Probabilités — 1ère Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
On lance un dé équilibré à 6 faces.
a) Écrire l'univers \(\Omega = \{...\}\)
b) Écrire l'événement \(A\) = « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 » : \(A = \{...\}\)
c) Combien d'issues contient l'événement \(A\) ?
a) \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\)
b) \(A = \{4\,;\,5\,;\,6\}\)
c) L'événement \(A\) contient 3 issues.
On lance un dé équilibré à 6 faces.
a) Calculer \(P(A)\) = probabilité d'obtenir un nombre \(\geqslant 4\) : \(P(A) = \dfrac{...}{6} = ...\)
b) Calculer la probabilité d'obtenir un nombre impair : \(P(B) = \dfrac{...}{6} = ...\)
a) \(P(A) = \dfrac{3}{6} = \mathbf{0{,}5}\) soit 50 %.
b) \(B = \{1\,;\,3\,;\,5\}\), donc \(P(B) = \dfrac{3}{6} = \mathbf{0{,}5}\) soit 50 %.
Un menuisier agenceur reçoit un lot de 150 équerres. 9 sont défectueuses. On prélève une équerre au hasard.
a) Calculer la probabilité que l'équerre soit défectueuse : \(P(D) = \dfrac{9}{150} = ...\)
b) En déduire la probabilité que l'équerre soit conforme : \(P(\bar{D}) = 1 - ... = ...\)
a) \(P(D) = \dfrac{9}{150} = \mathbf{0{,}06}\) soit 6 %.
b) \(P(\bar{D}) = 1 - 0{,}06 = \mathbf{0{,}94}\) soit 94 %.
Un installateur thermique contrôle 100 chaudières. Il relève :
a) Calculer \(P(C) = \dfrac{...}{100} = ...\)
b) Calculer \(P(E) = \dfrac{...}{100} = ...\)
c) Pourquoi les événements \(C\) et \(E\) sont-ils incompatibles ?
d) Calculer \(P(C \cup E) = P(C) + P(E) = ...\)
a) \(P(C) = \dfrac{8}{100} = \mathbf{0{,}08}\)
b) \(P(E) = \dfrac{5}{100} = \mathbf{0{,}05}\)
c) Les événements \(C\) et \(E\) sont incompatibles car aucune chaudière n'a les deux défauts à la fois : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
d) \(P(C \cup E) = 0{,}08 + 0{,}05 = \mathbf{0{,}13}\) soit 13 %.
Un sac contient des billes de 3 couleurs. On tire une bille au hasard. On sait que \(P(\text{rouge}) = 0{,}4\) et \(P(\text{bleue}) = 0{,}35\).
a) Calculer \(P(\text{verte}) = 1 - ... - ... = ...\)
b) Le sac contient 20 billes. Combien y a-t-il de billes vertes ?
a) \(P(\text{verte}) = 1 - 0{,}4 - 0{,}35 = \mathbf{0{,}25}\) soit 25 %.
b) Nombre de billes vertes : \(20 \times 0{,}25 = \mathbf{5}\) billes vertes.
Barème : 20 points
On lance un dé équilibré à 6 faces.
a) Écrire l'univers \(\Omega = \{...\}\)
b) Écrire l'événement \(A\) = « obtenir un nombre strictement inférieur à 3 » : \(A = \{...\}\)
c) Combien d'issues contient l'événement \(A\) ?
a) \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\)
b) \(A = \{1\,;\,2\}\)
c) L'événement \(A\) contient 2 issues.
On lance un dé équilibré à 6 faces.
a) Calculer \(P(A)\) = probabilité d'obtenir un nombre \(< 3\) : \(P(A) = \dfrac{...}{6} = ...\)
b) Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair : \(P(B) = \dfrac{...}{6} = ...\)
a) \(P(A) = \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33}\) soit environ 33 %.
b) \(B = \{2\,;\,4\,;\,6\}\), donc \(P(B) = \dfrac{3}{6} = \mathbf{0{,}5}\) soit 50 %.
Un artisan menuisier reçoit un lot de 200 charnières. 12 sont défectueuses. On prélève une charnière au hasard.
a) Calculer la probabilité que la charnière soit défectueuse : \(P(D) = \dfrac{12}{200} = ...\)
b) En déduire la probabilité que la charnière soit conforme : \(P(\bar{D}) = 1 - ... = ...\)
a) \(P(D) = \dfrac{12}{200} = \mathbf{0{,}06}\) soit 6 %.
b) \(P(\bar{D}) = 1 - 0{,}06 = \mathbf{0{,}94}\) soit 94 %.
