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Chapitre 3 – Exercices par capacités

Suites numériques (suites arithmétiques)  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

Remarque : la formule de la somme n'est pas exigible (non à mémoriser). Les suites définies par récurrence autres qu'arithmétiques sont hors programme.

C1 — Générer les termes d'une suite numérique

Rappel de cours

Une suite numérique \((u_n)\) associe à chaque entier naturel \(n\) un nombre réel \(u_n\). On peut la définir par une formule explicite \(u_n = f(n)\) ou par une relation de récurrence \(u_{n+1} = g(u_n)\). Pour calculer les termes, on remplace \(n\) par les valeurs successives 0, 1, 2, 3...

Exercice 1

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = 3n + 5\).

  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\).
  2. Calculer \(u_{10}\) et \(u_{100}\).
  1. \(u_0 = 3 \times 0 + 5 = 5\)
    \(u_1 = 3 \times 1 + 5 = 8\)
    \(u_2 = 3 \times 2 + 5 = 11\)
    \(u_3 = 3 \times 3 + 5 = 14\)
    \(u_4 = 3 \times 4 + 5 = 17\)
  2. \(u_{10} = 3 \times 10 + 5 = 35\)
    \(u_{100} = 3 \times 100 + 5 = 305\)

Exercice 2

Un menuisier agenceur fabrique des étagères. La suite \((v_n)\) donne le nombre total de vis utilisées pour \(n\) étagères : \(v_n = 8n + 4\) (4 vis pour le cadre de base, puis 8 vis par étagère).

  1. Calculer le nombre de vis pour 1, 2, 3, 4 et 5 étagères.
  2. Combien de vis faut-il pour 12 étagères ?
  3. Un menuisier dispose de 100 vis. Combien d'étagères peut-il fabriquer au maximum ?
  1. \(v_1 = 8 \times 1 + 4 = 12\) vis
    \(v_2 = 8 \times 2 + 4 = 20\) vis
    \(v_3 = 8 \times 3 + 4 = 28\) vis
    \(v_4 = 8 \times 4 + 4 = 36\) vis
    \(v_5 = 8 \times 5 + 4 = 44\) vis
  2. \(v_{12} = 8 \times 12 + 4 = 100\) vis.
  3. On résout \(8n + 4 \leqslant 100\), soit \(8n \leqslant 96\), donc \(n \leqslant 12\). Il peut fabriquer 12 étagères au maximum.

Exercice 3

On considère la suite \((w_n)\) définie par \(w_n = n^2 - 2n + 3\).

  1. Calculer \(w_0\), \(w_1\), \(w_2\), \(w_3\), \(w_4\) et \(w_5\).
  2. Cette suite est-elle arithmétique ? Justifier en calculant les différences \(w_{n+1} - w_n\) pour les premières valeurs.
  1. \(w_0 = 0 - 0 + 3 = 3\)
    \(w_1 = 1 - 2 + 3 = 2\)
    \(w_2 = 4 - 4 + 3 = 3\)
    \(w_3 = 9 - 6 + 3 = 6\)
    \(w_4 = 16 - 8 + 3 = 11\)
    \(w_5 = 25 - 10 + 3 = 18\)
  2. \(w_1 - w_0 = 2 - 3 = -1\)
    \(w_2 - w_1 = 3 - 2 = 1\)
    \(w_3 - w_2 = 6 - 3 = 3\)
    Les différences ne sont pas constantes : cette suite n'est pas arithmétique.

C2 — Reconnaître une suite arithmétique et calculer un terme de rang donné

Rappel de cours

Une suite \((u_n)\) est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante : \(u_{n+1} = u_n + r\), où \(r\) est la raison. Pour calculer un terme de rang donné, on peut partir du premier terme et ajouter la raison successivement, ou utiliser la formule explicite : \(u_n = u_0 + n \times r\).

Exercice 4

Parmi les suites suivantes, indiquer lesquelles sont arithmétiques. Préciser la raison.

