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Chapitre 3 – Exercices – Suites numériques

Algèbre – Analyse | 1ère Bac Pro | Mathématiques

Dernière mise à jour : 28 avril 2026

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Rappels essentiels

uₙnsuite arithmétique
Nuage (n ; uₙ) d’une suite arithmétique (r > 0)

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1 Reconnaître une suite arithmétique Socle

On donne la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = u_n + 5\).

  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\).
  2. Quelle est la nature de cette suite ? Préciser la raison.
  3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  4. Calculer \(u_{20}\).
  1. \(u_1 = 3 + 5 = 8\), \(u_2 = 8 + 5 = 13\), \(u_3 = 13 + 5 = 18\), \(u_4 = 18 + 5 = 23\).
  2. C'est une suite arithmétique de raison \(r = 5\) et de premier terme \(u_0 = 3\).
  3. \(u_n = u_0 + n \times r = 3 + 5n\).
  4. \(u_{20} = 3 + 5 \times 20 = 3 + 100 = 103\).
Exercice 2 Reconnaître une suite arithmétique… ou non Socle

On donne les suites \((v_n)\) : 4 ; 9 ; 14 ; 19 ; 24 et \((w_n)\) : 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162.

  1. Pour la suite \((v_n)\), calculer les différences \(v_1 - v_0\), \(v_2 - v_1\) et \(v_3 - v_2\).
  2. La suite \((v_n)\) est-elle arithmétique ? Si oui, préciser la raison et exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
  3. Pour la suite \((w_n)\), calculer les différences \(w_1 - w_0\) et \(w_2 - w_1\). La suite est-elle arithmétique ?
  4. Calculer \(v_8\).
  1. \(v_1 - v_0 = 9 - 4 = 5\), \(v_2 - v_1 = 14 - 9 = 5\), \(v_3 - v_2 = 19 - 14 = 5\).
  2. Les différences sont constantes : suite arithmétique de raison \(r = 5\) et de premier terme \(v_0 = 4\). Donc \(v_n = 4 + 5n\).
  3. \(w_1 - w_0 = 4\), \(w_2 - w_1 = 12\). Les différences ne sont pas constantes : la suite n'est pas arithmétique.
  4. \(v_8 = 4 + 5 \times 8 = 44\).
Exercice 3 Calculer la raison Socle

Une suite arithmétique \((u_n)\) vérifie \(u_3 = 17\) et \(u_7 = 33\).

  1. Déterminer la raison \(r\) de cette suite.
  2. Calculer \(u_0\).
  3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  1. On a \(u_7 = u_3 + 4r\), donc \(33 = 17 + 4r\), soit \(4r = 16\), d'où \(r = 4\).
  2. \(u_3 = u_0 + 3r\), donc \(17 = u_0 + 12\), soit \(u_0 = 5\).
  3. \(u_n = 5 + 4n\).
Exercice 4 Somme des termes d'une suite arithmétique Socle

Un artisan carreleur pose des carreaux en formant un motif triangulaire. La première rangée contient 2 carreaux, la deuxième en contient 5, la troisième 8, et ainsi de suite.

  1. Montrer que le nombre de carreaux par rangée forme une suite arithmétique. Préciser \(u_1\) et \(r\).
    Étape 1 : Calculer les différences entre termes consécutifs : \(u_2 - u_1 = \ldots\) et \(u_3 - u_2 = \ldots\)
    Étape 2 : Si les différences sont égales, la suite est arithmétique. La raison \(r\) est cette différence constante.
  2. Combien de carreaux y a-t-il à la 10e rangée ?
    Aide : Utiliser la formule \(u_n = u_1 + (n-1) \times r\) avec \(n = 10\).
  3. Calculer le nombre total de carreaux nécessaires pour réaliser un motif de 10 rangées.
    Aide : Utiliser la formule de la somme : \(S = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\).
    Ici : nombre de termes = 10, premier terme = \(u_1\), dernier terme = \(u_{10}\).
  1. \(u_1 = 2\), \(u_2 = 5\), \(u_3 = 8\). On vérifie : \(u_2 - u_1 = 5 - 2 = 3\) et \(u_3 - u_2 = 8 - 5 = 3\). La différence est constante, donc c'est une suite arithmétique de premier terme \(u_1 = 2\) et de raison \(r = 3\).
  2. \(u_{10} = u_1 + 9r = 2 + 9 \times 3 = 2 + 27 = 29\) carreaux.
  3. La somme des 10 premiers termes : \[S = 10 \times \dfrac{u_1 + u_{10}}{2} = 10 \times \dfrac{2 + 29}{2} = 10 \times 15{,}5 = 155 \text{ carreaux.}\]
Exercice 5 Salaire progressif Socle
uₙnsuite arithmétique
Nuage (n ; uₙ) d’une suite arithmétique (r > 0)

Un menuisier agenceur débute avec un salaire mensuel net de 1 450 €. Son employeur lui garantit une augmentation de 35 € par mois chaque année.

