1ère Bac Pro | Statistique et probabilités | Mathématiques
Objectifs du chapitre
Connaître le vocabulaire des probabilités
Calculer la probabilité d'un événement
Utiliser la probabilité de l'événement contraire
Reconnaître et exploiter des événements incompatibles
Lire et compléter un tableau à double entrée
Découvrir les arbres pondérés (anticipation Terminale — hors programme de Première)
I – Vocabulaire des probabilités
Situation professionnelle
Un technicien en contrôle qualité prélève une pièce au hasard dans un lot de production. Il vérifie si la pièce est conforme ou défectueuse. Cette action constitue une expérience aléatoire : on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.
Définition
Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît tous les résultats possibles.
Définition
Issue, univers, événement
Chaque résultat possible est appelé une issue (ou éventualité).
L'ensemble de toutes les issues est appelé l'univers, noté \(\Omega\).
Un événement est un sous-ensemble de l'univers. Il regroupe une ou plusieurs issues.
Application
Un atelier de menuiserie fabrique des étagères. On choisit une étagère au hasard dans le lot. Les défauts possibles sont : nœud (N), voilage (V), cote hors tolérance (C), ou aucun défaut (OK).
1. Quel est l'univers \(\Omega\) ? 2. Écrire l'événement A = « l'étagère est défectueuse ».
Événement A : « Obtenir un nombre pair » → \(A = \{2\,;\, 4\,;\, 6\}\)
Événement B : « Obtenir un nombre supérieur à 4 » → \(B = \{5\,;\, 6\}\)
Définition
Événement certain, impossible, élémentaire
Un événement certain se réalise toujours : il contient toutes les issues (\(\Omega\)).
Un événement impossible ne se réalise jamais : il ne contient aucune issue (\(\emptyset\)).
Un événement élémentaire ne contient qu'une seule issue.
II – Probabilité d'un événement
Définition
Probabilité
La probabilité d'un événement \(A\), notée \(P(A)\), est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la « chance » que cet événement se réalise.
Propriétés fondamentales
Propriétés
Pour tout événement \(A\) : \(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\)
\(P(\Omega) = 1\) (événement certain)
\(P(\emptyset) = 0\) (événement impossible)
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
Situation d'équiprobabilité
Lorsque toutes les issues ont la même probabilité :
\[P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}\]
Exemple 2
On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
L'événement A = « obtenir un nombre pair » = \(\{2\,;\, 4\,;\, 6\}\) contient 3 issues favorables sur 6 issues possibles.
\[P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5\]
La probabilité d'obtenir un nombre pair est de \(0{,}5\), soit 50 %.
Application
Un artisan fabricant de mobilier produit 150 portes. 9 portes sont défectueuses. On choisit une porte au hasard. Calculer la probabilité qu'elle soit défectueuse, puis la probabilité qu'elle soit conforme.
Un menuisier agenceur reçoit un lot de 200 panneaux de bois. Après vérification, 12 panneaux présentent un défaut. Si on prélève un panneau au hasard :
L'événement contraire de \(A\), noté \(\bar{A}\), est l'événement qui se réalise lorsque \(A\) ne se réalise pas. Il contient toutes les issues qui ne sont pas dans \(A\).
Probabilité de l'événement contraire
\[P(\bar{A}) = 1 - P(A)\]
Méthode
Quand utiliser l'événement contraire ?
Lorsqu'il est plus simple de calculer la probabilité que l'événement ne se réalise pas, on calcule d'abord \(P(\bar{A})\) puis on en déduit \(P(A) = 1 - P(\bar{A})\).
Exemple 3
Dans le lot de 200 panneaux du menuisier, on a \(P(\text{défaut}) = 0{,}06\).
La probabilité qu'une chaudière ait au moins un défaut est de 20 %.
V – Tableau à double entrée et probabilités
Situation professionnelle
Un atelier de fabrication de meubles produit des étagères en deux matériaux (chêne et hêtre) sur deux lignes de production (A et B). On a relevé les données suivantes sur 200 étagères :
Ligne A
Ligne B
Total
Chêne
70
50
120
Hêtre
30
50
80
Total
100
100
200
Méthode
Lire un tableau à double entrée
On prélève une étagère au hasard. On peut calculer :
\(P(\text{Chêne}) = \dfrac{120}{200} = 0{,}6\)
\(P(\text{Ligne A}) = \dfrac{100}{200} = 0{,}5\)
\(P(\text{Chêne et Ligne A}) = \dfrac{70}{200} = 0{,}35\)
Application
Dans un atelier de menuiserie, 120 panneaux ont été produits : 80 en chêne et 40 en hêtre. Parmi les panneaux en chêne, 8 sont défectueux. Parmi les panneaux en hêtre, 4 sont défectueux.
On choisit un panneau au hasard. Calculer \(P(\text{chêne})\), \(P(\text{défaut})\) et \(P(\text{chêne} \cap \text{défaut})\).
