Chapitre 3 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 28 avril 2026
Contexte : un ébéniste fabrique des étagères sur mesure pour un client. Le client souhaite commander entre 1 et 8 étagères identiques. L'ébéniste lui propose deux stratégies tarifaires.
La première étagère coûte 120 €. Pour chaque étagère supplémentaire, le prix unitaire augmente de 15 € (matériaux plus nobles au fur et à mesure de la gamme).
La première étagère coûte 200 €. Pour chaque étagère supplémentaire, le prix est réduit de 5 % par rapport à l'étagère précédente (remise de fidélité).
On note \(u_n\) le prix de la \(n\)-ième étagère avec la stratégie A et \(v_n\) le prix de la \(n\)-ième étagère avec la stratégie B, où \(n\) va de 1 à 8.
a) Compléter le tableau des prix unitaires pour la stratégie A :
| Étagère \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prix \(u_n\) (€) | 120 | 135 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
b) Compléter le tableau des prix unitaires pour la stratégie B (arrondir au centime) :
| Étagère \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prix \(v_n\) (€) | 200 | 190 | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
a) Stratégie A : on ajoute 15 € à chaque fois.
| Étagère \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prix \(u_n\) (€) | 120 | 135 | 150 | 165 | 180 | 195 | 210 | 225 |
b) Stratégie B : on multiplie par 0,95 à chaque fois (réduction de 5 %).
| Étagère \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prix \(v_n\) (€) | 200,00 | 190,00 | 180,50 | 171,48 | 162,90 | 154,76 | 147,02 | 139,67 |
Détail : \(v_3 = 190 \times 0{,}95 = 180{,}50\), \(v_4 = 180{,}50 \times 0{,}95 = 171{,}475 \approx 171{,}48\), etc.
a) Calculer la différence \(u_2 - u_1\), puis \(u_3 - u_2\), puis \(u_4 - u_3\).
b) Que remarquez-vous ? Comment passe-t-on d'un terme au suivant ?
a)
b) La différence entre deux termes consécutifs est toujours égale à 15. On passe d'un terme au suivant en ajoutant 15. C'est une régularité : on ajoute toujours le même nombre.
a) Calculer le quotient \(\dfrac{v_2}{v_1}\), puis \(\dfrac{v_3}{v_2}\), puis \(\dfrac{v_4}{v_3}\).
b) Que remarquez-vous ? Comment passe-t-on d'un terme au suivant ?
a)
b) Le quotient entre deux termes consécutifs est toujours égal à 0,95. On passe d'un terme au suivant en multipliant par 0,95. C'est une régularité : on multiplie toujours par le même nombre.
En mathématiques :
a) Identifier le type de la suite \((u_n)\) et préciser sa raison.
b) Identifier le type de la suite \((v_n)\) et préciser sa raison.
a) La suite \((u_n)\) est une suite arithmétique de premier terme \(u_1 = 120\) et de raison \(r = 15\).
On écrit : \(u_{n+1} = u_n + 15\).
b) La suite \((v_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(v_1 = 200\) et de raison \(q = 0{,}95\).
On écrit : \(v_{n+1} = v_n \times 0{,}95\).
a) Écrire la relation de récurrence de la suite \((u_n)\) : \(u_{n+1} = u_n + \ldots\)
b) On admet que le terme général d'une suite arithmétique de premier terme \(u_1\) et de raison \(r\) est : \(u_n = u_1 + (n - 1) \times r\).
Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) pour la stratégie A.
c) Vérifier votre formule en calculant \(u_5\).
a) \(u_{n+1} = u_n + 15\)
b) \(u_n = 120 + (n - 1) \times 15 = 120 + 15n - 15 = 105 + 15n\)
Soit : \(\boxed{u_n = 105 + 15n}\)
c) Vérification : \(u_5 = 105 + 15 \times 5 = 105 + 75 = 180\) €. Cela correspond bien au tableau.
a) Écrire la relation de récurrence de la suite \((v_n)\) : \(v_{n+1} = v_n \times \ldots\)
b) On admet que le terme général d'une suite géométrique de premier terme \(v_1\) et de raison \(q\) est : \(v_n = v_1 \times q^{n-1}\).
Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) pour la stratégie B.
c) Vérifier votre formule en calculant \(v_6\) (arrondir au centime).
a) \(v_{n+1} = v_n \times 0{,}95\)
b) \(v_n = 200 \times 0{,}95^{n-1}\)
Soit : \(\boxed{v_n = 200 \times 0{,}95^{n-1}}\)
c) Vérification : \(v_6 = 200 \times 0{,}95^{5} = 200 \times 0{,}77378 \approx 154{,}76\) €. Cela correspond bien au tableau.
Le client souhaite commander 6 étagères. Calculer le coût total pour chaque stratégie.
a) Coût total avec la stratégie A : \(S_A = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6\).
Aide : pour une suite arithmétique, \(S = \dfrac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}\).
b) Coût total avec la stratégie B : \(S_B = v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5 + v_6\) (additionner les valeurs du tableau).
a) Stratégie A : suite arithmétique de 6 termes, de \(u_1 = 120\) à \(u_6 = 195\).
\[S_A = \frac{6 \times (120 + 195)}{2} = \frac{6 \times 315}{2} = \frac{1\,890}{2} = 945 \text{ €}\]b) Stratégie B :
\[S_B = 200 + 190 + 180{,}50 + 171{,}48 + 162{,}90 + 154{,}76 = 1\,059{,}64 \text{ €}\]Pour 6 étagères, la stratégie A (945 €) est moins chère que la stratégie B (1 059,64 €).
Observer les deux tableaux complétés à la question 1.
a) La suite \((u_n)\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
b) La suite \((v_n)\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
c) À partir de quelle étagère le prix unitaire de la stratégie B devient-il inférieur à celui de la stratégie A ?
a) La suite \((u_n)\) est croissante car la raison \(r = 15 > 0\) : le prix augmente de 15 € à chaque étagère.
b) La suite \((v_n)\) est décroissante car la raison \(q = 0{,}95 < 1\) (avec \(v_1 > 0\)) : le prix diminue de 5 % à chaque étagère.
c) Comparons les prix unitaires :
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u_n\) (€) | 120 | 135 | 150 | 165 | 180 | 195 | 210 | 225 |
| \(v_n\) (€) | 200 | 190 | 180,50 | 171,48 | 162,90 | 154,76 | 147,02 | 139,67 |
À partir de la 5e étagère (\(n = 5\)), le prix unitaire de B (162,90 €) devient inférieur à celui de A (180 €).
La suite croissante (A) finit par dépasser la suite décroissante (B).
On cherche à déterminer à partir de quelle étagère \(n\) on a \(v_n < u_n\), c'est-à-dire :
\[200 \times 0{,}95^{n-1} < 105 + 15n\]a) Vérifier que pour \(n = 4\), on a \(v_4 > u_4\).
b) Vérifier que pour \(n = 5\), on a \(v_5 < u_5\).
c) En déduire à partir de quelle étagère la stratégie B offre un prix unitaire plus avantageux.
a) Pour \(n = 4\) :
b) Pour \(n = 5\) :
c) À partir de la 5e étagère, le prix unitaire de la stratégie B est inférieur à celui de la stratégie A.
Le client hésite entre les deux stratégies. Rédiger un court paragraphe (3 à 5 phrases) pour le conseiller, en tenant compte :
Exemple de réponse :
Si le client commande peu d'étagères (4 ou moins), la stratégie A est la plus avantageuse car le prix de départ est bas (120 €) et l'augmentation reste modérée. En revanche, si le client envisage une grande commande (5 étagères ou plus), la stratégie B devient plus intéressante au niveau du prix unitaire, car la réduction de 5 % s'accumule et le prix diminue de plus en plus. Toutefois, il faut noter que le coût total de la stratégie B reste supérieur pour 6 étagères (1 059,64 € contre 945 €) car les premiers prix étaient élevés. Pour un achat groupé de nombreuses étagères identiques, la stratégie B sera de plus en plus compétitive sur le long terme.
| Suite arithmétique | Suite géométrique | |
|---|---|---|
| Récurrence | \(u_{n+1} = u_n + r\) | \(u_{n+1} = u_n \times q\) |
| Opération | On ajoute toujours le même nombre \(r\) (raison) | On multiplie toujours par le même nombre \(q\) (raison) |
| Terme général | \(u_n = u_0 + n \times r\) | \(u_n = u_0 \times q^n\) |
| Reconnaître | \(u_{n+1} - u_n = \text{constante}\) | \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \text{constante}\) |
| Graphique | Points alignés | Courbe exponentielle |
| Exemple | Augmentation fixe de 15 € par étagère | Réduction de 5 % par étagère |