  1. Modéliser le salaire annuel \(S_n\) (en euros) en fonction de l'année \(n\), avec \(n = 0\) l'année d'embauche.
    Étape 1 : Identifier le premier terme : \(S_0 = \ldots\) €.
    Étape 2 : Identifier la raison : chaque année on ajoute \(r = \ldots\) €.
    Étape 3 : Écrire la formule : \(S_n = S_0 + r \times n\).
  2. Quel sera son salaire mensuel au bout de 10 ans ?
    Aide : Remplacer \(n\) par 10 dans la formule trouvée à la question 1.
  3. Au bout de combien d'années son salaire dépassera-t-il 2 000 € par mois ?
    Étape 1 : Écrire l'inéquation : \(S_n > 2\,000\).
    Étape 2 : Remplacer \(S_n\) par la formule et isoler \(n\).
    Étape 3 : Arrondir à l'entier supérieur (on ne peut pas travailler une fraction d'année).
  1. Le salaire mensuel forme une suite arithmétique de premier terme \(S_0 = 1\,450\) et de raison \(r = 35\).
    \(S_n = 1\,450 + 35n\).
  2. \(S_{10} = 1\,450 + 35 \times 10 = 1\,450 + 350 = 1\,800\) €.
  3. On résout \(S_n > 2\,000\) : \[1\,450 + 35n > 2\,000 \implies 35n > 550 \implies n > \dfrac{550}{35} \approx 15{,}7\] Son salaire dépassera 2 000 € à partir de la 16e année (soit \(n = 16\)).
Exercice 6 Dépréciation d'un véhicule Socle

Un artisan achète un utilitaire neuf à 25 000 €. Pour sa comptabilité, le véhicule est amorti de manière linéaire : sa valeur diminue de 2 800 € chaque année.

  1. Justifier que la valeur du véhicule forme une suite arithmétique. Préciser \(v_0\) et \(r\).
    Étape 1 : Chaque année, on soustrait toujours le même montant : 2 800 €.
    Étape 2 : Si on ajoute toujours le même nombre (ici \(-2\,800\)), la suite est arithmétique. Ce nombre est la raison \(r\).
  2. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
    Aide : Formule du terme général : \(v_n = v_0 + n \times r\).
  3. Calculer la valeur du véhicule au bout de 5 ans.
    Aide : Remplacer \(n\) par 5 dans la formule.
  4. Au bout de combien d'années la valeur sera-t-elle inférieure à 10 000 € ? (Tester des valeurs.)
    Aide : Calculer \(v_5\), \(v_6\), \(v_7\)... jusqu'à trouver une valeur inférieure à 10 000.
  1. Chaque année, la valeur diminue du même montant : \(v_{n+1} = v_n - 2\,800\). C'est donc une suite arithmétique de premier terme \(v_0 = 25\,000\) et de raison \(r = -2\,800\).
  2. \(v_n = 25\,000 - 2\,800n\).
  3. \(v_5 = 25\,000 - 2\,800 \times 5 = 25\,000 - 14\,000 = 11\,000\) €.
  4. On teste :
    \(v_5 = 11\,000\) € (trop haut)
    \(v_6 = 25\,000 - 16\,800 = 8\,200\) € (inférieur à 10 000).
    La valeur sera inférieure à 10 000 € au bout de 6 ans.
Exercice 7 Suite arithmétique — Cuve de récupération Socle

Sur un chantier, une cuve de récupération d'eau de pluie contient 500 litres au temps \(t = 0\). Un système de collecte y ajoute 120 litres chaque heure.