  1. 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; ...
  2. 100 ; 90 ; 80 ; 70 ; 60 ; ...
  3. 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; ...
  4. 1,5 ; 3 ; 4,5 ; 6 ; 7,5 ; ...
  1. \(8 - 5 = 3\), \(11 - 8 = 3\), \(14 - 11 = 3\) : arithmétique, raison \(r = 3\).
  2. \(90 - 100 = -10\), \(80 - 90 = -10\) : arithmétique, raison \(r = -10\).
  3. \(4 - 2 = 2\), \(8 - 4 = 4\) : les différences ne sont pas constantes. Non arithmétique (c'est une suite géométrique).
  4. \(3 - 1{,}5 = 1{,}5\), \(4{,}5 - 3 = 1{,}5\), \(6 - 4{,}5 = 1{,}5\) : arithmétique, raison \(r = 1{,}5\).

Exercice 5

Un menuisier agenceur livre des placards. Le premier mois, il en livre 8. Chaque mois, il en livre 3 de plus que le mois précédent.

  1. Justifier que le nombre de placards livrés chaque mois forme une suite arithmétique. Préciser \(u_0\) et \(r\).
  2. Calculer le nombre de placards livrés les mois 2, 3, 4 et 5 (en partant du mois 0).
  3. Combien de placards livre-t-il au mois 12 ?
  1. Chaque mois, on ajoute 3 au nombre précédent : c'est une suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 8\) et de raison \(r = 3\).
  2. \(u_1 = 8 + 3 = 11\)
    \(u_2 = 11 + 3 = 14\)
    \(u_3 = 14 + 3 = 17\)
    \(u_4 = 17 + 3 = 20\)
    \(u_5 = 20 + 3 = 23\)
  3. \(u_{12} = u_0 + 12 \times r = 8 + 12 \times 3 = 8 + 36 = 44\).
    Au mois 12, il livre 44 placards.

Exercice 6

La suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r = -4\) et de premier terme \(u_0 = 50\).

  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
  2. Calculer \(u_{10}\).
  3. À partir de quel rang \(n\) a-t-on \(u_n < 0\) ?
  1. \(u_1 = 50 + (-4) = 46\)
    \(u_2 = 46 + (-4) = 42\)
    \(u_3 = 42 + (-4) = 38\)
  2. \(u_{10} = 50 + 10 \times (-4) = 50 - 40 = 10\)
  3. On résout \(50 - 4n < 0\), soit \(50 < 4n\), donc \(n > 12{,}5\).
    Le premier entier vérifiant cette condition est \(n = 13\) : \(u_{13} = 50 - 52 = -2 < 0\).
    Vérification : \(u_{12} = 50 - 48 = 2 > 0\) ✔

C3 — Déterminer le terme général et le sens de variation

Rappel de cours

Le terme général d'une suite arithmétique est : \(u_n = u_0 + n \times r\).
Sens de variation : si \(r > 0\), la suite est croissante ; si \(r < 0\), la suite est décroissante ; si \(r = 0\), la suite est constante.
Lien avec les fonctions affines : le terme général \(u_n = rn + u_0\) est une fonction affine de \(n\).

Exercice 7

Pour chaque suite arithmétique, donner le terme général \(u_n\) et préciser le sens de variation :

  1. \(u_0 = 10\), \(r = 4\)
  2. \(u_0 = 200\), \(r = -15\)
  3. \(u_0 = -3\), \(r = 0{,}5\)
  1. \(u_n = 10 + 4n\). Comme \(r = 4 > 0\), la suite est croissante.
  2. \(u_n = 200 - 15n\). Comme \(r = -15 < 0\), la suite est décroissante.
  3. \(u_n = -3 + 0{,}5n\). Comme \(r = 0{,}5 > 0\), la suite est croissante.

Exercice 8

Un stock de planches dans un atelier de menuiserie diminue régulièrement : chaque semaine, 12 planches sont utilisées. Le stock initial est de 180 planches.

