Chapitre 3 — Suites numériques | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Léa, technicienne de maintenance énergétique chez ServiThermique 93, gère le contrat d'entretien d'une chaufferie collective neuve installée en 2025. Pour la 1re année, son retour d'expérience prévoit 12 interventions (visites + petites réparations). Avec le vieillissement, on observe en moyenne 2 interventions supplémentaires chaque année qui passe.
Justifier que la suite \((u_n)\) du nombre d'interventions est arithmétique. Donner \(u_0\) et \(r\).
Chaque année, on ajoute 2 interventions au nombre précédent : c'est une suite arithmétique.
\( u_0 = 12 \) interventions, raison \( r = 2 \).
Donner l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). Calculer \(u_5\) et \(u_{10}\).
\( u_n = 12 + 2n \).
\( u_5 = 12 + 10 = \mathbf{22} \) interventions/an à l'année 5.
\( u_{10} = 12 + 20 = \mathbf{32} \) interventions/an à l'année 10.
Calculer le coût d'entretien annuel à l'année 0, à l'année 5 et à l'année 10.
Coût année \(n\) : \( C_n = 150 \times u_n \).
\( C_0 = 150 \times 12 = \mathbf{1\,800\,€} \).
\( C_5 = 150 \times 22 = \mathbf{3\,300\,€} \).
\( C_{10} = 150 \times 32 = \mathbf{4\,800\,€} \).
Calculer la somme totale des interventions sur les 10 premières années (de \(u_0\) à \(u_9\)).
10 termes de \(u_0\) à \(u_9\). \( u_9 = 12 + 18 = 30 \).
\( S = \dfrac{10 \times (u_0 + u_9)}{2} = \dfrac{10 \times (12 + 30)}{2} = \dfrac{10 \times 42}{2} = \mathbf{210} \) interventions.
En déduire le coût d'entretien total sur 10 ans. Comparer avec le coût qu'on aurait eu si la chaufferie n'avait pas vieilli (12 interventions/an constant).
Coût total sur 10 ans : \( 210 \times 150 = \mathbf{31\,500\,€} \).
Si la chaufferie n'avait pas vieilli : \( 10 \times 12 \times 150 = \mathbf{18\,000\,€} \).
Surcoût lié au vieillissement : \( 31\,500 - 18\,000 = \mathbf{13\,500\,€} \) sur 10 ans.
À partir de quelle année le coût d'entretien annuel dépasse-t-il 5 000 € ?
On cherche \(n\) tel que \( 150 \times (12 + 2n) > 5\,000 \).
\( 12 + 2n > 33{,}33 \) → \( 2n > 21{,}33 \) → \( n > 10{,}67 \).
Donc à partir de l'année 11, le coût annuel dépasse 5 000 €.
Vérification : \( C_{11} = 150 \times (12 + 22) = 150 \times 34 = 5\,100\,€ \) > 5 000 € ✓.
Le remplacement complet d'une chaufferie coûte environ 30 000 €. À partir de quand devient-il économiquement intéressant ? Justifier.
Comparons : à l'année 15, \( u_{15} = 12 + 30 = 42 \) interventions, \( C_{15} = 6\,300\,€ \). Cumul années 10 à 14 (5 ans) : \( S = \dfrac{5 \times (u_{10} + u_{14})}{2} = \dfrac{5 \times (32 + 40)}{2} = 180 \) interventions, soit \( 27\,000\,€ \).
Sur ces 5 années suivantes, on dépense déjà près du prix d'une chaudière neuve.
Le remplacement devient pertinent autour de l'année 12-15, surtout si l'on intègre les gains de rendement énergétique d'une chaudière récente.
Rédiger en 5 lignes la note de prospective de Léa au syndic.
Plan d'entretien chaufferie 2025-2034
• Modèle d'évolution : suite arithmétique \( u_n = 12 + 2n \) (interventions/an).
• Coût cumulé prévu sur 10 ans : 31 500 € (vs 18 000 € si pas de vieillissement).
• Seuil 5 000 €/an atteint à l'année 11.
• Cumul années 10-14 (≈ 27 000 €) → quasi égal au prix d'une chaudière neuve.
• Recommandation : provisionner le remplacement à partir de l'année 12.
Si la chaudière est remplacée à l'année 12 par un modèle moderne (5 interventions/an, +1/an), quel est l'économie sur les 10 années suivantes ?
Nouvelle chaudière : \( v_n = 5 + n \) pour n=0..9. Somme : \( \dfrac{10 \times (5 + 14)}{2} = 95 \) interventions → \( 14\,250\,€ \).
Sans remplacement (suite chaufferie ancienne, années 12 à 21) : \( u_{12} = 36 \), \( u_{21} = 54 \). Somme = \( \dfrac{10 \times (36+54)}{2} = 450 \) interventions → \( 67\,500\,€ \).
Économie d'entretien : \( 67\,500 - 14\,250 = \mathbf{53\,250\,€} \) sur 10 ans, hors gain sur la facture énergétique.
📚 Cette activité s'appuie sur §II (Suites arithmétiques) et §III (Somme d'une suite arithmétique) de la leçon Ch03.