1ère Bac Pro | Statistique et probabilités | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 12:00
Un technicien en contrôle qualité prélève une pièce au hasard dans un lot de production. Il vérifie si la pièce est conforme ou défectueuse. Cette action constitue une expérience aléatoire : on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît tous les résultats possibles.
Un atelier de menuiserie fabrique des étagères. On choisit une étagère au hasard dans le lot. Chaque étagère présente au plus un défaut : nœud (N), voilage (V), cote hors tolérance (C), ou aucun défaut (OK).
1. Quel est l'univers \(\Omega\) ? 2. Écrire l'événement A = « l'étagère est défectueuse ».
On lance un dé à 6 faces équilibré.
La probabilité d'un événement \(A\), notée \(P(A)\), est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la « chance » que cet événement se réalise.
La probabilité d'un événement s'obtient en additionnant les probabilités des issues qui le composent.
Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, on dit qu'elles sont équiprobables. Alors :
\[P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}\]On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
L'événement A = « obtenir un nombre pair » = \(\{2\,;\, 4\,;\, 6\}\) contient 3 issues favorables sur 6 issues possibles.
\[P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5\]La probabilité d'obtenir un nombre pair est de \(0{,}5\), soit 50 %.
Un dé est truqué. La probabilité de chaque face est donnée dans le tableau.
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,3 |
La somme vaut bien \(0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}3 = 1\).
Les issues n'ont pas la même probabilité : on ne peut pas écrire « 3 issues favorables sur 6 ». On additionne les probabilités des issues de l'événement « obtenir un nombre pair » :
\[P(\text{pair}) = P(2) + P(4) + P(6) = 0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}6\]Avec un dé équilibré, on trouvait 0,5.
Une roue de tombola a 20 secteurs identiques : 3 gros lots, 5 lots moyens et 12 secteurs perdants. On fait tourner la roue une fois.
1. Calculer la probabilité de chaque issue : « gros lot », « lot moyen », « perdu ». Vérifier que leur somme vaut 1. 2. Ces trois issues sont-elles équiprobables ? 3. Calculer la probabilité de gagner un lot.
1. \(P(\text{gros lot}) = \dfrac{3}{20} = 0{,}15\) ; \(P(\text{lot moyen}) = \dfrac{5}{20} = 0{,}25\) ; \(P(\text{perdu}) = \dfrac{12}{20} = 0{,}6\). Somme : \(0{,}15 + 0{,}25 + 0{,}6 = 1\).
2. Non : les trois issues n'ont pas la même probabilité.
3. On additionne les probabilités des issues gagnantes : \(P(\text{gagner}) = 0{,}15 + 0{,}25 = 0{,}4\), soit 40 %.
Un artisan fabricant de mobilier produit 150 portes. 9 portes sont défectueuses. On choisit une porte au hasard. Calculer la probabilité qu'elle soit défectueuse, puis la probabilité qu'elle soit conforme.
Un menuisier agenceur reçoit un lot de 200 panneaux de bois. Après vérification, 12 panneaux présentent un défaut. Si on prélève un panneau au hasard :
\[P(\text{défaut}) = \frac{12}{200} = 0{,}06 = 6\,\%\]L'événement contraire de \(A\), noté \(\bar{A}\), est l'événement qui se réalise lorsque \(A\) ne se réalise pas. Il contient toutes les issues qui ne sont pas dans \(A\).
Un joueur de basket réussit ses lancers francs avec une probabilité de \(0{,}82\). Quelle est la probabilité qu'il manque un lancer franc ?
« Manquer » est l'événement contraire de « réussir ».
\[P(\text{manque}) = 1 - 0{,}82 = 0{,}18\]La probabilité qu'il manque un lancer franc est \(0{,}18\), soit 18 %.
Lorsqu'il est plus simple de calculer la probabilité que l'événement ne se réalise pas, on calcule d'abord \(P(\bar{A})\) puis on en déduit \(P(A) = 1 - P(\bar{A})\).
Dans le lot de 200 panneaux du menuisier, on a \(P(\text{défaut}) = 0{,}06\).
La probabilité qu'un panneau soit conforme est :
\[P(\text{conforme}) = 1 - P(\text{défaut}) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94 = 94\,\%\]Un artisan ébéniste fabrique des pieds de table. La probabilité qu'un pied soit défectueux est \(P(D) = 0{,}03\).
Deux événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Ils n'ont aucune issue en commun.
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles :
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]Un sac contient 25 billes : 4 sont rouges, 6 sont vertes, les autres sont bleues. On tire une bille au hasard. Les événements « rouge » (\(R\)) et « verte » (\(V\)) sont incompatibles. Calculer \(P(R \cup V)\), la probabilité de tirer une bille rouge ou verte.
\(P(R) = \dfrac{4}{25} = 0{,}16\) et \(P(V) = \dfrac{6}{25} = 0{,}24\).
Les deux événements sont incompatibles (une bille ne peut être à la fois rouge et verte), donc on additionne :
\[P(R \cup V) = P(R) + P(V) = 0{,}16 + 0{,}24 = 0{,}40\]La probabilité de tirer une bille rouge ou verte est \(0{,}40\), soit 40 %.