Un technicien chauffagiste contrôle 200 radiateurs. Il relève :
a) Calculer \(P(F) = \dfrac{...}{200} = ...\)
b) Calculer \(P(T) = \dfrac{...}{200} = ...\)
c) Pourquoi les événements \(F\) et \(T\) sont-ils incompatibles ?
d) Calculer \(P(F \cup T) = P(F) + P(T) = ...\)
a) \(P(F) = \dfrac{12}{200} = \mathbf{0{,}06}\)
b) \(P(T) = \dfrac{8}{200} = \mathbf{0{,}04}\)
c) Les événements \(F\) et \(T\) sont incompatibles car aucun radiateur n'a les deux défauts à la fois : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
d) \(P(F \cup T) = 0{,}06 + 0{,}04 = \mathbf{0{,}10}\) soit 10 %.
Un sac contient des jetons de 3 couleurs. On tire un jeton au hasard. On sait que \(P(\text{jaune}) = 0{,}3\) et \(P(\text{bleu}) = 0{,}45\).
a) Calculer \(P(\text{rouge}) = 1 - ... - ... = ...\)
b) Le sac contient 40 jetons. Combien y a-t-il de jetons rouges ?
a) \(P(\text{rouge}) = 1 - 0{,}3 - 0{,}45 = \mathbf{0{,}25}\) soit 25 %.
b) Nombre de jetons rouges : \(40 \times 0{,}25 = \mathbf{10}\) jetons rouges.
Barème : 20 points
Un artisan ébéniste fabrique des pièces de bois. La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est \(P(D) = 0{,}04\).
a) Quelle est la probabilité qu'une pièce soit conforme ?
b) Sur un lot de 250 pièces, combien peut-on estimer de pièces défectueuses ?
c) Combien de pièces conformes peut-on estimer ?
a) \(P(\bar{D}) = 1 - 0{,}04 = \mathbf{0{,}96}\) soit 96 %.
b) Pièces défectueuses : \(250 \times 0{,}04 = \mathbf{10}\) pièces.
c) Pièces conformes : \(250 \times 0{,}96 = \mathbf{240}\) pièces (ou \(250 - 10 = 240\)).
Un atelier de menuiserie produit des portes en deux essences (chêne et hêtre) sur deux machines (M1 et M2). Voici les données sur 160 portes :
| M1 | M2 | Total | |
|---|---|---|---|
| Chêne | 50 | 30 | 80 |
| Hêtre | 40 | 40 | 80 |
| Total | 90 | 70 | 160 |
On prélève une porte au hasard. Calculer :
a) \(P(\text{Chêne})\)
b) \(P(\text{M1})\)
c) \(P(\text{Chêne et M1})\)
d) \(P_{\text{M1}}(\text{Chêne})\) (probabilité que la porte soit en chêne sachant qu'elle vient de M1).
a) \(P(\text{Chêne}) = \dfrac{80}{160} = \mathbf{0{,}5}\)
b) \(P(\text{M1}) = \dfrac{90}{160} = \mathbf{0{,}5625}\)
c) \(P(\text{Chêne et M1}) = \dfrac{50}{160} = \mathbf{0{,}3125}\)
d) \(P_{\text{M1}}(\text{Chêne}) = \dfrac{P(\text{Chêne et M1})}{P(\text{M1})} = \dfrac{50/160}{90/160} = \dfrac{50}{90} \approx \mathbf{0{,}556}\) soit environ 55,6 %.
Un fournisseur livre 500 tubes en cuivre à un plombier chauffagiste : 350 viennent du fournisseur X et 150 du fournisseur Y. Parmi les tubes du fournisseur X, 4 % sont défectueux. Parmi ceux du fournisseur Y, 8 % sont défectueux.
a) Calculer le nombre de tubes défectueux de chaque fournisseur, puis compléter un tableau croisé (X / Y en lignes, Défectueux / Conforme en colonnes).
b) Calculer la probabilité qu'un tube choisi au hasard soit défectueux.
c) En déduire la probabilité qu'un tube soit conforme.
a) Défectueux X : \(350 \times 0{,}04 = 14\) ; défectueux Y : \(150 \times 0{,}08 = 12\). Tableau : X → 14 défectueux / 336 conformes ; Y → 12 défectueux / 138 conformes ; total 26 défectueux / 474 conformes.
b) \(P(D) = \dfrac{26}{500} = \mathbf{0{,}052}\) soit 5,2 %.
c) \(P(\bar{D}) = 1 - 0{,}052 = \mathbf{0{,}948}\) soit 94,8 %.
