Chapitre 2 – Exercices – Probabilités

Statistique et probabilités | 1ère Bac Pro | Mathématiques

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Connaître le vocabulaire des probabilités
Calculer la probabilité d'un événement
Utiliser la probabilité de l'événement contraire
Reconnaître et exploiter des événements incompatibles
Lire et compléter un tableau à double entrée
Découvrir les arbres pondérés (anticipation Terminale — hors programme)

Rappels essentiels

La probabilité d'un événement \(A\) est un nombre compris entre 0 et 1 : \(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\).
La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire vaut 1.
Événement contraire : \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).
Événements incompatibles : si \(A \cap B = \varnothing\), alors \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Tableau à double entrée : les totaux marginaux permettent de calculer les probabilités.
Arbre pondéré (anticipation Terminale — hors programme) : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins d'un même événement.

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1 Lancer d'un dé équilibré Socle

On lance un dé cubique équilibré à 6 faces.

Quelle est la probabilité d'obtenir un 4 ?
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ?
Quelle est la probabilité de ne pas obtenir un 6 ?

Mes calculs :

L'univers est \(\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}\) et chaque face a la probabilité \(\dfrac{1}{6}\).

\(P(\{4\}) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\).
Nombres pairs : \(\{2;4;6\}\). \(P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\).
Nombres \(\geqslant 5\) : \(\{5;6\}\). \(P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\).
\(P(\text{pas 6}) = 1 - P(\{6\}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}833\).

Exercice 2 Tirage d'une carte Socle

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.

Quelle est la probabilité de tirer un roi ?
Quelle est la probabilité de tirer une carte de cœur ?
Les événements « tirer un roi » et « tirer un cœur » sont-ils incompatibles ? Justifier.

Mes calculs :

Il y a 4 rois dans un jeu de 32 cartes. \(P(\text{roi}) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\).
Il y a 8 cartes de cœur. \(P(\text{cœur}) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\).
Non, ces événements ne sont pas incompatibles car il existe une carte qui est à la fois un roi et un cœur : le roi de cœur. \(A \cap B \neq \varnothing\).

Exercice 3 Événement contraire Socle

La probabilité qu'une machine de découpe de panneaux de bois produise une pièce conforme est \(0{,}92\).

Quelle est la probabilité qu'une pièce soit non conforme ?
Sur un lot de 500 pièces, combien peut-on s'attendre à trouver de pièces non conformes ?

Mes calculs :

\(P(\text{non conforme}) = 1 - P(\text{conforme}) = 1 - 0{,}92 = 0{,}08\).
Nombre attendu : \(500 \times 0{,}08 = 40\) pièces non conformes.

Exercice 4 Tableau à double entrée — Satisfaction client Socle

Un artisan menuisier a interrogé 200 clients sur leur satisfaction et le type de prestation réalisée.

	Cuisine	Placard	Terrasse	Total
Satisfait	60	45	35	140
Non satisfait	20	15	25	60
Total	80	60	60	200

On choisit un client au hasard.

Étape 1 : Repérer dans le tableau le nombre total de clients satisfaits. Compléter : il y a … clients satisfaits sur … clients au total.
Calculer \(P(\text{satisfait}) = \dfrac{\ldots}{\ldots}\).
Étape 2 : Repérer la colonne « Placard ». Combien de clients ont commandé un placard au total ?
Calculer \(P(\text{placard}) = \dfrac{\ldots}{\ldots}\).
Étape 3 : Pour « satisfait et cuisine », chercher la case à l'intersection de la ligne « Satisfait » et de la colonne « Cuisine ».
Calculer \(P(\text{satisfait et cuisine}) = \dfrac{\ldots}{\ldots}\).
Étape 4 : Pour « non satisfait ou terrasse », utiliser la formule \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
Aide : \(P(\text{non satisfait}) = \dfrac{60}{200}\), \(P(\text{terrasse}) = \dfrac{60}{200}\), \(P(\text{non satisfait et terrasse}) = \dfrac{\ldots}{200}\).

Mes calculs :

Il y a 140 clients satisfaits sur 200 au total. \(P(\text{satisfait}) = \dfrac{140}{200} = 0{,}70\).
60 clients ont commandé un placard. \(P(\text{placard}) = \dfrac{60}{200} = 0{,}30\).
\(P(\text{satisfait et cuisine}) = \dfrac{60}{200} = 0{,}30\).
On utilise la formule : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
\(P(\text{non satisfait}) = \dfrac{60}{200} = 0{,}30\), \(P(\text{terrasse}) = \dfrac{60}{200} = 0{,}30\), \(P(\text{non satisfait et terrasse}) = \dfrac{25}{200} = 0{,}125\).
\(P = 0{,}30 + 0{,}30 - 0{,}125 = 0{,}475\).