  1. Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) représentant le volume d'eau (en litres) à l'heure \(n\) ?
    Aide : À chaque heure, on ajoute le même volume : la suite est donc \(\ldots\)
  2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
    Aide : Utiliser \(u_n = u_0 + n \times r\) avec \(u_0 = 500\) et \(r = 120\).
  3. Quel volume d'eau y aura-t-il au bout de 8 heures ?
    Aide : Calculer \(120 \times 8\) puis ajouter 500.
  4. La cuve a une capacité de 2 000 litres. Au bout de combien d'heures sera-t-elle pleine ? (Tester des valeurs.)
    Aide : Calculer \(u_{12}\), \(u_{13}\)... et comparer à 2 000.
  1. On ajoute 120 litres chaque heure : c'est une suite arithmétique de raison \(r = 120\) et de premier terme \(u_0 = 500\).
  2. \(u_n = 500 + 120n\).
  3. \(u_8 = 500 + 120 \times 8 = 500 + 960 = 1\,460\) litres.
  4. On teste :
    \(u_{12} = 500 + 1\,440 = 1\,940 < 2\,000\)
    \(u_{13} = 500 + 1\,560 = 2\,060 > 2\,000\)
    La cuve sera pleine au bout de 13 heures.

Exercices d'application

Exercice 8 Évolution salariale d'un installateur thermique Standard
uₙnsuite arithmétique
Nuage (n ; uₙ) d’une suite arithmétique (r > 0)

Un installateur thermique est embauché avec un salaire mensuel net de 1 520 €. Son employeur lui propose une augmentation annuelle de 45 € par mois.

On note \(S_n\) le salaire mensuel à l'année \(n\), avec \(S_0 = 1\,520\).

  1. Justifier que \((S_n)\) est une suite arithmétique. Préciser le premier terme et la raison.
  2. Exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\).
  3. Calculer le salaire mensuel au bout de 8 ans.
  4. Au bout de combien d'années le salaire dépassera-t-il 2 200 € ?
  5. Calculer le total des salaires mensuels perçus sur les 10 premières années (de \(n = 0\) à \(n = 9\)).
  1. Chaque année, le salaire augmente de 45 € : \(S_{n+1} = S_n + 45\). La suite est arithmétique de premier terme \(S_0 = 1\,520\) et de raison \(r = 45\).
  2. \(S_n = S_0 + n \times r = 1\,520 + 45n\).
  3. \(S_8 = 1\,520 + 45 \times 8 = 1\,520 + 360 = 1\,880\) €.
  4. On résout \(S_n > 2\,200\) : \[1\,520 + 45n > 2\,200 \implies 45n > 680 \implies n > \dfrac{680}{45} \approx 15{,}1\] Le salaire dépassera 2 200 € à partir de la 16e année (soit \(n = 16\), \(S_{16} = 1\,520 + 720 = 2\,240\) €).
  5. Somme des 10 premiers termes (de \(n = 0\) à \(n = 9\)) : \[S = 10 \times \dfrac{S_0 + S_9}{2} = 10 \times \dfrac{1\,520 + 1\,925}{2} = 10 \times 1\,722{,}5 = 17\,225 \text{ €.}\]
Exercice 9 Dépréciation du matériel d'un ébéniste Standard

Un ébéniste achète une défonceuse numérique à 8 500 €. Pour sa comptabilité, la machine est amortie de manière linéaire : elle perd 950 € de valeur par an.

On note \(V_n\) la valeur de la machine au bout de \(n\) années, avec \(V_0 = 8\,500\).

  1. Justifier que \((V_n)\) est une suite arithmétique. Préciser \(V_0\) et la raison \(r\).
  2. Exprimer \(V_n\) en fonction de \(n\). Donner le sens de variation de la suite en justifiant à partir de la raison.
  3. Calculer la valeur de la machine après 4 ans.
  4. L'ébéniste souhaite revendre la machine quand sa valeur passe sous 3 000 €. Au bout de combien d'années cela se produit-il ? (Tester des valeurs successives.)
  1. Chaque année, la valeur diminue du même montant : \(V_{n+1} = V_n - 950\). La suite est arithmétique de premier terme \(V_0 = 8\,500\) et de raison \(r = -950\).
  2. \(V_n = 8\,500 - 950n\). Comme \(r = -950 < 0\), la suite est décroissante.
  3. \(V_4 = 8\,500 - 950 \times 4 = 8\,500 - 3\,800 = 4\,700\) €.
  4. On teste les valeurs successives :
    \(V_5 = 8\,500 - 4\,750 = 3\,750\) € (encore au-dessus)
    \(V_6 = 8\,500 - 5\,700 = 2\,800\) € (inférieur à 3 000)
    La valeur passe sous 3 000 € au bout de 6 ans.
Exercice 10 Placement financier d'un menuisier Standard

Un menuisier place 5 000 € sur un compte à intérêts simples : chaque année, le compte produit 2,5 % du capital initial, soit 125 € d'intérêts versés.