  1. Modéliser la situation par une suite arithmétique. Donner \(u_0\), \(r\) et le terme général \(u_n\).
  2. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
  3. Au bout de combien de semaines le stock sera-t-il épuisé ?
  1. \(u_0 = 180\), \(r = -12\). Le terme général est \(u_n = 180 - 12n\).
  2. \(r = -12 < 0\), donc la suite est décroissante. Le stock diminue au fil des semaines.
  3. On résout \(180 - 12n = 0\), soit \(n = \dfrac{180}{12} = 15\).
    Le stock est épuisé au bout de 15 semaines.
    Vérification : \(u_{15} = 180 - 12 \times 15 = 180 - 180 = 0\) ✔

Exercice 9

On sait que \(u_5 = 32\) et \(u_8 = 47\) pour une suite arithmétique \((u_n)\).

  1. Déterminer la raison \(r\).
  2. Déterminer \(u_0\).
  3. Écrire le terme général \(u_n\) et préciser le sens de variation.
  1. De \(u_5\) à \(u_8\), il y a \(8 - 5 = 3\) pas.
    \(r = \dfrac{u_8 - u_5}{8 - 5} = \dfrac{47 - 32}{3} = \dfrac{15}{3} = 5\)
  2. \(u_5 = u_0 + 5r\), donc \(u_0 = u_5 - 5r = 32 - 5 \times 5 = 32 - 25 = 7\).
  3. \(u_n = 7 + 5n\). Comme \(r = 5 > 0\), la suite est croissante.

C4 — Réaliser et exploiter le nuage de points \((n\,;\,u_n)\)

Rappel de cours

Pour représenter graphiquement une suite \((u_n)\), on place les points de coordonnées \((n\,;\,u_n)\) dans un repère. Pour une suite arithmétique, les points sont alignés (car \(u_n = rn + u_0\) est une fonction affine de \(n\)). On peut lire graphiquement les termes ou vérifier le caractère arithmétique.

Exercice 10

On considère la suite arithmétique \(u_n = 2n + 3\).

  1. Calculer les termes de \(u_0\) à \(u_6\).
  2. Placer les points \((n\,;\,u_n)\) dans un repère.
  3. Que constate-t-on ? Expliquer.
  1. \(u_0 = 3\), \(u_1 = 5\), \(u_2 = 7\), \(u_3 = 9\), \(u_4 = 11\), \(u_5 = 13\), \(u_6 = 15\).
  2. 0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 n u_n
  3. Les points sont alignés. C'est normal car \(u_n = 2n + 3\) est une fonction affine de \(n\) : la représentation est une droite de pente 2 (la raison) et d'ordonnée à l'origine 3 (\(u_0\)).

Exercice 11

Le graphique ci-dessous représente le nuage de points \((n\,;\,u_n)\) d'une suite :

0 1 2 3 4 5 0 10 20 30 40 n u_n
  1. Lire graphiquement \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\), \(u_5\).
  2. La suite semble-t-elle arithmétique ? Si oui, donner sa raison.
  3. La suite est-elle croissante ou décroissante ?
  1. \(u_0 = 40\), \(u_1 = 34\), \(u_2 = 28\), \(u_3 = 22\), \(u_4 = 16\), \(u_5 = 10\).
  2. Les points semblent alignés. Vérifions : \(u_1 - u_0 = -6\), \(u_2 - u_1 = -6\), \(u_3 - u_2 = -6\), etc. La différence est constante : la suite est arithmétique de raison \(r = -6\).
  3. Comme \(r = -6 < 0\), la suite est décroissante. Graphiquement, les points descendent de gauche à droite.

Exercice 12

Un menuisier reçoit des commandes croissantes. Le mois 0, il a 15 commandes. Chaque mois, il en reçoit 5 de plus.

  1. Donner le terme général \(u_n\).
  2. Représenter le nuage \((n\,;\,u_n)\) pour \(n\) de 0 à 8.
  3. Lire graphiquement le mois où il atteint 40 commandes.
  1. \(u_n = 15 + 5n\)
  2. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 20 30 40 50
  3. On lit graphiquement que \(u_n = 40\) pour \(n = 5\). Vérification : \(u_5 = 15 + 5 \times 5 = 40\) ✔. Il atteint 40 commandes au mois 5.

