Chapitre 3 — Suites numériques | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:00
Léa, technicienne de maintenance énergétique chez ServiThermique 93, gère le contrat d'entretien d'une chaufferie collective neuve installée en 2025. Pour la 1re année, son retour d'expérience prévoit 12 interventions (visites + petites réparations). Avec le vieillissement, on observe en moyenne 2 interventions supplémentaires chaque année qui passe.
Justifier que la suite \((u_n)\) du nombre d'interventions est arithmétique. Donner \(u_0\) et \(r\).
Chaque année, on ajoute 2 interventions au nombre précédent : c'est une suite arithmétique.
\( u_0 = 12 \) interventions, raison \( r = 2 \).
Donner l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). Calculer \(u_5\) et \(u_{10}\).
\( u_n = 12 + 2n \).
\( u_5 = 12 + 10 = \mathbf{22} \) interventions/an à l'année 5.
\( u_{10} = 12 + 20 = \mathbf{32} \) interventions/an à l'année 10.
Calculer le coût d'entretien annuel à l'année 0, à l'année 5 et à l'année 10.
Coût année \(n\) : \( C_n = 150 \times u_n \).
\( C_0 = 150 \times 12 = \mathbf{1\,800\,\text{€}} \).
\( C_5 = 150 \times 22 = \mathbf{3\,300\,\text{€}} \).
\( C_{10} = 150 \times 32 = \mathbf{4\,800\,\text{€}} \).
Calculer la somme totale des interventions sur les 10 premières années (de \(u_0\) à \(u_9\)).
10 termes de \(u_0\) à \(u_9\). \( u_9 = 12 + 18 = 30 \).
\( S = \dfrac{10 \times (u_0 + u_9)}{2} = \dfrac{10 \times (12 + 30)}{2} = \dfrac{10 \times 42}{2} = \mathbf{210} \) interventions.
En déduire le coût d'entretien total sur 10 ans. Comparer avec le coût qu'on aurait eu si la chaufferie n'avait pas vieilli (12 interventions/an constant).
Coût total sur 10 ans : \( 210 \times 150 = \mathbf{31\,500\,\text{€}} \).
Si la chaufferie n'avait pas vieilli : \( 10 \times 12 \times 150 = \mathbf{18\,000\,\text{€}} \).
Surcoût lié au vieillissement : \( 31\,500 - 18\,000 = \mathbf{13\,500\,\text{€}} \) sur 10 ans.
À partir de quelle année le coût d'entretien annuel dépasse-t-il 5 000 € ?
On cherche \(n\) tel que \( 150 \times (12 + 2n) > 5\,000 \).
\( 12 + 2n > 33{,}33 \) → \( 2n > 21{,}33 \) → \( n > 10{,}67 \).
Donc à partir de l'année 11, le coût annuel dépasse 5 000 €.
Vérification : \( C_{11} = 150 \times (12 + 22) = 150 \times 34 = 5\,100\,\text{€} \) > 5 000 € ✓.
Le remplacement complet d'une chaufferie coûte environ 30 000 €. À partir de quand devient-il économiquement intéressant ? Justifier.
Comparons : à l'année 15, \( u_{15} = 12 + 30 = 42 \) interventions, \( C_{15} = 6\,300\,\text{€} \). Cumul années 10 à 14 (5 ans) : \( S = \dfrac{5 \times (u_{10} + u_{14})}{2} = \dfrac{5 \times (32 + 40)}{2} = 180 \) interventions, soit \( 27\,000\,\text{€} \).
Sur ces 5 années suivantes, on dépense déjà près du prix d'une chaudière neuve.
Le remplacement devient pertinent autour de l'année 12-15, surtout si l'on intègre les gains de rendement énergétique d'une chaudière récente.
Rédiger en 5 lignes la note de prospective de Léa au syndic.
Plan d'entretien chaufferie 2025-2034
• Modèle d'évolution : suite arithmétique \( u_n = 12 + 2n \) (interventions/an).
• Coût cumulé prévu sur 10 ans : 31 500 € (vs 18 000 € si pas de vieillissement).
• Seuil 5 000 €/an atteint à l'année 11.
• Cumul années 10-14 (≈ 27 000 €) → quasi égal au prix d'une chaudière neuve.
• Recommandation : provisionner le remplacement à partir de l'année 12.
Si la chaudière est remplacée à l'année 12 par un modèle moderne (5 interventions/an, +1/an), quel est l'économie sur les 10 années suivantes ?
Nouvelle chaudière : \( v_n = 5 + n \) pour n=0..9. Somme : \( \dfrac{10 \times (5 + 14)}{2} = 95 \) interventions → \( 14\,250\,\text{€} \).
Sans remplacement (suite chaufferie ancienne, années 12 à 21) : \( u_{12} = 36 \), \( u_{21} = 54 \). Somme = \( \dfrac{10 \times (36+54)}{2} = 450 \) interventions → \( 67\,500\,\text{€} \).
Économie d'entretien : \( 67\,500 - 14\,250 = \mathbf{53\,250\,\text{€}} \) sur 10 ans, hors gain sur la facture énergétique.
📚 Cette activité s'appuie sur §II (Suites arithmétiques) et §III (Somme d'une suite arithmétique) de la leçon Ch03.