1ère Bac Pro | Statistique et probabilités | Mathématiques
Dernière mise à jour : 24 août 2026, 20:15
Un technicien en contrôle qualité prélève une pièce au hasard dans un lot de production. Il vérifie si la pièce est conforme ou défectueuse. Cette action constitue une expérience aléatoire : on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît tous les résultats possibles.
Un atelier de menuiserie fabrique des étagères. On choisit une étagère au hasard dans le lot. Chaque étagère présente au plus un défaut : nœud (N), voilage (V), cote hors tolérance (C), ou aucun défaut (OK).
1. Quel est l'univers \(\Omega\) ? 2. Écrire l'événement A = « l'étagère est défectueuse ».
On lance un dé à 6 faces équilibré.
La probabilité d'un événement \(A\), notée \(P(A)\), est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la « chance » que cet événement se réalise.
Lorsque toutes les issues ont la même probabilité :
\[P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}\]On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
L'événement A = « obtenir un nombre pair » = \(\{2\,;\, 4\,;\, 6\}\) contient 3 issues favorables sur 6 issues possibles.
\[P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5\]La probabilité d'obtenir un nombre pair est de \(0{,}5\), soit 50 %.
Un artisan fabricant de mobilier produit 150 portes. 9 portes sont défectueuses. On choisit une porte au hasard. Calculer la probabilité qu'elle soit défectueuse, puis la probabilité qu'elle soit conforme.
Un menuisier agenceur reçoit un lot de 200 panneaux de bois. Après vérification, 12 panneaux présentent un défaut. Si on prélève un panneau au hasard :
\[P(\text{défaut}) = \frac{12}{200} = 0{,}06 = 6\,\%\]L'événement contraire de \(A\), noté \(\bar{A}\), est l'événement qui se réalise lorsque \(A\) ne se réalise pas. Il contient toutes les issues qui ne sont pas dans \(A\).
Un joueur de basket réussit ses lancers francs avec une probabilité de \(0{,}82\). Quelle est la probabilité qu'il manque un lancer franc ?
« Manquer » est l'événement contraire de « réussir ».
\[P(\text{manque}) = 1 - 0{,}82 = 0{,}18\]La probabilité qu'il manque un lancer franc est \(0{,}18\), soit 18 %.
Lorsqu'il est plus simple de calculer la probabilité que l'événement ne se réalise pas, on calcule d'abord \(P(\bar{A})\) puis on en déduit \(P(A) = 1 - P(\bar{A})\).
Dans le lot de 200 panneaux du menuisier, on a \(P(\text{défaut}) = 0{,}06\).
La probabilité qu'un panneau soit conforme est :
\[P(\text{conforme}) = 1 - P(\text{défaut}) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94 = 94\,\%\]Un artisan ébéniste fabrique des pieds de table. La probabilité qu'un pied soit défectueux est \(P(D) = 0{,}03\).
Deux événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Ils n'ont aucune issue en commun.
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles :
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]Un sac contient 25 billes : 4 sont rouges, 6 sont vertes, les autres sont bleues. On tire une bille au hasard. Les événements « rouge » (\(R\)) et « verte » (\(V\)) sont incompatibles. Calculer \(P(R \cup V)\), la probabilité de tirer une bille rouge ou verte.
\(P(R) = \dfrac{4}{25} = 0{,}16\) et \(P(V) = \dfrac{6}{25} = 0{,}24\).
Les deux événements sont incompatibles (une bille ne peut être à la fois rouge et verte), donc on additionne :
\[P(R \cup V) = P(R) + P(V) = 0{,}16 + 0{,}24 = 0{,}40\]La probabilité de tirer une bille rouge ou verte est \(0{,}40\), soit 40 %.
Si \(A\) et \(B\) ne sont pas incompatibles, on ne peut pas simplement additionner leurs probabilités. Il faut retrancher l'intersection :
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]Un club compte 40 adhérents : 18 pratiquent la natation (\(N\)), 15 le vélo (\(V\)) et 7 pratiquent les deux activités. On choisit un adhérent au hasard. Calculer la probabilité qu'il pratique la natation ou le vélo, \(P(N \cup V)\).
Ici \(N\) et \(V\) ne sont pas incompatibles (7 adhérents pratiquent les deux).
\(P(N) = \dfrac{18}{40} = 0{,}45\) ; \(P(V) = \dfrac{15}{40} = 0{,}375\) ; \(P(N \cap V) = \dfrac{7}{40} = 0{,}175\).
\[P(N \cup V) = P(N) + P(V) - P(N \cap V) = 0{,}45 + 0{,}375 - 0{,}175 = 0{,}65\]La probabilité qu'un adhérent pratique la natation ou le vélo est \(0{,}65\), soit 65 %.
On lance un dé équilibré. Soit \(A\) = « obtenir 1 ou 2 » et \(B\) = « obtenir 5 ou 6 ».
\(A\) et \(B\) sont incompatibles (aucune issue commune).
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\]Un technicien chauffagiste inspecte des chaudières. Sur 80 chaudières contrôlées :
On choisit une chaudière au hasard. Calculer \(P(C)\), \(P(E)\) et \(P(C \cup E)\).
\(P(C) = \dfrac{10}{80} = 0{,}125\) et \(P(E) = \dfrac{6}{80} = 0{,}075\).