C5 — Calculer la somme des \(n\) premiers termes d'une suite arithmétique

Rappel de cours

La somme des \((n+1)\) premiers termes d'une suite arithmétique (de \(u_0\) à \(u_n\)) est :
\[S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\] Cette formule est donnée (non exigible). On peut aussi la retrouver en calculant la somme « à l'endroit et à l'envers ».

Exercice 13

Calculer la somme des 10 premiers termes (de \(u_0\) à \(u_9\)) de la suite arithmétique \(u_n = 3n + 2\).

Premier terme : \(u_0 = 2\).
Dernier terme : \(u_9 = 3 \times 9 + 2 = 29\).
Nombre de termes : \(9 - 0 + 1 = 10\).
\[S = \frac{10 \times (2 + 29)}{2} = \frac{10 \times 31}{2} = \frac{310}{2} = 155\] Vérification : \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 = 155\) ✔

Exercice 14

Un menuisier agenceur pose des placards dans un immeuble neuf. Au 1er étage, il pose 4 placards. À chaque étage, il en pose 2 de plus que l'étage précédent. L'immeuble a 8 étages.

  1. Modéliser le nombre de placards par étage par une suite arithmétique.
  2. Combien de placards pose-t-il au 8e étage ?
  3. Combien de placards pose-t-il au total dans l'immeuble ?
  1. Notons \(u_1 = 4\) (1er étage), raison \(r = 2\). Le terme général est \(u_n = 4 + (n-1) \times 2 = 2n + 2\) pour \(n \geqslant 1\).
  2. \(u_8 = 2 \times 8 + 2 = 18\) placards au 8e étage.
  3. Somme de \(u_1\) à \(u_8\) :
    Nombre de termes : 8.
    \[S = \frac{8 \times (u_1 + u_8)}{2} = \frac{8 \times (4 + 18)}{2} = \frac{8 \times 22}{2} = \frac{176}{2} = 88\] Réponse : le menuisier pose 88 placards au total.
    Vérification : \(4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 88\) ✔

Exercice 15

Calculer \(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 50\).

C'est la somme des 51 premiers termes de la suite \(u_n = n\) (de \(u_0 = 0\) à \(u_{50} = 50\)), mais ici on part de 1.
\(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 50\). C'est la somme de 50 termes, premier = 1, dernier = 50.
\[S = \frac{50 \times (1 + 50)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = \frac{2\,550}{2} = 1\,275\]

Exercice 16

Un atelier de menuiserie produit des moulures. La première semaine, 20 moulures sont fabriquées. Chaque semaine, la production augmente de 5 moulures (montée en compétence des apprentis).

  1. Donner le terme général \(u_n\) (\(n = 0\) pour la 1re semaine).
  2. Calculer la production totale sur les 10 premières semaines (de la semaine 0 à la semaine 9).
  3. À partir de quelle semaine la production totale dépasse-t-elle 500 moulures ? (On pourra utiliser un tableau de valeurs.)
  1. \(u_0 = 20\), \(r = 5\), donc \(u_n = 20 + 5n\).
  2. \(u_9 = 20 + 5 \times 9 = 65\).
    Nombre de termes : 10 (de \(u_0\) à \(u_9\)).
    \[S = \frac{10 \times (20 + 65)}{2} = \frac{10 \times 85}{2} = \frac{850}{2} = 425 \text{ moulures}\]
  3. On cherche le plus petit \(n\) tel que la somme de \(u_0\) à \(u_n\) dépasse 500.
    Somme de \(u_0\) à \(u_n\) : \(S_n = \dfrac{(n+1)(20 + 20 + 5n)}{2} = \dfrac{(n+1)(40 + 5n)}{2}\).
    Pour \(n = 9\) : \(S_9 = 425\) (calculé ci-dessus).
    Pour \(n = 10\) : \(u_{10} = 70\), \(S_{10} = 425 + 70 = 495\).
    Pour \(n = 11\) : \(u_{11} = 75\), \(S_{11} = 495 + 75 = 570 > 500\).
    La production totale dépasse 500 moulures à la semaine 11 (la 12e semaine).