Exercice 5 Événements incompatibles Socle

Dans un magasin de bricolage, on classe les clients selon leur achat principal : peinture (P), bois (B), outillage (O) ou quincaillerie (Q). Les probabilités sont :

\(P(\text{P}) = 0{,}25\), \(P(\text{B}) = 0{,}30\), \(P(\text{O}) = 0{,}20\), \(P(\text{Q}) = 0{,}25\).

Étape 1 : Additionner toutes les probabilités : \(0{,}25 + 0{,}30 + 0{,}20 + 0{,}25 = \ldots\). La somme vaut-elle 1 ?
Étape 2 : Un client ne peut avoir qu'un seul achat principal. Les événements « peinture » et « bois » sont donc incompatibles.
Rappel : si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Calculer \(P(\text{P} \cup \text{B}) = \ldots + \ldots = \ldots\).
Étape 3 : « Ni peinture ni outillage » est le contraire de « peinture ou outillage ».
D'abord calculer \(P(\text{P} \cup \text{O}) = \ldots + \ldots = \ldots\).
Puis utiliser \(P(\overline{\text{P} \cup \text{O}}) = 1 - P(\text{P} \cup \text{O}) = \ldots\).

Mes calculs :

\(0{,}25 + 0{,}30 + 0{,}20 + 0{,}25 = 1{,}00\). C'est bien vérifié.
Les événements sont incompatibles (un seul achat principal) :
\(P(\text{P} \cup \text{B}) = P(\text{P}) + P(\text{B}) = 0{,}25 + 0{,}30 = 0{,}55\).
\(P(\text{P} \cup \text{O}) = 0{,}25 + 0{,}20 = 0{,}45\).
\(P(\overline{\text{P} \cup \text{O}}) = 1 - 0{,}45 = 0{,}55\).

Exercice 6 Tableau croisé — Contrôle qualité Socle

Un technicien contrôle un lot de 200 pièces métalliques. Chaque pièce peut présenter un défaut de dimension (D) et/ou un défaut d'aspect (A). Le contrôle donne :

20 pièces ont un défaut de dimension ; parmi elles, 6 ont aussi un défaut d'aspect.
Parmi les 180 pièces sans défaut de dimension, 9 ont un défaut d'aspect.

Étape 1 : Compléter le tableau croisé :

Défaut d'aspect (A) Pas de défaut d'aspect (Ā) Total

Défaut de dimension (D) 6 …… 20

Pas de défaut de dimension (D̄) …… …… 180

Total …… …… 200
Étape 2 : Calculer la probabilité qu'une pièce ait les deux défauts :
\(P(D \cap A) = \dfrac{\text{effectif de la case D-A}}{200} = \ldots\)
Étape 3 : Calculer \(P(A)\) à l'aide du total de la colonne A.
Étape 4 : Calculer la probabilité qu'une pièce n'ait aucun défaut : \(P(\bar{D} \cap \bar{A})\).
Vérification : la somme des 4 cases intérieures doit valoir 200.

	Défaut d'aspect (A)	Pas de défaut d'aspect (Ā)	Total
Défaut de dimension (D)	6	……	20
Pas de défaut de dimension (D̄)	……	……	180
Total	……	……	200

Mes calculs :

1. Tableau croisé :

	A	Ā	Total
D	6	14	20
D̄	9	171	180
Total	15	185	200

2. \(P(D \cap A) = \dfrac{6}{200} = 0{,}03\).

3. \(P(A) = \dfrac{15}{200} = 0{,}075\).

4. \(P(\bar{D} \cap \bar{A}) = \dfrac{171}{200} = 0{,}855\).

Vérification : \(6 + 14 + 9 + 171 = 200\). ✓

Exercice 7 Tableau à double entrée — Matériaux de construction Socle

Un fournisseur de matériaux livre des commandes de bois massif (M), de panneaux agglomérés (A) et de contreplaqué (C). Le tableau donne la répartition des livraisons sur un mois (en nombre de commandes) :

	Conforme	Non conforme	Total
Bois massif	72	8	80
Aggloméré	54	6	60
Contreplaqué	51	9	60
Total	177	23	200

On choisit une commande au hasard.

Étape 1 : Repérer le nombre total de commandes conformes dans la ligne « Total ». Calculer \(P(\text{conforme}) = \dfrac{\ldots}{200}\).
Étape 2 : Combien de commandes de bois massif au total ? Calculer \(P(\text{bois massif}) = \dfrac{\ldots}{200}\).
Étape 3 : Pour « non conforme et contreplaqué », chercher la case à l'intersection. Calculer \(P(\text{non conforme et contreplaqué}) = \dfrac{\ldots}{200}\).
Étape 4 : On se restreint aux commandes de bois massif uniquement (80 commandes). Parmi elles, combien sont conformes ? Calculer la proportion : \(\dfrac{\ldots}{80}\).

