Suites numériques | 1ère Bac Pro
Un menuisier agenceur est embauché avec un salaire de 1 400 € par mois. Il reçoit une augmentation de 30 € chaque année.
On note \(u_n\) le salaire après \(n\) années. Ainsi \(u_0 = 1\,400\).
Étape 1 : REA Compléter le tableau.
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(u_n\) (€) | 1 400 | 1 430 |
Étape 2 : ANA Quelle opération fait-on pour passer d'un terme au suivant ?
Aide : on calcule \(u_1 - u_0 = ... - ... = ...\). Est-ce constant ?
Étape 3 : ANA La suite est-elle arithmétique ? Justifier, puis donner \(u_0\) et la raison.
Étape 4 : REA Compléter : \(u_n = u_0 + n \times r = ... + n \times ... = ...\)
Étape 5 : REA Calculer le salaire après 10 ans : \(u_{10} = ...\)
Étape 6 : VAL Vérifier : le salaire a-t-il augmenté de \(10 \times 30 = 300\) € en 10 ans ?
Un artisan achète une machine d'une valeur de 10 000 €. Pour sa comptabilité, elle est amortie de manière linéaire : elle perd 1 200 € de valeur chaque année.
On note \(v_n\) la valeur après \(n\) années. Ainsi \(v_0 = 10\,000\).
Étape 1 : APP Quelle est la valeur de la machine après 1 an ?
Aide : \(v_1 = 10\,000 - 1\,200 = ...\)
Étape 2 : REA Calculer \(v_2 = v_1 - 1\,200 = ...\) et \(v_3 = v_2 - 1\,200 = ...\)
Étape 3 : ANA Quelle opération fait-on pour passer d'un terme au suivant ? La suite est-elle arithmétique ? Donner la raison.
Étape 4 : REA Compléter : \(v_n = v_0 + n \times r = ... + n \times (...)\)
Étape 5 : REA Calculer \(v_5\).
Étape 6 : VAL La machine vaut-elle encore plus de 3 000 € après 5 ans ?
Un menuisier agenceur est embauché avec un salaire mensuel net de 1 450 €. Son employeur lui garantit une augmentation de 35 € par mois chaque année.
On note \(u_n\) le salaire mensuel net (en euros) au bout de \(n\) années. Ainsi \(u_0 = 1\,450\).
1. APP Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. ANA Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ? Préciser le premier terme et la raison.
3. REA Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
4. REA Calculer le salaire mensuel au bout de 10 ans.
5. ANA Calculer la somme totale des salaires mensuels perçus pendant les 5 premières années (de \(u_0\) à \(u_4\)).
Un artisan plombier-chauffagiste achète un véhicule utilitaire neuf au prix de 24 000 €. Pour sa comptabilité, le véhicule est amorti de manière linéaire : il perd 2 500 € de valeur chaque année.
On note \(v_n\) la valeur du véhicule (en euros) au bout de \(n\) années. Ainsi \(v_0 = 24\,000\).
1. APP Calculer \(v_1\) et \(v_2\).
2. ANA Justifier que la suite \((v_n)\) est arithmétique. Préciser le premier terme et la raison.
3. REA Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
4. REA Calculer la valeur du véhicule au bout de 5 ans. Donner le sens de variation de la suite en justifiant à partir de la raison.
5. ANA L'artisan souhaite revendre le véhicule quand sa valeur passe en dessous de 8 000 €. Compléter le tableau ci-dessous pour déterminer au bout de combien d'années il doit revendre.
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(v_n\) (€) | 24 000 |
6. VAL Vérifier le résultat de la question 5 en résolvant l'inéquation \(v_n < 8\,000\).
Note : cette version mobilise les suites géométriques, en anticipation du programme de Terminale (hors programme de Première).
Un artisan menuisier hésite entre deux placements pour sa trésorerie de 20 000 € :
On note \(a_n\) le capital du placement A et \(b_n\) celui du placement B après \(n\) années.
1. ANA Justifier que \((a_n)\) est arithmétique et \((b_n)\) est géométrique. Donner les formules des termes généraux.
2. REA Calculer le capital de chaque placement après 5 ans et après 10 ans.
3. ANA À partir de quelle année le placement B dépasse-t-il le placement A ? Justifier par un tableau ou par essais successifs.
4. VAL Expliquer en une phrase pourquoi les intérêts composés finissent toujours par dépasser les intérêts simples.
Un installateur thermique gère un stock de 500 vannes thermostatiques. Chaque mois :
On note \(s_n\) le stock au début du mois \(n\), avec \(s_0 = 500\).
1. APP Justifier que \(s_{n+1} = 0{,}85 \times s_n + 30\).
2. REA Calculer \(s_1\), \(s_2\) et \(s_3\) (arrondir à l'unité).
3. ANA La suite \((s_n)\) est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier.
4. ANA On admet que si le stock se stabilise à une valeur \(L\), alors \(L = 0{,}85L + 30\). Résoudre cette équation pour trouver \(L\).
5. REA Calculer les termes de la suite jusqu'à vérifier que le stock se rapproche effectivement de \(L\).
6. COM Interpréter le résultat : le stock est-il suffisant pour assurer l'activité sur le long terme ? L'installateur doit-il modifier sa commande mensuelle ?