On lance un dé équilibré. Soit \(A\) = « obtenir 1 ou 2 » et \(B\) = « obtenir 5 ou 6 ».
\(A\) et \(B\) sont incompatibles (aucune issue commune).
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\]Un technicien chauffagiste inspecte des chaudières. Sur 80 chaudières contrôlées :
On choisit une chaudière au hasard. Calculer \(P(C)\), \(P(E)\) et \(P(C \cup E)\).
\(P(C) = \dfrac{10}{80} = 0{,}125\) et \(P(E) = \dfrac{6}{80} = 0{,}075\).
Les événements \(C\) et \(E\) sont incompatibles (aucune chaudière n'a les deux défauts), donc :
\[P(C \cup E) = P(C) + P(E) = 0{,}125 + 0{,}075 = 0{,}2\]La probabilité qu'une chaudière ait au moins un défaut est de 20 %.
Si \(A\) et \(B\) ne sont pas incompatibles, on ne peut pas simplement additionner leurs probabilités. Il faut retrancher l'intersection :
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]Un club compte 40 adhérents : 18 pratiquent la natation (\(N\)), 15 le vélo (\(V\)) et 7 pratiquent les deux activités. On choisit un adhérent au hasard. Calculer la probabilité qu'il pratique la natation ou le vélo, \(P(N \cup V)\).
Ici \(N\) et \(V\) ne sont pas incompatibles (7 adhérents pratiquent les deux).
\(P(N) = \dfrac{18}{40} = 0{,}45\) ; \(P(V) = \dfrac{15}{40} = 0{,}375\) ; \(P(N \cap V) = \dfrac{7}{40} = 0{,}175\).
\[P(N \cup V) = P(N) + P(V) - P(N \cap V) = 0{,}45 + 0{,}375 - 0{,}175 = 0{,}65\]La probabilité qu'un adhérent pratique la natation ou le vélo est \(0{,}65\), soit 65 %.
Un atelier de fabrication de meubles produit des étagères en deux matériaux (chêne et hêtre) sur deux lignes de production (A et B). On a relevé les données suivantes sur 200 étagères :
| Ligne A | Ligne B | Total | |
|---|---|---|---|
| Chêne | 70 | 50 | 120 |
| Hêtre | 30 | 50 | 80 |
| Total | 100 | 100 | 200 |
On prélève une étagère au hasard. On peut calculer :
Dans un atelier de menuiserie, 120 panneaux ont été produits : 80 en chêne et 40 en hêtre. Parmi les panneaux en chêne, 8 sont défectueux. Parmi les panneaux en hêtre, 4 sont défectueux.
On choisit un panneau au hasard. Calculer \(P(\text{chêne})\), \(P(\text{défaut})\) et \(P(\text{chêne} \cap \text{défaut})\).
Jusqu'ici, on divisait toujours par l'effectif total. On a souvent besoin d'une autre information : parmi les étagères de la ligne A, quelle proportion est en chêne ? On ne regarde alors plus qu'une colonne du tableau.
Dans un tableau croisé, la fréquence conditionnelle de \(B\) parmi les \(A\) est la proportion d'individus qui vérifient \(B\) à l'intérieur du groupe des \(A\) :
\[f = \frac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } A}\]On ne divise plus par l'effectif total, mais par le total de la ligne (ou de la colonne) de \(A\).
D'après le tableau des 200 étagères, quelle est la fréquence des étagères en chêne parmi celles de la ligne A ?
La ligne de production A compte 100 étagères, dont 70 en chêne : on se restreint à sa colonne du tableau.
\[f = \frac{70}{100} = 0{,}7 = 70\,\%\]Parmi les étagères de la ligne A, 70 % sont en chêne. Sur l'ensemble des 200 étagères, la part du chêne n'est que de \(\dfrac{120}{200} = 60\,\%\).
Lue comme une probabilité, la fréquence conditionnelle porte un nom et une notation.
La probabilité que \(B\) se réalise sachant que \(A\) est réalisé se note \(P_A(B)\) et se calcule par :
\[P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad \text{(avec } P(A) \neq 0\text{)}\]Dans un tableau d'effectifs, la formule revient à diviser l'effectif de la case \(A \cap B\) par le total de la ligne (ou de la colonne) de \(A\) :
\[P_A(B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}\]C'est exactement la fréquence conditionnelle : les deux calculs donnent le même nombre.
On prélève une étagère au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit en chêne, sachant qu'elle vient de la ligne A ?
\[P_{\text{Ligne A}}(\text{Chêne}) = \frac{P(\text{Ligne A} \cap \text{Chêne})}{P(\text{Ligne A})} = \frac{0{,}35}{0{,}5} = 0{,}7\]On retrouve la fréquence conditionnelle de l'exemple 5 : \(\dfrac{70}{100} = 0{,}7\). Dès qu'on dispose du tableau, le calcul par les effectifs est le plus rapide.
Les mots « sachant que », « parmi », « pour les » annoncent une probabilité conditionnelle. Le groupe qu'ils désignent devient le nouveau dénominateur.