On note \(C_n\) le capital disponible au bout de \(n\) années, avec \(C_0 = 5\,000\).

  1. Justifier que \(C_{n+1} = C_n + 125\). En déduire la nature de la suite \((C_n)\).
  2. Exprimer \(C_n\) en fonction de \(n\).
  3. Calculer le capital au bout de 6 ans.
  4. Calculer le montant des intérêts produits en 6 ans.
  5. Au bout de combien d'années le capital aura-t-il doublé ? (Tester des valeurs.)
  1. Chaque année, le compte produit \(5\,000 \times 0{,}025 = 125\) € d'intérêts, ajoutés au capital :
    \(C_{n+1} = C_n + 125\).
    La suite est arithmétique de premier terme \(C_0 = 5\,000\) et de raison \(r = 125\).
  2. \(C_n = 5\,000 + 125n\).
  3. \(C_6 = 5\,000 + 125 \times 6 = 5\,000 + 750 = 5\,750\) €.
  4. Intérêts = \(C_6 - C_0 = 5\,750 - 5\,000 = 750\) €.
  5. On cherche \(n\) tel que \(C_n \geqslant 10\,000\), soit \(5\,000 + 125n \geqslant 10\,000\), c'est-à-dire \(125n \geqslant 5\,000\), donc \(n \geqslant 40\).
    Le capital aura doublé au bout de 40 ans.

Exercices d'approfondissement

Note : ces exercices mobilisent les suites géométriques, en anticipation du programme de Terminale (hors programme de Première).

Exercice 11 Comparaison de deux offres Approfondissement

Un technicien de maintenance reçoit deux propositions d'embauche :

  1. Modéliser le salaire dans chaque entreprise. Préciser la nature de chaque suite.
  2. Compléter le tableau suivant :
Année \(n\)0125101520
Entreprise A
Entreprise B
  1. À partir de quelle année le salaire de B dépasse-t-il celui de A ?
  2. Calculer le total des salaires perçus sur les 10 premières années dans l'entreprise A.

1.

  • Entreprise A : suite arithmétique, \(a_n = 1\,600 + 50n\).
  • Entreprise B : suite géométrique, \(b_n = 1\,500 \times 1{,}03^n\).

2. Tableau complété :

Année \(n\)0125101520
A1 6001 6501 7001 8502 1002 3502 600
B1 5001 5451 5911 7392 0162 3382 709

3. On teste autour de \(n = 15\text{-}16\) :
\(a_{15} = 1\,600 + 750 = 2\,350\) et \(b_{15} = 1\,500 \times 1{,}03^{15} \approx 2\,338\) : \(a_{15} > b_{15}\).
\(a_{16} = 2\,400\) et \(b_{16} \approx 2\,407\) : \(a_{16} < b_{16}\).
Le salaire de B dépasse celui de A à partir de l'année 16.

4. Somme des 10 premiers termes (de \(n=0\) à \(n=9\)) de la suite A : \[S = 10 \times \dfrac{a_0 + a_{9}}{2} = 10 \times \dfrac{1\,600 + 2\,050}{2} = 10 \times 1\,825 = 18\,250 \text{ €.}\]

Exercice 12 Épargne mensuelle Approfondissement

Un jeune artisan place 200 € par mois sur un compte épargne. Chaque mois, le compte est rémunéré à un taux mensuel de 0,3 %.

On note \(C_n\) le capital disponible à la fin du mois \(n\), avec \(C_0 = 200\).