Mes calculs :

\(P(\text{conforme}) = \dfrac{177}{200} = 0{,}885\).
\(P(\text{bois massif}) = \dfrac{80}{200} = 0{,}40\).
\(P(\text{non conforme et contreplaqué}) = \dfrac{9}{200} = 0{,}045\).
Proportion de conformes parmi le bois massif : \(\dfrac{72}{80} = 0{,}90 = 90\,\%\).

Exercices d'application

Exercice 8 Commande de panneaux — Menuisier agenceur Standard

Un menuisier agenceur a commandé 1 000 panneaux de mélaminé : 700 auprès du fournisseur F1 et 300 auprès du fournisseur F2. Au contrôle de réception, 4 % des panneaux de F1 et 7 % des panneaux de F2 présentent un défaut de surface.

Quelle est la probabilité qu'un panneau choisi au hasard provienne du fournisseur F2 ?
Calculer les effectifs et construire un tableau croisé (F1 / F2 en lignes, Défaut / Sans défaut en colonnes).
Calculer la probabilité qu'un panneau choisi au hasard provienne de F1 et présente un défaut de surface.
Montrer que la probabilité qu'un panneau présente un défaut de surface est \(0{,}049\).
Le menuisier refuse tout panneau défectueux. Sur une livraison de 400 panneaux de même provenance, combien peut-il s'attendre à devoir renvoyer ?

Mes calculs :

\(P(\text{F2}) = \dfrac{300}{1\,000} = 0{,}30\).
Défauts F1 : \(700 \times 0{,}04 = 28\) ; défauts F2 : \(300 \times 0{,}07 = 21\).

Défaut (D) Sans défaut (D̄) Total

F1 28 672 700

F2 21 279 300

Total 49 951 1 000
\(P(\text{F1} \cap D) = \dfrac{28}{1\,000} = 0{,}028\).
D'après le total de la colonne D : \[P(D) = \dfrac{49}{1\,000} = 0{,}049\]
Nombre de panneaux défectueux attendus : \(400 \times 0{,}049 = 19{,}6\), soit environ 20 panneaux.

	Défaut (D)	Sans défaut (D̄)	Total
F1	28	672	700
F2	21	279	300
Total	49	951	1 000

Exercice 9 Diagnostic de chaudières — Installateur thermique Standard

Un installateur thermique effectue la maintenance annuelle de 150 chaudières réparties dans trois résidences. Le tableau suivant résume les résultats du diagnostic :

	Conforme	À régler	À remplacer	Total
Résidence A	40	15	5	60
Résidence B	30	10	10	50
Résidence C	25	10	5	40
Total	95	35	20	150

On choisit une chaudière au hasard parmi les 150.

Calculer la probabilité que la chaudière soit conforme.
Calculer la probabilité que la chaudière provienne de la résidence B.
Calculer la probabilité que la chaudière soit à remplacer et provienne de la résidence B.
Les événements « provenir de la résidence A » et « être à remplacer » sont-ils incompatibles ? Justifier.
Calculer la probabilité que la chaudière ne soit pas conforme.
Sachant que la chaudière provient de la résidence C, quelle est la probabilité qu'elle soit conforme ?

Mes calculs :

\(P(\text{conforme}) = \dfrac{95}{150} = \dfrac{19}{30} \approx 0{,}633\).
\(P(\text{résidence B}) = \dfrac{50}{150} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\).
\(P(\text{à remplacer et résidence B}) = \dfrac{10}{150} = \dfrac{1}{15} \approx 0{,}067\).
Non, ces événements ne sont pas incompatibles : il y a 5 chaudières de la résidence A qui sont à remplacer. L'intersection n'est pas vide.
\(P(\text{non conforme}) = 1 - P(\text{conforme}) = 1 - \dfrac{95}{150} = \dfrac{55}{150} = \dfrac{11}{30} \approx 0{,}367\).
On se restreint à la résidence C (40 chaudières). Parmi elles, 25 sont conformes.
\(P(\text{conforme}|\text{résidence C}) = \dfrac{25}{40} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625\).

Exercice 10 Choix de finition — Poseur de cuisines Standard

Un poseur de cuisines propose trois finitions : mat (M), brillant (B) ou satiné (S). Sur ses 400 dernières commandes, 180 clients ont choisi le mat, 80 le brillant et le reste le satiné. Parmi eux, 18 clients « mat », 20 clients « brillant » et 21 clients « satiné » ont aussi demandé un plan de travail en granit (G).

