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Chapitre 3 – Exercices par capacités

Suites numériques (suites arithmétiques)  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Capacités et connaissances du programme :

Remarque : la formule de la somme n'est pas exigible (non à mémoriser). Les suites définies par récurrence autres qu'arithmétiques sont hors programme.

C1 — Générer les termes d'une suite : notation, rang, terme ; par formule explicite ou par récurrence ; avec un outil numérique : tableur et Python

Rappel de cours

Une suite numérique \((u_n)\) associe à chaque entier naturel \(n\) un nombre réel \(u_n\). On peut la définir par une formule explicite \(u_n = f(n)\) ou, pour une suite arithmétique, par une relation \(u_{n+1} = u_n+r\). Pour calculer les termes, on remplace \(n\) par les valeurs successives 0, 1, 2, 3...

Exercice 1

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = 3n + 5\).

  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\).
  2. Calculer \(u_{10}\) et \(u_{100}\).
  1. \(u_0 = 3 \times 0 + 5 = 5\)
    \(u_1 = 3 \times 1 + 5 = 8\)
    \(u_2 = 3 \times 2 + 5 = 11\)
    \(u_3 = 3 \times 3 + 5 = 14\)
    \(u_4 = 3 \times 4 + 5 = 17\)
  2. \(u_{10} = 3 \times 10 + 5 = 35\)
    \(u_{100} = 3 \times 100 + 5 = 305\)

Exercice 2

Un éducateur sportif aménage des zones d'entraînement. La suite \((v_n)\) donne le nombre total de plots utilisés pour \(n\) zones : \(v_n = 8n + 4\) (4 plots pour délimiter l'entrée, puis 8 plots par zone).

  1. Calculer le nombre de plots pour 1, 2, 3, 4 et 5 zones.
  2. Combien de plots faut-il pour 12 zones ?
  3. L'éducateur dispose de 100 plots. Combien de zones peut-il aménager au maximum ?
  1. \(v_1 = 8 \times 1 + 4 = 12\) plots
    \(v_2 = 8 \times 2 + 4 = 20\) plots
    \(v_3 = 8 \times 3 + 4 = 28\) plots
    \(v_4 = 8 \times 4 + 4 = 36\) plots
    \(v_5 = 8 \times 5 + 4 = 44\) plots
  2. \(v_{12} = 8 \times 12 + 4 = 100\) plots.
  3. On résout \(8n + 4 \leqslant 100\), soit \(8n \leqslant 96\), donc \(n \leqslant 12\). Il peut aménager 12 zones au maximum.

Exercice 3

On considère la suite \((w_n)\) définie par \(w_n = n^2 - 2n + 3\).

  1. Calculer \(w_0\), \(w_1\), \(w_2\), \(w_3\), \(w_4\) et \(w_5\).
  2. Cette suite est-elle arithmétique ? Justifier en calculant les différences \(w_{n+1} - w_n\) pour les premières valeurs.
  1. \(w_0 = 0 - 0 + 3 = 3\)
    \(w_1 = 1 - 2 + 3 = 2\)
    \(w_2 = 4 - 4 + 3 = 3\)
    \(w_3 = 9 - 6 + 3 = 6\)
    \(w_4 = 16 - 8 + 3 = 11\)
    \(w_5 = 25 - 10 + 3 = 18\)
  2. \(w_1 - w_0 = 2 - 3 = -1\)
    \(w_2 - w_1 = 3 - 2 = 1\)
    \(w_3 - w_2 = 6 - 3 = 3\)
    Les différences ne sont pas constantes : cette suite n'est pas arithmétique.

Exercice 4

On veut obtenir au tableur les termes de la suite définie par \(u_0 = 120\) et \(u_{n+1} = u_n - 8\). La colonne A contient les rangs et la colonne B les termes : on a saisi 0 en A2 et 120 en B2.

