Chapitre 3 — Suites numériques | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Camille, étudiante en BTS Bioanalyses, étudie en TP la croissance d'une colonie d'Escherichia coli à 37 °C. Au temps t = 0, le tube contient 100 bactéries. Dans des conditions optimales, ce type de bactérie double sa population chaque heure.
Justifier que la suite \((u_n)\) du nombre de bactéries au bout de \(n\) heures est géométrique. Préciser \(u_0\) et \(q\).
Chaque heure, la population double (multiplication par 2) → suite géométrique de raison \(q = 2\) et de premier terme \(u_0 = 100\).
Donner \(u_n\) en fonction de \(n\). Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_5\) et \(u_{10}\).
\( u_n = 100 \times 2^n \).
\( u_1 = 100 \times 2 = \mathbf{200} \) bactéries.
\( u_2 = 100 \times 4 = \mathbf{400} \) bactéries.
\( u_5 = 100 \times 32 = \mathbf{3\,200} \) bactéries.
\( u_{10} = 100 \times 1\,024 = \mathbf{102\,400} \) bactéries.
Au bout de combien d'heures la population dépasse-t-elle 1 million (\(10^6\)) ?
Tester avec la calculatrice à partir de \(u_{13}\).
\( u_{13} = 100 \times 2^{13} = 100 \times 8\,192 = 819\,200 \) (< 10⁶).
\( u_{14} = 100 \times 2^{14} = 100 \times 16\,384 = \mathbf{1\,638\,400} \) (> 10⁶).
La colonie dépasse 1 million de bactéries après 14 heures (en réalité un peu avant, vers 13h30).
Calculer \(u_{24}\) (au bout d'une journée). Le résultat est-il réaliste compte tenu de la capacité maximale du tube ?
\( u_{24} = 100 \times 2^{24} = 100 \times 16\,777\,216 \approx \mathbf{1{,}68 \times 10^9} \) bactéries ≈ 1,7 milliards.
La capacité du tube est de l'ordre de 10¹⁰ (10 milliards) — donc en théorie le modèle géom. tient encore. Mais en pratique, dès qu'on approche de cette limite, les nutriments s'épuisent et le modèle cesse d'être valable.
Au bout de combien d'heures atteint-on la capacité maximale du tube (10¹⁰ bactéries) selon le modèle ?
On résout \( 100 \times 2^n = 10^{10} \), donc \( 2^n = 10^8 \).
Or \( 2^{26} \approx 6{,}7 \times 10^7 \) et \( 2^{27} \approx 1{,}34 \times 10^8 \).
La capacité est atteinte vers \(n \approx 27\) heures, soit un peu plus d'une journée.
En réalité, à partir d'une certaine population, les nutriments s'épuisent : la croissance ralentit puis cesse (phase de plateau). Quel mot décrit cette courbe en biologie ?
La courbe réelle est dite en S ou sigmoïde (modèle logistique). Elle comporte 4 phases :
Notre modèle géométrique simple ne décrit que la phase 2.
Application sanitaire : un steak haché contient 10 bactéries/g à l'achat. Si on le laisse 6 h à température ambiante (≈ 25 °C, doublement toutes les 30 min), combien de bactéries/g à la fin ? Le risque sanitaire (seuil 10⁵) est-il atteint ?
Doublement toutes les 30 min → 12 doublements en 6 h. \( u_{12} = 10 \times 2^{12} = 10 \times 4\,096 = \mathbf{40\,960} \) bactéries/g.
40 960 < 100 000 (seuil 10⁵) : on est en dessous du seuil critique, mais déjà 1 ordre de grandeur en dessous.
Si on laissait encore 2 h (4 doublements de plus) : \( u_{16} = 10 \times 65\,536 \approx 655\,000 \) > 10⁵. Risque sanitaire atteint au bout de 7-8 h. C'est pour cela qu'on dit « ne pas laisser de viande hachée plus de 4 h à T° ambiante ».
Camille rédige un encart pédagogique pour son rapport de TP (5 lignes max).
Encart pédagogique — Croissance bactérienne et hygiène
• Modèle géométrique \(u_n = 100 \times 2^n\) valable en phase exponentielle (37 °C, nutriments suffisants).
• Doublement chaque heure → 1 million atteint en 14 h, milliard en 24 h.
• Limite : capacité du milieu (≈ 10¹⁰ bactéries dans 10 mL) atteinte vers 27 h → modèle invalide au-delà.
• Courbe réelle = sigmoïde (logistique) en 4 phases.
• Application hygiène : viande hachée à T° ambiante → seuil 10⁵ atteint en 7-8 h (d'où la règle des 4 h max).
Au réfrigérateur (4 °C), le temps de doublement passe à 10 h. À partir des mêmes 10 bactéries/g, combien y en aura-t-il après 24 h ?
24 h / 10 h = 2,4 doublements (en simplifiant à 2 pour calculs entiers).
\( u_{2{,}4} = 10 \times 2^{2{,}4} \approx 10 \times 5{,}28 \approx \mathbf{53} \) bactéries/g (très loin du seuil 10⁵).
Au frigo, la croissance est ralentie d'un facteur 10 environ par rapport à 25 °C. C'est la raison principale de la conservation au froid.
📚 Cette activité s'appuie sur §IV (Suites géométriques) et §V (Représentation graphique) de la leçon Ch03.