36 ; semaine 1 : 45 ; semaine 2 : 54 ; semaine 3 : 63.
a) Montrer que ces valeurs sont les premiers termes d'une suite arithmétique et donner sa raison.
b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
c) La commande porte sur 150 panneaux. Sera-t-elle terminée à la semaine 12 ? Justifier.
a) \(45 - 36 = 9\) ; \(54 - 45 = 9\) ; \(63 - 54 = 9\). La différence est constante : suite arithmétique de raison \(r = 9\) et de premier terme \(u_0 = 36\).
b) \(u_n = 36 + 9n\)
c) \(u_{12} = 36 + 9 \times 12 = 144 < 150\) : non, il manquera 6 panneaux (la commande se termine à la semaine 13, avec \(u_{13} = 153\)).
Calculer la somme des 6 premiers termes de la suite \(u_n = 8 + 4n\) (de \(u_0\) à \(u_5\)).
\(u_0 = 8\), \(u_5 = 8 + 4 \times 5 = 28\). Il y a 6 termes (de \(u_0\) à \(u_5\)).
\(S = \dfrac{6 \times (8 + 28)}{2} = \dfrac{6 \times 36}{2} = \dfrac{216}{2} = \mathbf{108}\) étagères au total.
Barème : 20 points
Note : cette version mobilise les suites géométriques, en anticipation du programme de Terminale (hors programme de Première).
Un technicien chauffagiste hésite entre deux offres d'emploi :
a) Identifier le type de suite pour chaque offre et donner les formules des termes généraux.
b) Calculer le salaire proposé par chaque offre après 5 ans.
c) Calculer le salaire proposé par chaque offre après 10 ans.
d) À partir de quelle année l'offre B devient-elle plus avantageuse ? (Tester des valeurs)
a) Offre A : suite arithmétique, \(a_n = 1\,700 + 45n\).
Offre B : suite géométrique, \(b_n = 1\,600 \times 1{,}035^n\).
b) Après 5 ans :
c) Après 10 ans :
d) On teste :
L'offre B devient plus avantageuse à partir de l'année 7.
Un fabricant de mobilier empile des palettes. La première couche contient 24 planches. Chaque couche au-dessus contient 3 planches de moins.
a) Exprimer le nombre de planches \(u_n\) à la couche de rang \(n\).
b) À partir de quelle couche n'y a-t-il plus de planches ?
c) Calculer le nombre total de planches dans la pile (de la couche 0 à la dernière couche non vide).
a) \(u_n = 24 - 3n\) (suite arithmétique, \(u_0 = 24\), \(r = -3\)).
b) \(u_n = 0\) quand \(24 - 3n = 0\), soit \(n = 8\). À la couche de rang 8, il n'y a plus de planches. La dernière couche non vide est \(u_7 = 24 - 21 = 3\) planches.
c) On somme de \(u_0 = 24\) à \(u_7 = 3\). Il y a 8 termes.
\(S = \dfrac{8 \times (24 + 3)}{2} = \dfrac{8 \times 27}{2} = \dfrac{216}{2} = \mathbf{108}\) planches.
Un menuisier place 6 000 € sur un compte à intérêts composés au taux annuel de 2,8 %.
a) Exprimer le capital \(c_n\) après \(n\) années.
b) Calculer le capital après 3 ans (arrondir au centime).
c) Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 7 000 € ? (Tester des valeurs)
d) Quel est le gain total d'intérêts après ces années ?
a) \(c_n = 6\,000 \times 1{,}028^n\)
b) \(c_3 = 6\,000 \times 1{,}028^3 = 6\,000 \times 1{,}08638 \approx \mathbf{6\,518{,}26}\) €.
c) On teste :
Le capital dépasse 7 000 € au bout de 6 ans.
d) Gain d'intérêts : \(7\,085 - 6\,000 = \mathbf{1\,085}\) € environ.