  1. Écrire la formule à saisir en B3 pour pouvoir la recopier vers le bas.
  2. Quelle valeur la cellule B7 affichera-t-elle ?
  3. Quelle formule explicite pourrait-on saisir en B2, puis recopier vers le bas, à la place ?
  4. On utilise la fonction Python du cours : 
    def termes(u0, r, n):
    liste = [u0]
    for k in range(n):
        liste.append(liste[-1] + r)
    return liste
    Quel appel donne les termes de rang 0 à 5 de cette suite ? Quelle liste obtient-on ?
  1. =B2-8 : on retire 8 au terme de la ligne du dessus.
  2. La ligne 2 porte le rang 0, donc la ligne 7 porte le rang 5 : \(u_5 = 120 - 5 \times 8 = 80\). B7 affiche 80.
  3. =120-8*A2 en B2, puis recopier vers le bas : chaque ligne calcule \(u_n = 120 - 8n\).
  4. termes(120, -8, 5) renvoie [120, 112, 104, 96, 88, 80] : six termes, du rang 0 au rang 5.

C2 — Reconnaître une suite arithmétique et sa raison ; calculer un terme de rang donné : \(u_n = u_0 + n\,r\)

Rappel de cours

Une suite \((u_n)\) est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante : \(u_{n+1} = u_n + r\), où \(r\) est la raison. Pour calculer un terme de rang donné, on peut partir du premier terme et ajouter la raison successivement, ou utiliser la formule explicite : \(u_n = u_0 + n \times r\).

Exercice 5

Parmi les suites suivantes, indiquer lesquelles sont arithmétiques. Préciser la raison.

  1. 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; ...
  2. 100 ; 90 ; 80 ; 70 ; 60 ; ...
  3. 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; ...
  4. 1,5 ; 3 ; 4,5 ; 6 ; 7,5 ; ...
  1. \(8 - 5 = 3\), \(11 - 8 = 3\), \(14 - 11 = 3\) : arithmétique, raison \(r = 3\).
  2. \(90 - 100 = -10\), \(80 - 90 = -10\) : arithmétique, raison \(r = -10\).
  3. \(4 - 2 = 2\), \(8 - 4 = 4\) : les différences ne sont pas constantes. la suite n'est pas arithmétique.
  4. \(3 - 1{,}5 = 1{,}5\), \(4{,}5 - 3 = 1{,}5\), \(6 - 4{,}5 = 1{,}5\) : arithmétique, raison \(r = 1{,}5\).

Exercice 6

Un service de livraison traite 8 colis urgents au mois de rang 0. Chaque mois, il en traite 3 de plus que le mois précédent.

  1. Justifier que le nombre de colis urgents traités chaque mois forme une suite arithmétique. Préciser \(u_0\) et \(r\).
  2. Calculer le nombre de colis traités aux mois de rang 1, 2, 3, 4 et 5.
  3. Combien de colis urgents sont traités au mois de rang 12 ?
  1. Chaque mois, on ajoute 3 au nombre précédent : c'est une suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 8\) et de raison \(r = 3\).
  2. \(u_1 = 8 + 3 = 11\)
    \(u_2 = 11 + 3 = 14\)
    \(u_3 = 14 + 3 = 17\)
    \(u_4 = 17 + 3 = 20\)
    \(u_5 = 20 + 3 = 23\)
  3. \(u_{12} = u_0 + 12 \times r = 8 + 12 \times 3 = 8 + 36 = 44\).
    Au mois de rang 12, le service traite 44 colis urgents.

Exercice 7

La suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r = -4\) et de premier terme \(u_0 = 50\).

  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
  2. Calculer \(u_{10}\).
  3. À partir de quel rang \(n\) a-t-on \(u_n < 0\) ?
  1. \(u_1 = 50 + (-4) = 46\)
    \(u_2 = 46 + (-4) = 42\)
    \(u_3 = 42 + (-4) = 38\)
  2. \(u_{10} = 50 + 10 \times (-4) = 50 - 40 = 10\)
  3. On résout \(50 - 4n < 0\), soit \(50 < 4n\), donc \(n > 12{,}5\).
    Le premier entier vérifiant cette condition est \(n = 13\) : \(u_{13} = 50 - 52 = -2 < 0\).
    Vérification : \(u_{12} = 50 - 48 = 2 > 0\) ✔

Exercice 8

On sait que \(u_5 = 32\) et \(u_8 = 47\) pour une suite arithmétique \((u_n)\).