D'après le même tableau des 200 étagères, calculer la probabilité qu'une étagère vienne de la ligne B sachant qu'elle est en hêtre, par la formule puis directement dans le tableau.
On cherche \(P_{\text{Hêtre}}(\text{Ligne B})\).
Par la formule : \(P(\text{Hêtre} \cap \text{Ligne B}) = \dfrac{50}{200} = 0{,}25\) et \(P(\text{Hêtre}) = \dfrac{80}{200} = 0{,}4\), donc
\[P_{\text{Hêtre}}(\text{Ligne B}) = \frac{0{,}25}{0{,}4} = 0{,}625\]Dans le tableau : la ligne « Hêtre » compte 80 étagères, dont 50 de la ligne B, et \(\dfrac{50}{80} = 0{,}625\).
Sachant qu'une étagère est en hêtre, il y a 62,5 % de chances qu'elle vienne de la ligne B.
Un atelier relève la conformité et la réussite d'un test de finition pour 1 000 pièces :
| Test réussi \(R\) | Test échoué \(\bar R\) | Total | |
|---|---|---|---|
| Conforme \(C\) | 855 | 45 | 900 |
| Non conforme \(\bar C\) | 30 | 70 | 100 |
| Total | 885 | 115 | 1 000 |
On lit directement \(P(R)=885/1000=0{,}885\) et \(P_C(R)=855/900=0{,}95\). Les dénominateurs diffèrent parce que le premier tirage porte sur toutes les pièces, tandis que le second ne porte que sur les pièces conformes.
À partir du tableau précédent, calculer \(P(\bar C\cap R)\) puis \(P_R(\bar C)\). Expliquer pourquoi les résultats sont différents.
\(P(\bar C\cap R)=30/1000=0{,}03\), alors que \(P_R(\bar C)=30/885\approx0{,}034\), soit environ 3,4 %. Pour la seconde probabilité, on se limite aux 885 pièces ayant réussi le test.
D'où viennent les probabilités utilisées jusqu'ici ? Parfois d'un modèle (un dé équilibré, un tirage au sort). Le plus souvent, en atelier, elles sont estimées à partir d'observations.
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité et s'y stabilise. Sur un petit nombre d'essais, elle peut au contraire s'en écarter beaucoup.
| Nombre de lancers | 10 | 50 | 200 | 1 000 |
|---|---|---|---|---|
| Réussis | 8 | 35 | 136 | 665 |
| Fréquence | 0,80 | 0,70 | 0,68 | 0,665 |
Les fréquences se stabilisent autour de 0,67. On retient \(P(\text{réussite}) \approx 0{,}67\) : cette valeur estime la probabilité, sans la donner exactement.
Les résultats bruts occupent une colonne, par exemple B2:B1001. La formule
=NB.SI(B2:B1001;"conforme")/NBVAL(B2:B1001)donne la fréquence de « conforme ». Dans un tableau croisé, une fréquence conditionnelle s'obtient en divisant la case par le total de sa ligne : la formule =C3/D3, recopiée vers le bas, donne une colonne de taux comparables.
On simule 1 000 contrôles d'une pièce dont la probabilité de défaut vaut 0,06, puis on compte les défauts.
from random import random
defauts = 0
for i in range(1000):
if random() < 0.06: # random() tire un nombre entre 0 et 1
defauts = defauts + 1
print(defauts / 1000)Deux exécutions ne donnent pas le même résultat, mais la fréquence affichée reste proche de 0,06.
Une fréquence simulée proche de 0,06 rend le modèle crédible ; elle ne prouve pas que la probabilité vaut exactement 0,06. Un écart sur 20 tirages ne prouve pas davantage le contraire.
Un fabricant relève la conformité de ses fenêtres. Sur les 50 premières, 4 sont non conformes ; sur les 2 000 de l'année, 118 sont non conformes.
1. Calculer la fréquence des fenêtres non conformes dans chaque cas. 2. Quelle fréquence donne la meilleure estimation de la probabilité qu'une fenêtre soit non conforme ? Justifier.
1. Sur 50 fenêtres : \(\dfrac{4}{50} = 0{,}08\). Sur 2 000 fenêtres : \(\dfrac{118}{2\,000} = 0{,}059\).
2. La fréquence sur 2 000 fenêtres, car elle porte sur un bien plus grand nombre d'observations : elle s'est stabilisée. On estime la probabilité à environ 0,06, soit 6 %.
Sur 200 sachets de vis contrôlés, 120 viennent de la machine 1, dont 6 sont mal fermés. Parmi les 80 sachets de la machine 2, 8 sont mal fermés.
| Mal fermé | Bien fermé | Total | |
|---|---|---|---|
| Machine 1 | 6 | 114 | 120 |
| Machine 2 | 8 | 72 | 80 |
| Total | 14 | 186 | 200 |
\(P(\text{mal fermé})=14/200=0{,}07\), soit 7 %. Parmi les 14 sachets mal fermés, 8 viennent de la machine 2 : \(P_{\text{mal fermé}}(\text{machine 2})=8/14\approx0{,}571\), soit environ 57,1 %.