  1. Justifier que \(C_1 = 200 \times 1{,}003 + 200\).
  2. Calculer \(C_1\), \(C_2\) et \(C_3\) (arrondir au centime).
  3. La suite \((C_n)\) est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier.
  4. À l'aide d'un tableur ou par calculs successifs, déterminer le capital au bout de 12 mois.
  1. À la fin du mois 1, le capital du mois 0 a été rémunéré (\(\times 1{,}003\)) puis on ajoute le versement de 200 € :
    \(C_1 = C_0 \times 1{,}003 + 200 = 200 \times 1{,}003 + 200\).
  2. \(C_1 = 200 \times 1{,}003 + 200 = 200{,}60 + 200 = 400{,}60\) €.
    \(C_2 = 400{,}60 \times 1{,}003 + 200 = 401{,}80 + 200 = 601{,}80\) €.
    \(C_3 = 601{,}80 \times 1{,}003 + 200 = 603{,}61 + 200 = 803{,}61\) €.
  3. La suite n'est ni arithmétique (les différences \(C_1 - C_0 = 200{,}60\) et \(C_2 - C_1 = 201{,}20\) ne sont pas égales) ni géométrique (les quotients ne sont pas constants). C'est une suite arithmético-géométrique.
  4. En poursuivant les calculs mois par mois :
    \(C_{12} \approx 2\,647{,}32\) €.
    (Le total des versements est \(13 \times 200 = 2\,600\) € — un versement à la fin du mois 0, puis un par mois jusqu'au mois 12 — et les intérêts cumulés sont environ 47,32 €.)
Exercice 13 Empilement de palettes Approfondissement

Un magasinier empile des caisses en formant une pyramide. La couche du sommet contient 1 caisse, la deuxième couche en contient 4, la troisième 7, et ainsi de suite (on ajoute 3 caisses à chaque couche).

  1. Exprimer le nombre de caisses \(c_n\) de la couche \(n\) en fonction de \(n\) (avec \(c_1 = 1\)).
  2. Combien de caisses contient la couche 8 ?
  3. Combien de caisses au total faut-il pour construire une pyramide de 8 couches ?
  4. Le magasinier dispose de 200 caisses. Combien de couches complètes peut-il réaliser ?
  1. Suite arithmétique de premier terme \(c_1 = 1\) et de raison \(r = 3\).
    \(c_n = 1 + (n-1) \times 3 = 3n - 2\).
  2. \(c_8 = 3 \times 8 - 2 = 22\) caisses.
  3. Somme des 8 premiers termes : \[S_8 = 8 \times \dfrac{c_1 + c_8}{2} = 8 \times \dfrac{1 + 22}{2} = 8 \times 11{,}5 = 92 \text{ caisses.}\]
  4. On cherche \(n\) tel que \(S_n \leqslant 200\).
    \(S_n = n \times \dfrac{1 + (3n-2)}{2} = n \times \dfrac{3n-1}{2} = \dfrac{3n^2 - n}{2}\).
    \(S_{11} = \dfrac{3 \times 121 - 11}{2} = \dfrac{352}{2} = 176 \leqslant 200\).
    \(S_{12} = \dfrac{3 \times 144 - 12}{2} = \dfrac{420}{2} = 210 > 200\).
    Il peut réaliser 11 couches complètes (et il lui reste \(200 - 176 = 24\) caisses).
Exercice 14 Situation professionnelle — Amortissement de matériel Approfondissement

Un chef d'atelier achète une machine-outil à 18 000 €. Il utilise un amortissement linéaire sur 6 ans.

  1. Calculer l'annuité d'amortissement (montant amorti chaque année).
  2. Exprimer la valeur résiduelle \(V_n\) de la machine à la fin de l'année \(n\). De quelle nature est cette suite ?
  3. Compléter le tableau d'amortissement :
AnnéeValeur débutAmortissementValeur fin
1
2
3
...
6
  1. Au bout de combien d'années la valeur résiduelle est-elle inférieure à 5 000 € ?
  1. Annuité = \(\dfrac{18\,000}{6} = 3\,000\) € par an.
  2. \(V_n = 18\,000 - 3\,000n\). C'est une suite arithmétique de raison \(r = -3\,000\).
  3. Tableau complété :
AnnéeValeur débutAmortissementValeur fin
118 000 €3 000 €15 000 €
215 000 €3 000 €12 000 €
312 000 €3 000 €9 000 €
49 000 €3 000 €6 000 €
56 000 €3 000 €3 000 €
63 000 €3 000 €0 €
  1. \(V_n < 5\,000 \implies 18\,000 - 3\,000n < 5\,000 \implies 3\,000n > 13\,000 \implies n > 4{,}33\).
    La valeur est inférieure à 5 000 € à partir de la fin de l'année 5 (\(V_5 = 3\,000\) €).