  1. Déterminer la raison \(r\). Détailler le comptage des pas.
  2. Déterminer \(u_0\).
  3. Écrire le terme général \(u_n\).
  4. Vérifier le résultat en recalculant \(u_8\) avec la formule obtenue.
  1. De \(u_5\) à \(u_8\), il y a \(8 - 5 = 3\) pas : \(u_8 = u_5 + 3r\), soit \(47 = 32 + 3r\), donc \(3r = 15\) et \(r = 5\).
  2. \(u_5 = u_0 + 5r\), donc \(u_0 = u_5 - 5r = 32 - 25 = 7\).
  3. \(u_n = 7 + 5n\).
  4. \(u_8 = 7 + 5 \times 8 = 47\) ✔

C3 — Étudier le sens de variation d'une suite donnée par \(u_n = f(n)\) ; déterminer le sens de variation d'après la raison

Rappel de cours

Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent (\(u_{n+1} \geqslant u_n\)), décroissante si chaque terme est inférieur ou égal au précédent (\(u_{n+1} \leqslant u_n\)), constante si tous les termes sont égaux.

Suite donnée par \(u_n = f(n)\) : calculer les premiers termes, puis les différences \(u_{n+1} - u_n\). Toutes positives : la suite est croissante. Toutes négatives : elle est décroissante. Si elles changent de signe, la suite n'est ni croissante ni décroissante : préciser sur quels rangs elle descend et sur quels rangs elle monte.

Suite arithmétique : toutes les différences valent \(r\). Si \(r > 0\), la suite est croissante ; si \(r < 0\), elle est décroissante ; si \(r = 0\), elle est constante. Le premier terme ne joue aucun rôle.

Exercice 9

Pour chaque suite arithmétique, donner la raison, puis le sens de variation.

  1. \(u_0 = 10\) et \(r = 4\)
  2. \(u_0 = 200\) et \(r = -15\)
  3. \(v_0 = 40\) et \(v_{n+1} = v_n - 2{,}5\)
  4. \(w_n = 7 + 1{,}5n\)
  5. \(t_0 = 90\) et la raison est nulle.
  6. \(u_0 = -3\) et \(r = 0{,}5\). Un élève affirme : « le premier terme est négatif, donc la suite est décroissante ». Que lui répondre ?
  1. \(r = 4 > 0\) : la suite est croissante.
  2. \(r = -15 < 0\) : la suite est décroissante.
  3. On retire 2,5 à chaque rang : \(r = -2{,}5 < 0\), la suite est décroissante.
  4. \(w_n = 7 + 1{,}5n\) est de la forme \(w_0 + nr\) : \(r = 1{,}5 > 0\), la suite est croissante.
  5. \(r = 0\) : la suite est constante, tous ses termes valent 90.
  6. \(r = 0{,}5 > 0\) : la suite est croissante. L'élève se trompe : le sens de variation dépend du signe de la raison, pas du premier terme. La suite part d'une valeur négative et monte.

Exercice 10

Pour chaque suite, calculer les termes de rang 0 à 5, puis les différences entre termes consécutifs. En déduire le sens de variation.

  1. \(u_n = n^2 + 2n\)
  2. \(v_n = 30 - n^2\)
  3. \(w_n = n^2 - 8n + 20\)
  1. Termes : 0 ; 3 ; 8 ; 15 ; 24 ; 35. Différences : 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11. Elles sont toutes positives : la suite est croissante.
  2. Termes : 30 ; 29 ; 26 ; 21 ; 14 ; 5. Différences : −1 ; −3 ; −5 ; −7 ; −9. Elles sont toutes négatives : la suite est décroissante.
  3. Termes : 20 ; 13 ; 8 ; 5 ; 4 ; 5. Différences : −7 ; −5 ; −3 ; −1 ; +1. Elles changent de signe : la suite décroît du rang 0 au rang 4, puis croît à partir du rang 4. Elle n'est ni croissante ni décroissante.

Exercice 11

Partie 1. Une cuve de chantier contient 1 800 litres d'eau. Une pompe en retire 150 litres par heure. Le volume, en litres, au bout de \(n\) heures est modélisé par \(u_n = 1\,800 - 150n\).

  1. Donner le sens de variation de la suite \((u_n)\). Justifier à partir de la raison.
  2. Traduire ce résultat par une phrase sur le volume d'eau de la cuve.