Voici les premiers termes d'une suite : 800 ; 720 ; 648 ; 583,2 ; ...
a) Vérifier que cette suite n'est pas arithmétique.
b) Vérifier que cette suite est géométrique et donner sa raison.
c) Écrire la formule du terme général.
d) Au bout de combien de termes la suite passe-t-elle sous 400 ? (Tester des valeurs)
a) \(u_1 - u_0 = 720 - 800 = -80\) et \(u_2 - u_1 = 648 - 720 = -72\). Les différences ne sont pas égales, la suite n'est pas arithmétique.
b) \(\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{720}{800} = 0{,}9\) et \(\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{648}{720} = 0{,}9\). Le quotient est constant : suite géométrique de raison \(q = \mathbf{0{,}9}\).
c) \(u_n = 800 \times 0{,}9^n\)
d) On teste :
La suite passe sous 400 au rang 7.
Un menuisier agenceur hésite entre deux offres d'emploi :
a) Identifier le type de suite pour chaque offre et donner les formules des termes généraux.
b) Calculer le salaire proposé par chaque offre après 5 ans.
c) Calculer le salaire proposé par chaque offre après 10 ans.
d) À partir de quelle année l'offre B devient-elle plus avantageuse ? (Tester des valeurs)
a) Offre A : suite arithmétique, \(a_n = 1\,800 + 50n\).
Offre B : suite géométrique, \(b_n = 1\,650 \times 1{,}04^n\).
b) Après 5 ans :
c) Après 10 ans :
d) On teste :
L'offre B devient plus avantageuse à partir de l'année 7.
Un technicien d'agencement empile des panneaux de bois. La première rangée contient 30 panneaux. Chaque rangée au-dessus contient 4 panneaux de moins.
a) Exprimer le nombre de panneaux \(u_n\) à la rangée de rang \(n\).
b) À partir de quelle rangée n'y a-t-il plus de panneaux ?
c) Calculer le nombre total de panneaux dans la pile (de la rangée 0 à la dernière rangée non vide).
a) \(u_n = 30 - 4n\) (suite arithmétique, \(u_0 = 30\), \(r = -4\)).
b) \(u_n = 0\) quand \(30 - 4n = 0\), soit \(n = 7{,}5\). La dernière rangée non vide est \(u_7 = 30 - 28 = 2\) panneaux.
c) On somme de \(u_0 = 30\) à \(u_7 = 2\). Il y a 8 termes.
\(S = \dfrac{8 \times (30 + 2)}{2} = \dfrac{8 \times 32}{2} = \dfrac{256}{2} = \mathbf{128}\) panneaux.
Un plombier chauffagiste place 8 000 € sur un compte à intérêts composés au taux annuel de 3,2 %.
a) Exprimer le capital \(c_n\) après \(n\) années.
b) Calculer le capital après 3 ans (arrondir au centime).
c) Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 10 000 € ? (Tester des valeurs)
d) Quel est le gain total d'intérêts après ces années ?
a) \(c_n = 8\,000 \times 1{,}032^n\)
b) \(c_3 = 8\,000 \times 1{,}032^3 = 8\,000 \times 1{,}09922 \approx \mathbf{8\,793{,}73}\) €.
c) On teste :
Le capital dépasse 10 000 € au bout de 8 ans.
d) Gain d'intérêts : \(10\,302 - 8\,000 = \mathbf{2\,302}\) € environ.
Voici les premiers termes d'une suite : 1 000 ; 850 ; 722,5 ; 614,125 ; ...
a) Vérifier que cette suite n'est pas arithmétique.
b) Vérifier que cette suite est géométrique et donner sa raison.
c) Écrire la formule du terme général.
d) Au bout de combien de termes la suite passe-t-elle sous 500 ? (Tester des valeurs)
a) \(u_1 - u_0 = 850 - 1\,000 = -150\) et \(u_2 - u_1 = 722{,}5 - 850 = -127{,}5\). Les différences ne sont pas égales, la suite n'est pas arithmétique.
b) \(\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{850}{1\,000} = 0{,}85\) et \(\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{722{,}5}{850} = 0{,}85\). Le quotient est constant : suite géométrique de raison \(q = \mathbf{0{,}85}\).
c) \(u_n = 1\,000 \times 0{,}85^n\)
d) On teste :
La suite passe sous 500 au rang 5.