Chapitre 3 — Suites numériques | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Yanis, 17 ans, rejoint son club d'athlétisme à Bagnolet. Son objectif : passer sous les 50 minutes sur 10 km. Son entraîneur observe qu'avec un entraînement régulier (3 séances/semaine), un coureur amateur progresse en moyenne de 2 % par mois sur son temps au 10 km, pendant la première année.
Justifier que la suite \((u_n)\) modélisant le temps de Yanis est géométrique. Donner \(u_0\) et \(q\).
Chaque mois, le temps est multiplié par \(0{,}98\) (baisse de 2 %) → suite géométrique.
\( u_0 = 60 \) min, \( q = 0{,}98 \).
Donner \(u_n\) en fonction de \(n\). Calculer \(u_3\), \(u_6\) et \(u_{12}\) (arrondi à 0,1 min).
\( u_n = 60 \times 0{,}98^n \).
\( u_3 = 60 \times 0{,}98^3 \approx 60 \times 0{,}941 \approx \mathbf{56{,}5} \) min.
\( u_6 = 60 \times 0{,}98^6 \approx 60 \times 0{,}886 \approx \mathbf{53{,}2} \) min.
\( u_{12} = 60 \times 0{,}98^{12} \approx 60 \times 0{,}785 \approx \mathbf{47{,}1} \) min.
Yanis veut passer sous les 50 minutes. Au bout de combien de mois selon le modèle ?
Tester avec la calculatrice les valeurs \(u_9\), \(u_{10}\), \(u_{11}\).
\( u_9 = 60 \times 0{,}98^9 \approx 60 \times 0{,}834 \approx 50{,}1 \) min (juste au-dessus).
\( u_{10} = 60 \times 0{,}98^{10} \approx 60 \times 0{,}817 \approx \mathbf{49{,}0} \) min ← sous 50 min !
Yanis atteint son objectif au bout de 10 mois selon le modèle.
Que prédit le modèle pour \(u_{24}\) (au bout de 2 ans) ? Ce résultat est-il réaliste ?
\( u_{24} = 60 \times 0{,}98^{24} \approx 60 \times 0{,}616 \approx \mathbf{37{,}0} \) min.
37 min, c'est en dessous de la limite physiologique amateur (40 min). C'est peu réaliste pour un coureur amateur de 17 ans avec 3 séances/sem. Le modèle géométrique ne tient pas compte de cette limite : il continuerait à descendre indéfiniment.
Que prédit le modèle pour \(u_{60}\) (5 ans) et \(u_{120}\) (10 ans) ? Conclusion sur la validité du modèle.
\( u_{60} = 60 \times 0{,}98^{60} \approx 60 \times 0{,}298 \approx \mathbf{17{,}9} \) min (impossible, sous le record du monde !).
\( u_{120} = 60 \times 0{,}98^{120} \approx 60 \times 0{,}0892 \approx \mathbf{5{,}4} \) min (absurde !).
Le modèle géométrique n'est valable qu'à court terme (≈ 1 an). Au-delà, la réalité est une courbe en S : progression rapide au début, ralentissement, puis plateau autour de la limite physiologique.
Représenter dans un tableau les valeurs de \(u_n\) pour \(n = 0, 3, 6, 9, 12, 18, 24\) puis tracer mentalement la courbe.
| \(n\) (mois) | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 18 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u_n\) (min) | 60,0 | 56,5 | 53,2 | 50,1 | 47,1 | 41,7 | 37,0 |
La courbe est décroissante et tend vers 0 (asymptotiquement) — comportement typique d'une suite géométrique avec \(0 < q < 1\).
Un modèle plus réaliste serait : Yanis progresse de 2 % par mois jusqu'à atteindre 45 min, puis sa progression s'arrête. Au bout de combien de mois est-ce le cas ?
On cherche \(n\) tel que \( 60 \times 0{,}98^n \leqslant 45 \), soit \( 0{,}98^n \leqslant 0{,}75 \).
Tests : \( 0{,}98^{14} \approx 0{,}754 \), \( 0{,}98^{15} \approx 0{,}739 \).
\( u_{15} = 60 \times 0{,}739 \approx \mathbf{44{,}3} \) min ← sous 45.
Donc autour du 15e mois, Yanis atteint le palier et arrête de progresser. Le modèle géométrique simple cesse de s'appliquer.
Yanis demande conseil à son entraîneur. Rédiger en 5 lignes les conseils à lui donner pour bien planifier son entraînement.
Plan d'entraînement Yanis — Objectif sub-50 min
• Progression mensuelle : suite géométrique \(u_n = 60 \times 0{,}98^n\).
• Objectif sub-50 min atteint vers le 10e mois (à 3 séances/sem).
• Palier physiologique vers 45 min au 15e mois, puis stagnation probable.
• Au-delà, le modèle géométrique ne s'applique plus : varier l'entraînement (fractionné, VMA, longues).
• Ne pas viser plus de 6 séances/sem pour éviter blessures (cf. OMS, étude blessures sportives).
Comparer ce modèle géométrique avec un modèle arithmétique : « Yanis gagne 1 min chaque mois ». Combien de temps faut-il dans ce cas pour passer sous 50 min ?
Suite arithmétique \( v_n = 60 - n \). On cherche \( 60 - n < 50 \) → \( n > 10 \).
Au bout de 11 mois, Yanis serait à 49 min.
Très proche du résultat géométrique (10 mois). Mais à long terme, le modèle arithmétique donne \( v_{60} = 0 \) min (absurde) — pire que le géométrique. Aucun modèle linéaire/exponentiel n'est valable indéfiniment en sport.
📚 Cette activité s'appuie sur §IV (Suites géométriques) et §V (Représentation graphique) de la leçon Ch03.