Partie 2. Une suite \((t_n)\) a pour termes, du rang 0 au rang 7 : 12 ; 7 ; 4 ; 3 ; 4 ; 7 ; 12 ; 19.

  1. Un élève remarque que \(t_7 > t_0\) et conclut que la suite est croissante. Expliquer son erreur.
  2. Donner le sens de variation de \((t_n)\) sur ces rangs.
  1. \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r = -150 < 0\) : elle est décroissante.
  2. Le volume d'eau de la cuve baisse de 150 litres chaque heure.
  3. Comparer le premier et le dernier terme ne suffit pas : il faut comparer chaque terme au précédent. Ici \(t_1 = 7 < t_0 = 12\) : la suite descend d'abord, elle n'est donc pas croissante.
  4. Différences : −5 ; −3 ; −1 ; +1 ; +3 ; +5 ; +7. La suite décroît du rang 0 au rang 3, puis croît à partir du rang 3. Elle n'est ni croissante ni décroissante.

C4 — Réaliser et exploiter le nuage de points \((n\,;\,u_n)\)

Rappel de cours

Pour représenter graphiquement une suite \((u_n)\), on place les points de coordonnées \((n\,;\,u_n)\) dans un repère. Pour une suite arithmétique, les points sont alignés (car \(u_n = rn + u_0\) est une fonction affine de \(n\)). On ne relie pas les points : une suite n'existe qu'aux rangs entiers. On peut lire graphiquement les termes ou vérifier le caractère arithmétique.

Exercice 12

On considère la suite arithmétique \(u_n = 2n + 3\).

  1. Calculer les termes de \(u_0\) à \(u_6\).
  2. Placer les points \((n\,;\,u_n)\) dans un repère.
  3. Que constate-t-on ? Expliquer.
  4. Faut-il relier les points par un trait ? Justifier.
  1. \(u_0 = 3\), \(u_1 = 5\), \(u_2 = 7\), \(u_3 = 9\), \(u_4 = 11\), \(u_5 = 13\), \(u_6 = 15\).
  2. 0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 n u_n
  3. Les points sont alignés. C'est normal car \(u_n = 2n + 3\) est une expression affine de \(n\) : les points sont sur une droite de coefficient directeur 2 (la raison) et d'ordonnée à l'origine 3 (\(u_0\)). La droite en pointillés n'est qu'un repère visuel.
  4. Non : une suite n'est définie que pour des rangs entiers. Relier les points laisserait croire qu'il existe un terme de rang 2,5.

Exercice 13

Le graphique ci-dessous représente le nuage de points \((n\,;\,u_n)\) d'une suite :

0 1 2 3 4 5 0 10 20 30 40 n u_n
  1. Lire graphiquement \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\), \(u_5\).
  2. La suite semble-t-elle arithmétique ? Si oui, donner sa raison.
  3. La suite est-elle croissante ou décroissante ?
  1. \(u_0 = 40\), \(u_1 = 34\), \(u_2 = 28\), \(u_3 = 22\), \(u_4 = 16\), \(u_5 = 10\).
  2. Les points semblent alignés. Vérifions : \(u_1 - u_0 = -6\), \(u_2 - u_1 = -6\), \(u_3 - u_2 = -6\), etc. La différence est constante : la suite est arithmétique de raison \(r = -6\).
  3. Comme \(r = -6 < 0\), la suite est décroissante. Graphiquement, les points descendent de gauche à droite.

Exercice 14

Un centre culturel enregistre 15 inscriptions au mois 0. Chaque mois, il en reçoit 5 de plus.

  1. Donner le terme général \(u_n\).
  2. Représenter le nuage \((n\,;\,u_n)\) pour \(n\) de 0 à 8.
  3. Lire graphiquement le mois où le centre atteint 40 inscriptions.
  1. \(u_n = 15 + 5n\)
  2. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 20 30 40 50 60
  3. On lit graphiquement que \(u_n = 40\) pour \(n = 5\). Vérification : \(u_5 = 15 + 5 \times 5 = 40\) ✔. Le centre atteint 40 inscriptions au mois 5.