Les événements \(C\) et \(E\) sont incompatibles (aucune chaudière n'a les deux défauts), donc :
\[P(C \cup E) = P(C) + P(E) = 0{,}125 + 0{,}075 = 0{,}2\]La probabilité qu'une chaudière ait au moins un défaut est de 20 %.
Un atelier de fabrication de meubles produit des étagères en deux matériaux (chêne et hêtre) sur deux lignes de production (A et B). On a relevé les données suivantes sur 200 étagères :
| Ligne A | Ligne B | Total | |
|---|---|---|---|
| Chêne | 70 | 50 | 120 |
| Hêtre | 30 | 50 | 80 |
| Total | 100 | 100 | 200 |
On prélève une étagère au hasard. On peut calculer :
Dans un atelier de menuiserie, 120 panneaux ont été produits : 80 en chêne et 40 en hêtre. Parmi les panneaux en chêne, 8 sont défectueux. Parmi les panneaux en hêtre, 4 sont défectueux.
On choisit un panneau au hasard. Calculer \(P(\text{chêne})\), \(P(\text{défaut})\) et \(P(\text{chêne} \cap \text{défaut})\).
La probabilité de l'événement \(A\) sachant que l'événement \(B\) est réalisé, notée \(P_B(A)\), se calcule par :
\[P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad \text{(avec } P(B) \neq 0\text{)}\]Dans un tableau d'effectifs, la fréquence conditionnelle de \(A\) parmi les \(B\) est la proportion des \(B\) qui sont aussi des \(A\) : on ne compte plus sur le total, mais sur la seule ligne (ou colonne) de \(B\).
\[f = \frac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } B}\]Elle a la même valeur que la probabilité conditionnelle \(P_B(A)\) : c'est la même idée, lue directement sur les effectifs.
D'après le tableau des 200 étagères (chêne / hêtre × lignes A et B), quelle est la probabilité qu'une étagère soit en chêne, sachant qu'elle vient de la ligne A ?
\[P_{\text{Ligne A}}(\text{Chêne}) = \frac{P(\text{Chêne et Ligne A})}{P(\text{Ligne A})} = \frac{70/200}{100/200} = \frac{70}{100} = 0{,}7\]Sachant qu'une étagère vient de la ligne A, il y a 70 % de chances qu'elle soit en chêne.
Quelle est la fréquence des étagères en chêne parmi celles de la ligne A ?
La ligne de production A compte 100 étagères, dont 70 en chêne : on se restreint à sa colonne du tableau.
\[f = \frac{70}{100} = 0{,}7 = 70\,\%\]On retrouve bien \(P_{\text{Ligne A}}(\text{Chêne}) = 0{,}7\).
D'après le même tableau des 200 étagères, calculer la probabilité qu'une étagère vienne de la ligne B sachant qu'elle est en hêtre.
On cherche \(P_{\text{Hêtre}}(\text{Ligne B})\).
\[P_{\text{Hêtre}}(\text{Ligne B}) = \frac{P(\text{Hêtre et Ligne B})}{P(\text{Hêtre})} = \frac{50/200}{80/200} = \frac{50}{80} = 0{,}625\]Sachant qu'une étagère est en hêtre, il y a 62,5 % de chances qu'elle vienne de la ligne B.
Un arbre de probabilités (ou arbre pondéré) est un schéma qui représente les différentes étapes d'une expérience aléatoire. Chaque branche porte la probabilité de l'issue correspondante.
Un artisan fabrique des pièces de bois. La probabilité qu'une pièce soit conforme est \(0{,}9\). Si la pièce est conforme, elle passe un test de finition qu'elle réussit avec une probabilité de \(0{,}95\). Si la pièce est non conforme, elle réussit ce test avec une probabilité de \(0{,}3\).
Arbre de probabilités :
Vérification : \(0{,}855 + 0{,}045 + 0{,}03 + 0{,}07 = 1\) ✓
La probabilité qu'une pièce réussisse le test de finition est :
\[P(R) = P(C \cap R) + P(\bar{C} \cap R) = 0{,}855 + 0{,}03 = 0{,}885\]Un fournisseur livre des tubes en cuivre à un installateur chauffagiste. 80 % des tubes viennent du fournisseur X et 20 % du fournisseur Y. Parmi les tubes du fournisseur X, 5 % sont défectueux. Parmi les tubes du fournisseur Y, 10 % sont défectueux.
1. Arbre :
2. Probabilité d'un tube défectueux :
\[P(D) = P(X \cap D) + P(Y \cap D) = 0{,}8 \times 0{,}05 + 0{,}2 \times 0{,}10 = 0{,}04 + 0{,}02 = 0{,}06\]La probabilité qu'un tube soit défectueux est de 6 %.
3. \(P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94 = 94\,\%\).
Un magasin de bricolage vend des vis en sachets. Les sachets proviennent de deux machines :
On prélève un sachet au hasard.
1. Arbre :
2.
\[P(M) = 0{,}6 \times 0{,}04 + 0{,}4 \times 0{,}07 = 0{,}024 + 0{,}028 = 0{,}052\]La probabilité que le sachet soit mal fermé est \(0{,}052\), soit 5,2 %.
3. \(P(\bar{M}) = 1 - 0{,}052 = 0{,}948 = 94{,}8\,\%\).