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
Soit \(A\) = « obtenir un as » et \(B\) = « obtenir un roi ».
a) Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils incompatibles ? Justifier.
b) Calculer \(P(A \cup B)\).
a) Oui, \(A\) et \(B\) sont incompatibles : une carte ne peut pas être à la fois un as et un roi.
b) \(P(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\) et \(P(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\).
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2}{8} = \mathbf{0{,}25}\) soit 25 %.
Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.
a) « La probabilité d'un événement peut être négative. »
b) « Si \(P(A) = 0{,}7\), alors \(P(\bar{A}) = 0{,}3\). »
c) « La somme des probabilités de tous les événements d'un univers vaut 1. »
a) FAUX. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : \(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\).
b) VRAI. \(P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\).
c) VRAI. La somme des probabilités de toutes les issues de l'univers vaut 1 : \(P(\Omega) = 1\).
Barème : 20 points
Un menuisier agenceur fabrique des tiroirs. La probabilité qu'un tiroir présente un défaut est \(P(D) = 0{,}05\).
a) Quelle est la probabilité qu'un tiroir soit conforme ?
b) Sur un lot de 200 tiroirs, combien peut-on estimer de tiroirs défectueux ?
c) Combien de tiroirs conformes peut-on estimer ?
a) \(P(\bar{D}) = 1 - 0{,}05 = \mathbf{0{,}95}\) soit 95 %.
b) Tiroirs défectueux : \(200 \times 0{,}05 = \mathbf{10}\) tiroirs.
c) Tiroirs conformes : \(200 \times 0{,}95 = \mathbf{190}\) tiroirs (ou \(200 - 10 = 190\)).
Un atelier de menuiserie produit des fenêtres en deux matériaux (bois et PVC) sur deux chaînes (C1 et C2). Voici les données sur 200 fenêtres :
| C1 | C2 | Total | |
|---|---|---|---|
| Bois | 60 | 40 | 100 |
| PVC | 50 | 50 | 100 |
| Total | 110 | 90 | 200 |
On prélève une fenêtre au hasard. Calculer :
a) \(P(\text{Bois})\)
b) \(P(\text{C1})\)
c) \(P(\text{Bois et C1})\)
d) \(P_{\text{C1}}(\text{Bois})\) (probabilité que la fenêtre soit en bois sachant qu'elle vient de C1).
a) \(P(\text{Bois}) = \dfrac{100}{200} = \mathbf{0{,}5}\)
b) \(P(\text{C1}) = \dfrac{110}{200} = \mathbf{0{,}55}\)
c) \(P(\text{Bois et C1}) = \dfrac{60}{200} = \mathbf{0{,}3}\)
d) \(P_{\text{C1}}(\text{Bois}) = \dfrac{60}{110} \approx \mathbf{0{,}545}\) soit environ 54,5 %.
Un fournisseur livre 400 raccords à un installateur thermique : 300 viennent du fournisseur A et 100 du fournisseur B. Parmi les raccords du fournisseur A, 3 % sont défectueux. Parmi ceux du fournisseur B, 7 % sont défectueux.
a) Calculer le nombre de raccords défectueux de chaque fournisseur, puis compléter un tableau croisé (A / B en lignes, Défectueux / Conforme en colonnes).
b) Calculer la probabilité qu'un raccord choisi au hasard soit défectueux.
c) En déduire la probabilité qu'un raccord soit conforme.
a) Défectueux A : \(300 \times 0{,}03 = 9\) ; défectueux B : \(100 \times 0{,}07 = 7\). Tableau : A → 9 défectueux / 291 conformes ; B → 7 défectueux / 93 conformes ; total 16 défectueux / 384 conformes.
b) \(P(D) = \dfrac{16}{400} = \mathbf{0{,}04}\) soit 4 %.
c) \(P(\bar{D}) = 1 - 0{,}04 = \mathbf{0{,}96}\) soit 96 %.
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
Soit \(A\) = « obtenir un cœur » et \(B\) = « obtenir un pique ».
a) Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils incompatibles ? Justifier.
b) Calculer \(P(A \cup B)\).
a) Oui, \(A\) et \(B\) sont incompatibles : une carte ne peut pas être à la fois un cœur et un pique.
b) \(P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\) et \(P(B) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\).
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \mathbf{0{,}5}\) soit 50 %.
Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.
a) « Si deux événements sont incompatibles, alors \(P(A \cup B) = P(A) \times P(B)\). »
b) « L'événement contraire de « obtenir un 6 » est « obtenir un 1 ». »
c) « Si \(P(A) = 0\), l'événement \(A\) est impossible. »
a) FAUX. Si deux événements sont incompatibles, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) (somme, pas produit).
b) FAUX. L'événement contraire de « obtenir un 6 » est « ne pas obtenir un 6 », soit \(\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\}\).
c) VRAI. Un événement de probabilité nulle est un événement impossible.
Note : cette version mobilise les arbres pondérés et la formule des probabilités totales, en anticipation du programme de Terminale (hors programme de Première).
Barème : 20 points
Un magasin de bricolage vend des sachets de vis fabriqués par deux machines :
a) Construire l'arbre de probabilités.
b) Calculer la probabilité qu'un sachet pris au hasard soit mal fermé.
a) Arbre :
b) \(P(M) = 0{,}65 \times 0{,}03 + 0{,}35 \times 0{,}06 = 0{,}0195 + 0{,}021 = \mathbf{0{,}0405}\) soit environ 4,05 %.
Un atelier de fabrication produit des pièces métalliques. Une pièce subit deux contrôles successifs. La probabilité qu'elle réussisse le premier contrôle est \(0{,}92\). Si elle réussit le premier contrôle, elle réussit le second avec une probabilité de \(0{,}97\). Si elle échoue au premier contrôle, elle réussit le second avec une probabilité de \(0{,}4\).
a) Construire l'arbre pondéré complet.
b) Calculer la probabilité qu'une pièce réussisse les deux contrôles.
c) Calculer la probabilité qu'une pièce réussisse le second contrôle (quel que soit le résultat du premier).
d) Vérifier que la somme de toutes les probabilités des chemins vaut 1.
a) Arbre :
b) \(P(R_1 \cap R_2) = 0{,}92 \times 0{,}97 = \mathbf{0{,}8924}\)
c) \(P(R_2) = P(R_1 \cap R_2) + P(\bar{R_1} \cap R_2) = 0{,}92 \times 0{,}97 + 0{,}08 \times 0{,}4 = 0{,}8924 + 0{,}032 = \mathbf{0{,}9244}\)
d) Vérification : \(0{,}8924 + 0{,}0276 + 0{,}032 + 0{,}048 = 1{,}000\) ✓
Un technicien climatisation contrôle 200 groupes frigorifiques répartis ainsi :
| Neuf | Ancien | Total | |
|---|---|---|---|
| Conforme | 90 | 70 | 160 |
| Défaillant | 10 | 30 | 40 |
| Total | 100 | 100 | 200 |
On choisit un groupe au hasard.
a) Calculer \(P(\text{Défaillant})\) et \(P(\text{Ancien})\).
b) Calculer \(P(\text{Défaillant et Ancien})\).
c) Calculer la probabilité qu'un groupe soit défaillant sachant qu'il est ancien : \(P_{\text{Ancien}}(\text{Défaillant})\).
d) Comparer avec \(P_{\text{Neuf}}(\text{Défaillant})\). Que peut-on en conclure ?
a) \(P(\text{Défaillant}) = \dfrac{40}{200} = \mathbf{0{,}2}\) et \(P(\text{Ancien}) = \dfrac{100}{200} = \mathbf{0{,}5}\).
b) \(P(\text{Défaillant et Ancien}) = \dfrac{30}{200} = \mathbf{0{,}15}\).
c) \(P_{\text{Ancien}}(\text{Défaillant}) = \dfrac{30}{100} = \mathbf{0{,}30}\) soit 30 %.
d) \(P_{\text{Neuf}}(\text{Défaillant}) = \dfrac{10}{100} = \mathbf{0{,}10}\) soit 10 %.
Un groupe ancien a 3 fois plus de risque d'être défaillant qu'un groupe neuf (30 % contre 10 %). L'âge du matériel augmente significativement le risque de défaillance.
Un poseur de cuisines commande des poignées auprès de trois fournisseurs A, B et C. Il commande 50 % chez A, 30 % chez B et 20 % chez C. Les taux de défaut sont respectivement 2 %, 5 % et 8 %.
a) Construire l'arbre de probabilités.
b) Calculer la probabilité qu'une poignée prise au hasard soit défectueuse.
c) Calculer la probabilité qu'une poignée soit conforme.
d) Sur une commande de 500 poignées, combien peut-on estimer de poignées défectueuses ?
a) Arbre :
b) \(P(D) = 0{,}5 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}05 + 0{,}2 \times 0{,}08\)
\(P(D) = 0{,}01 + 0{,}015 + 0{,}016 = \mathbf{0{,}041}\) soit 4,1 %.
c) \(P(\bar{D}) = 1 - 0{,}041 = \mathbf{0{,}959}\) soit 95,9 %.
d) Nombre estimé de poignées défectueuses : \(500 \times 0{,}041 = \mathbf{20{,}5}\), soit environ 21 poignées.