C5 — Calculer la somme des \(n\) premiers termes

Rappel de cours

La somme des \((n+1)\) premiers termes d'une suite arithmétique (de \(u_0\) à \(u_n\)) est :
\[S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\] Cette formule est donnée (non exigible). On peut aussi la retrouver en calculant la somme « à l'endroit et à l'envers ».

Exercice 15

On considère la suite arithmétique \(u_n = 3n + 2\).

  1. Calculer la somme des 10 premiers termes, de \(u_0\) à \(u_9\). Détailler le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes.
  2. Un camarade a pris \(u_{10}\) comme dernier terme. Expliquer son erreur.
  1. Premier terme : \(u_0 = 2\).
    Dernier terme : \(u_9 = 3 \times 9 + 2 = 29\).
    Nombre de termes : \(9 - 0 + 1 = 10\).
    \[S = \frac{10 \times (2 + 29)}{2} = \frac{10 \times 31}{2} = \frac{310}{2} = 155\] Vérification : \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 = 155\) ✔
  2. Il confond le nombre de termes et le rang du dernier terme. De \(u_0\) à \(u_9\), il y a bien 10 termes, mais le dernier est \(u_9\). En prenant \(u_{10} = 32\), il ajoute un terme qui n'appartient pas à la somme.

Exercice 16

Un installateur photovoltaïque répartit des panneaux sur 8 rangées. La première rangée comporte 4 panneaux et chaque rangée en comporte 2 de plus que la précédente.

  1. Modéliser le nombre de panneaux par rangée par une suite arithmétique.
  2. Combien de panneaux comporte la 8e rangée ?
  3. Combien de panneaux l'installation comporte-t-elle au total ?
  1. Notons \(u_1 = 4\) pour la première rangée, avec une raison \(r = 2\). Le terme général est \(u_n = 4 + (n-1) \times 2 = 2n + 2\) pour \(n \geqslant 1\).
  2. \(u_8 = 2 \times 8 + 2 = 18\) panneaux sur la 8e rangée.
  3. Somme de \(u_1\) à \(u_8\) :
    Nombre de termes : 8.
    \[S = \frac{8 \times (u_1 + u_8)}{2} = \frac{8 \times (4 + 18)}{2} = \frac{8 \times 22}{2} = \frac{176}{2} = 88\] Réponse : l'installation comporte 88 panneaux au total.
    Vérification : \(4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 88\) ✔

Exercice 17

Calculer \(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 50\).

\(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 50\) est la somme de 50 termes consécutifs, de premier terme 1 et de dernier terme 50.
\[S = \frac{50 \times (1 + 50)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = \frac{2\,550}{2} = 1\,275\]

Exercice 18

Une association collecte 20 kg de denrées la première semaine. Chaque semaine, la collecte augmente de 5 kg.

  1. Donner le terme général \(u_n\) (\(n = 0\) pour la 1re semaine).
  2. Calculer la masse totale collectée sur les 10 premières semaines (de la semaine 0 à la semaine 9).
  3. À partir de quelle semaine la collecte cumulée dépasse-t-elle 500 kg ? (On pourra utiliser un tableau de valeurs.)
  1. \(u_0 = 20\), \(r = 5\), donc \(u_n = 20 + 5n\).
  2. \(u_9 = 20 + 5 \times 9 = 65\).
    Nombre de termes : 10 (de \(u_0\) à \(u_9\)).
    \[S = \frac{10 \times (20 + 65)}{2} = \frac{10 \times 85}{2} = \frac{850}{2} = 425 \text{ kg}\]
  3. On cherche le plus petit \(n\) tel que la somme de \(u_0\) à \(u_n\) dépasse 500.
    Somme de \(u_0\) à \(u_n\) : \(S_n = \dfrac{(n+1)(20 + 20 + 5n)}{2} = \dfrac{(n+1)(40 + 5n)}{2}\).
    Pour \(n = 9\) : \(S_9 = 425\) (calculé ci-dessus).
    Pour \(n = 10\) : \(u_{10} = 70\), \(S_{10} = 425 + 70 = 495\).
    Pour \(n = 11\) : \(u_{11} = 75\), \(S_{11} = 495 + 75 = 570 > 500\).
    La collecte cumulée dépasse 500 kg à la semaine 11 (la 12e semaine).