Chapitre 3 — Suites numériques | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Mohammed, technicien d'études du bâtiment chez BâtiPlan 93, travaille sur un projet d'immeuble en gradins. Le plan masse impose que chaque étage soit retiré de 15 m² par rapport à l'étage inférieur (pour des raisons d'ensoleillement et de PLU). Le RDC fait 200 m² au sol.
Donner la nature de la suite \((u_n)\) qui modélise la surface du \(n\)-ième étage. Préciser \(u_0\) et la raison.
On retire 15 m² à chaque étage : c'est une suite arithmétique de raison \( r = -15 \) m² et de premier terme \( u_0 = 200 \) m².
Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). Calculer \(u_3\), \(u_5\) et \(u_{10}\).
\( u_n = 200 - 15n \).
\( u_3 = 200 - 45 = \mathbf{155} \) m² (étage 3).
\( u_5 = 200 - 75 = \mathbf{125} \) m² (étage 5).
\( u_{10} = 200 - 150 = \mathbf{50} \) m² (étage 10).
Le seuil minimal de surface exploitable est 30 m². Déterminer le plus grand entier \(n\) tel que \(u_n \geqslant 30\) m².
On résout \( 200 - 15n \geqslant 30 \) → \( 15n \leqslant 170 \) → \( n \leqslant \dfrac{170}{15} \approx 11{,}33 \).
Le plus grand entier convenant est \( n = 11 \). Vérification : \( u_{11} = 200 - 165 = 35 \) m² ✓.
L'étage 12 ferait \( 200 - 180 = 20 \) m² < 30 m² → non exploitable.
Le bâtiment peut comporter au maximum 12 niveaux (étages 0 à 11).
Calculer la surface habitable totale du bâtiment (somme des surfaces des 12 étages, de \(u_0\) à \(u_{11}\)).
Rappel : \( S = \dfrac{n \times (u_0 + u_{n-1})}{2} \) avec \(n\) = nombre de termes.
12 termes (étages 0 à 11). \( u_{11} = 35 \).
\( S = \dfrac{12 \times (200 + 35)}{2} = \dfrac{12 \times 235}{2} = \dfrac{2\,820}{2} = \mathbf{1\,410\,\text{m}^2} \).
Estimer la valeur de vente du bâtiment au prix moyen du document 1.
Valeur estimée : \( 1\,410 \times 3\,200 = \mathbf{4\,512\,000\,€} \) HT.
Soit environ 4,5 millions d'euros HT.
Si le RDC est réservé à un commerce (non habitable) et l'étage 11 à un local technique, calculer la surface habitable réelle et le chiffre d'affaires sur les seuls logements (étages 1 à 10).
On somme de \( u_1 \) à \( u_{10} \) : 10 termes, \( u_1 = 185 \) m², \( u_{10} = 50 \) m².
\( S' = \dfrac{10 \times (185 + 50)}{2} = \dfrac{10 \times 235}{2} = \mathbf{1\,175\,\text{m}^2} \) habitables.
CA logements : \( 1\,175 \times 3\,200 = \mathbf{3\,760\,000\,€} \) HT.
Le promoteur souhaite optimiser à 1 600 m² habitables minimum. Faut-il revoir le retrait par étage ? Quelle valeur de retrait \(r\) permettrait d'atteindre 1 600 m² avec 12 étages ?
On veut \( S = 1\,600 \) avec 12 termes : \( S = \dfrac{12 \times (200 + u_{11})}{2} = 6 \times (200 + u_{11}) = 1\,600 \).
\( 200 + u_{11} = 266{,}67 \) → \( u_{11} \approx 66{,}7 \) m².
Or \( u_{11} = 200 + 11r \) → \( 11r = -133{,}3 \) → \( r \approx -12{,}1 \) m²/étage.
Réduire le retrait à environ 12 m²/étage au lieu de 15 permet d'atteindre 1 600 m². Reste à vérifier la faisabilité PLU.
Rédiger la note de Mohammed à l'architecte (5 lignes max).
Note de faisabilité — Immeuble en gradins
• Modèle : suite arithmétique \( u_n = 200 - 15n \) (surface étage \(n\)).
• Nombre max d'étages exploitables (seuil 30 m²) : 12 niveaux (étages 0 à 11).
• Surface bâtie totale : 1 410 m² · Valeur estimée : ≈ 4,5 M€ HT.
• Hors RDC commercial et local technique : 1 175 m² habitables (3,76 M€).
• Pour viser 1 600 m² : réduire le retrait à 12 m²/étage — à vérifier avec le PLU.
Comparer ce bâtiment en gradins avec un bâtiment classique de même emprise (200 m²/étage × 12 niveaux). Combien de surface gagne-t-on en bâtiment classique ?
Bâtiment classique 12 étages × 200 m² = 2 400 m².
En gradins : 1 410 m² (vu Q4).
Différence : \( 2\,400 - 1\,410 = 990 \) m² de surface en moins en gradins.
Mais le bâtiment en gradins offre plus d'ensoleillement, des terrasses sur chaque retrait → valeur perçue plus élevée par m² (souvent +20 % en immobilier de standing).
📚 Cette activité s'appuie sur §II (Suites arithmétiques) et §III (Somme des termes) de la leçon Ch03.