Barème : 20 points
Un entrepôt de matériaux vend des rouleaux d'isolant fabriqués par deux machines :
a) Construire l'arbre de probabilités.
b) Calculer la probabilité qu'un rouleau pris au hasard soit défectueux.
a) Arbre :
b) \(P(D) = 0{,}55 \times 0{,}04 + 0{,}45 \times 0{,}07 = 0{,}022 + 0{,}0315 = \mathbf{0{,}0535}\) soit environ 5,35 %.
Un atelier de fabrication produit des pièces en bois. Une pièce subit deux contrôles successifs. La probabilité qu'elle réussisse le premier contrôle est \(0{,}88\). Si elle réussit le premier, elle réussit le second avec une probabilité de \(0{,}95\). Si elle échoue au premier, elle réussit le second avec une probabilité de \(0{,}3\).
a) Construire l'arbre pondéré complet.
b) Calculer la probabilité qu'une pièce réussisse les deux contrôles.
c) Calculer la probabilité qu'une pièce réussisse le second contrôle (quel que soit le résultat du premier).
d) Vérifier que la somme de toutes les probabilités des chemins vaut 1.
a) Arbre :
b) \(P(R_1 \cap R_2) = 0{,}88 \times 0{,}95 = \mathbf{0{,}836}\)
c) \(P(R_2) = 0{,}88 \times 0{,}95 + 0{,}12 \times 0{,}3 = 0{,}836 + 0{,}036 = \mathbf{0{,}872}\)
d) Vérification : \(0{,}836 + 0{,}044 + 0{,}036 + 0{,}084 = 1{,}000\) ✓
Un plombier chauffagiste contrôle 250 vannes réparties ainsi :
| Neuve | Ancienne | Total | |
|---|---|---|---|
| Conforme | 110 | 80 | 190 |
| Défaillante | 15 | 45 | 60 |
| Total | 125 | 125 | 250 |
On choisit une vanne au hasard.
a) Calculer \(P(\text{Défaillante})\) et \(P(\text{Ancienne})\).
b) Calculer \(P(\text{Défaillante et Ancienne})\).
c) Calculer la probabilité qu'une vanne soit défaillante sachant qu'elle est ancienne : \(P_{\text{Ancienne}}(\text{Défaillante})\).
d) Comparer avec \(P_{\text{Neuve}}(\text{Défaillante})\). Que peut-on en conclure ?
a) \(P(\text{Défaillante}) = \dfrac{60}{250} = \mathbf{0{,}24}\) et \(P(\text{Ancienne}) = \dfrac{125}{250} = \mathbf{0{,}5}\).
b) \(P(\text{Défaillante et Ancienne}) = \dfrac{45}{250} = \mathbf{0{,}18}\).
c) \(P_{\text{Ancienne}}(\text{Défaillante}) = \dfrac{45}{125} = \mathbf{0{,}36}\) soit 36 %.
d) \(P_{\text{Neuve}}(\text{Défaillante}) = \dfrac{15}{125} = \mathbf{0{,}12}\) soit 12 %.
Une vanne ancienne a 3 fois plus de risque d'être défaillante qu'une vanne neuve (36 % contre 12 %). L'âge du matériel augmente significativement le risque de défaillance.
Un installateur d'agencement commande des équerres auprès de trois fournisseurs X, Y et Z. Il commande 40 % chez X, 35 % chez Y et 25 % chez Z. Les taux de défaut sont respectivement 3 %, 4 % et 10 %.
a) Construire l'arbre de probabilités.
b) Calculer la probabilité qu'une équerre prise au hasard soit défectueuse.
c) Calculer la probabilité qu'une équerre soit conforme.
d) Sur une commande de 400 équerres, combien peut-on estimer d'équerres défectueuses ?
a) Arbre :
b) \(P(D) = 0{,}4 \times 0{,}03 + 0{,}35 \times 0{,}04 + 0{,}25 \times 0{,}10\)
\(P(D) = 0{,}012 + 0{,}014 + 0{,}025 = \mathbf{0{,}051}\) soit 5,1 %.
c) \(P(\bar{D}) = 1 - 0{,}051 = \mathbf{0{,}949}\) soit 94,9 %.
d) Nombre estimé d'équerres défectueuses : \(400 \times 0{,}051 = \mathbf{20{,}4}\), soit environ 20 équerres.