La probabilité de l'événement \(A\) sachant que l'événement \(B\) est réalisé, notée \(P_B(A)\), se calcule par :
\[P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
Exemple 5
D'après le tableau ci-dessus, quelle est la probabilité qu'une étagère soit en chêne, sachant qu'elle vient de la ligne A ?
\[P_{\text{Ligne A}}(\text{Chêne}) = \frac{P(\text{Chêne et Ligne A})}{P(\text{Ligne A})} = \frac{70/200}{100/200} = \frac{70}{100} = 0{,}7\]
Sachant qu'une étagère vient de la ligne A, il y a 70 % de chances qu'elle soit en chêne.
Mini exercice 3
D'après le même tableau, calculer la probabilité qu'une étagère vienne de la ligne B sachant qu'elle est en hêtre.
On cherche \(P_{\text{Hêtre}}(\text{Ligne B})\).
\[P_{\text{Hêtre}}(\text{Ligne B}) = \frac{P(\text{Hêtre et Ligne B})}{P(\text{Hêtre})} = \frac{50/200}{80/200} = \frac{50}{80} = 0{,}625\]
Sachant qu'une étagère est en hêtre, il y a 62,5 % de chances qu'elle vienne de la ligne B.
VI – Arbre de probabilités (anticipation Terminale)
Hors programme — pour aller plus loinLes arbres pondérés et la formule des probabilités totales ne figurent pas au programme de Première Bac Pro : le BO les reporte explicitement en Terminale.
En Première, les probabilités conditionnelles sont introduites uniquement à partir de tableaux croisés d'effectifs ou de fréquences (section V).
Cette section est proposée en anticipation, pour préparer la poursuite du cycle.
Définition
Arbre pondéré
Un arbre de probabilités (ou arbre pondéré) est un schéma qui représente les différentes étapes d'une expérience aléatoire. Chaque branche porte la probabilité de l'issue correspondante.
Propriétés
Règles de l'arbre pondéré
Règle des branches : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
Règle du chemin : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de chaque branche le long du chemin.
Règle de la somme : la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Exemple 6 – Contrôle qualité en deux étapes
Un artisan fabrique des pièces de bois. La probabilité qu'une pièce soit conforme est \(0{,}9\). Si la pièce est conforme, elle passe un test de finition qu'elle réussit avec une probabilité de \(0{,}95\). Si la pièce est non conforme, elle réussit ce test avec une probabilité de \(0{,}3\).
Un fournisseur livre des tubes en cuivre à un installateur chauffagiste. 80 % des tubes viennent du fournisseur X et 20 % du fournisseur Y. Parmi les tubes du fournisseur X, 5 % sont défectueux. Parmi les tubes du fournisseur Y, 10 % sont défectueux.
Construire l'arbre de probabilités.
Calculer la probabilité qu'un tube choisi au hasard soit défectueux.
Calculer la probabilité qu'un tube soit conforme.
1. Arbre :
Fournisseur X (\(P = 0{,}8\)) → Défectueux (\(0{,}05\)) ou Conforme (\(0{,}95\))
Fournisseur Y (\(P = 0{,}2\)) → Défectueux (\(0{,}10\)) ou Conforme (\(0{,}90\))
La probabilité d'un événement est comprise entre 0 et 1.
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Un tableau à double entrée permet de calculer des probabilités et des probabilités conditionnelles.
(Anticipation Terminale) Dans un arbre pondéré : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches ; la probabilité d'un événement est la somme des chemins correspondants.
Mini exercice 5 – Exercice de synthèse (anticipation Terminale)
Un magasin de bricolage vend des vis en sachets. Les sachets proviennent de deux machines :
Machine 1 produit 60 % des sachets ; parmi ceux-ci, 4 % sont mal fermés.
Machine 2 produit 40 % des sachets ; parmi ceux-ci, 7 % sont mal fermés.
On prélève un sachet au hasard.
Construire l'arbre de probabilités.
Calculer la probabilité que le sachet soit mal fermé.
Calculer la probabilité que le sachet soit bien fermé.
1. Arbre :
Machine 1 (\(0{,}6\)) → Mal fermé (\(0{,}04\)) ou Bien fermé (\(0{,}96\))
Machine 2 (\(0{,}4\)) → Mal fermé (\(0{,}07\)) ou Bien fermé (\(0{,}93\))
Additionner des probabilités d'événements non incompatibles
Si A et B ont des issues en commun, \(P(A \cup B) \neq P(A) + P(B)\). Il faut utiliser \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Conseil : vérifier d'abord si les deux événements peuvent se réaliser en même temps avant d'additionner.
❌
Oublier que la somme des probabilités des branches d'un nœud vaut 1
Dans un arbre, la somme des probabilités de toutes les branches issues d'un même nœud doit valoir exactement 1. Une somme différente de 1 signale une erreur. Conseil : toujours vérifier la somme sur chaque nœud avant de calculer les chemins.
❌
Multiplier au lieu d'additionner pour la règle de la somme
La probabilité d'un événement obtenu par plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins (et non leur produit). Conseil : on multiplie le long d'un chemin (règle du produit), on additionne entre plusieurs chemins (règle de la somme).
❌
Confondre probabilité et fréquence
La probabilité est une valeur théorique (calculée). La fréquence observée lors d'une expérience peut s'en éloigner, surtout pour un petit nombre de tirages. Conseil : plus le nombre d'essais est grand, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique.