Chapitre 3 — Suites numériques | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire
Léa, gérante de Bois & Précision à Saint-Étienne, achète une fraiseuse CNC à 36 000 €. Elle souscrit un crédit professionnel sur 5 ans (60 mois) avec remboursements mensuels constants de capital de 600 €/mois. Les intérêts (5 % annuel sur capital restant dû) s'ajoutent.
Notons C_n le capital restant dû après n mois de remboursement (C_0 = 36 000).
Donner la relation entre C_(n+1) et C_n.
S'agit-il d'une suite arithmétique ou géométrique ?
Chaque mois, Léa rembourse 600 € de capital. Donc C_(n+1) = C_n − 600.
C'est une suite arithmétique de raison r = −600 (négative car le capital diminue).
Calculer C_1, C_2, C_5, C_60.
C_n = 36 000 − 600 × n.
C_1 = 35 400 € · C_2 = 34 800 € · C_5 = 33 000 € · C_60 = 0 € ✔ (tout remboursé).
Calculer les intérêts I_n payés au mois n : I_n = C_(n−1) × 0,004167.
Calculer I_1, I_30, I_60.
I_1 = 36 000 × 0,004167 = 150 € (intérêts du 1er mois).
C_29 = 36 000 − 600×29 = 18 600. I_30 = 18 600 × 0,004167 ≈ 77,50 €.
C_59 = 600. I_60 = 600 × 0,004167 ≈ 2,50 €.
Les intérêts diminuent au fil du temps (capital restant dû qui baisse).
La somme des intérêts payés sur 60 mois est :
\(I_{tot} = 0{,}004167 \times \sum_{n=0}^{59} C_n = 0{,}004167 \times (C_0 + C_1 + \ldots + C_{59})\)
La somme C_0 + C_1 + ... + C_59 est la somme des termes d'une suite arithmétique :
\(S = \dfrac{n \times (C_0 + C_{n-1})}{2}\)
Calculer S puis I_tot.
n = 60 termes (de C_0 à C_59). C_59 = 36 000 − 600×59 = 600.
S = 60 × (36 000 + 600) / 2 = 60 × 18 300 = 1 098 000 €.
I_tot = 0,004167 × 1 098 000 ≈ 4 575 €.
Léa rembourse au total : capital + intérêts. Calculer le total payé.
Total payé : 36 000 (capital) + 4 575 (intérêts) = 40 575 €.
Le coût du crédit : 4 575 € pour emprunter 36 000 € sur 5 ans (12,7 % du capital).
Le banquier propose une mensualité constante (capital + intérêts) de 679 € sur 60 mois (au lieu de 600 € capital + intérêts variables).
Calculer le total payé sur 60 mois. Comparer.
Total mensualité constante : 60 × 679 = 40 740 €.
Soit un coût total de 4 740 € (165 € de plus que la formule à capital constant).
L'option mensualité constante coûte légèrement plus cher mais est plus simple à gérer (montant prévisible chaque mois).
Si le taux passe à 4 % au lieu de 5 %, recalculer les intérêts totaux (formule à capital constant).
Taux mensuel : 4 % / 12 ≈ 0,003333.
I_tot = 0,003333 × 1 098 000 ≈ 3 660 €.
Économie par rapport à 5 % : 4 575 − 3 660 = 915 €. Négocier le taux est important.
Léa rédige une note pour son comité financier. 5 lignes max.
Financement CNC 36 k€ — Bois & Précision
• Crédit 60 mois à 5 % annuel, capital constant 600 €/mois.
• Capital restant dû : suite arithmétique de raison −600 €.
• Total intérêts : 4 575 € (12,7 % du capital).
• Coût total : 40 575 €. Mensualité constante = +165 € seulement.
• Négocier le taux (4 % au lieu de 5 %) économise ≈ 915 €.
Si Léa rembourse 800 €/mois au lieu de 600 €/mois, en combien de mois aura-t-elle remboursé tout le capital ? Combien d'intérêts économisera-t-elle ?
36 000 / 800 = 45 mois.
Nouveaux intérêts : S = 45 × (36 000 + 800)/2 = 45 × 18 400 = 828 000. I_tot = 0,004167 × 828 000 ≈ 3 450 €.
Économie : 4 575 − 3 450 = 1 125 €. Plus on rembourse vite, moins on paie d'intérêts.
📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Suites arithmétiques) de la leçon Ch03.