Calculer le nombre de commandes en finition satinée, puis \(P(S)\).
Construire un tableau croisé (M / B / S en lignes, Granit / Pas de granit en colonnes).
Calculer la probabilité qu'une commande soit en brillant avec un plan en granit.
Calculer la probabilité qu'une commande comporte un plan de travail en granit.
Le poseur prévoit 200 commandes pour la saison. Combien de plans en granit doit-il prévoir ?

Mes calculs :

Satiné : \(400 - 180 - 80 = 140\) commandes. \(P(S) = \dfrac{140}{400} = 0{,}35\).
Granit (G) Pas de granit (Ḡ) Total

Mat 18 162 180

Brillant 20 60 80

Satiné 21 119 140

Total 59 341 400
\(P(B \cap G) = \dfrac{20}{400} = 0{,}050\).
D'après le total de la colonne G : \[P(G) = \dfrac{59}{400} = 0{,}1475\]
Nombre de plans en granit : \(200 \times 0{,}1475 = 29{,}5\), soit environ 30 plans en granit.

	Granit (G)	Pas de granit (Ḡ)	Total
Mat	18	162	180
Brillant	20	60	80
Satiné	21	119	140
Total	59	341	400

Exercices d'approfondissement

Note : ces exercices mobilisent les arbres pondérés et la formule des probabilités totales, en anticipation du programme de Terminale (hors programme de Première).

Exercice 11 Arbre pondéré — Chantier de rénovation Approfondissement

Sur un chantier de rénovation, un artisan commande des fenêtres chez deux fournisseurs. Le fournisseur A livre 60 % des fenêtres et le fournisseur B livre les 40 % restants. Le taux de défaut est de 5 % chez A et de 8 % chez B.

Construire un arbre pondéré représentant la situation.
Calculer la probabilité qu'une fenêtre choisie au hasard provienne du fournisseur A et soit défectueuse.
Calculer la probabilité qu'une fenêtre soit défectueuse.
L'artisan reçoit une fenêtre défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B ?

Mes calculs :

1. Arbre pondéré :

2. \(P(A \cap \text{Défaut}) = 0{,}60 \times 0{,}05 = 0{,}030\).

3. Par la loi des probabilités totales : \[P(\text{Défaut}) = 0{,}030 + 0{,}40 \times 0{,}08 = 0{,}030 + 0{,}032 = 0{,}062\]

4. On cherche \(P(B|\text{Défaut})\) : \[P(B|\text{Défaut}) = \dfrac{P(B \cap \text{Défaut})}{P(\text{Défaut})} = \dfrac{0{,}032}{0{,}062} \approx 0{,}516\] Il y a environ 51,6 % de chances que la fenêtre défectueuse provienne du fournisseur B.

Exercice 12 Problème complet — Enquête transport Approfondissement

Une entreprise de BTP interroge ses 250 salariés sur leur mode de transport principal.

	Voiture	Transport en commun	Vélo/Marche	Total
Ouvrier	80	30	10	120
Technicien	40	25	15	80
Cadre	35	10	5	50
Total	155	65	30	250

On choisit un salarié au hasard.

Calculer la probabilité qu'il vienne en voiture.
Calculer la probabilité qu'il soit technicien.
Calculer la probabilité qu'il soit ouvrier et utilise le vélo ou la marche.
Les événements « être cadre » et « utiliser le vélo/marche » sont-ils incompatibles ? Justifier.
Sachant qu'un salarié utilise les transports en commun, quelle est la probabilité qu'il soit technicien ?

Mes calculs :

\(P(\text{voiture}) = \dfrac{155}{250} = 0{,}62\).
\(P(\text{technicien}) = \dfrac{80}{250} = 0{,}32\).
\(P(\text{ouvrier et vélo/marche}) = \dfrac{10}{250} = 0{,}04\).
Non : il y a 5 cadres qui utilisent le vélo/marche. L'intersection n'est pas vide, donc ces événements ne sont pas incompatibles.
On se restreint aux salariés en transport en commun (65 personnes). Parmi eux, 25 sont techniciens.
\(P(\text{technicien}|\text{TC}) = \dfrac{25}{65} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}385\).

Exercice 13 Arbre à deux étapes — Contrôle d'un chantier Approfondissement

Sur un chantier, un conducteur de travaux vérifie la conformité de deux lots successifs. Pour le premier lot, la probabilité de conformité est \(0{,}85\). Si le premier lot est conforme, la probabilité que le second le soit aussi est \(0{,}90\). Si le premier lot n'est pas conforme, la probabilité que le second soit conforme est \(0{,}70\).

Construire l'arbre de probabilités complet.
Calculer la probabilité que les deux lots soient conformes.
Calculer la probabilité qu'au moins un lot soit non conforme.
Calculer la probabilité que le second lot soit conforme.

Mes calculs :

1. Arbre de probabilités :

2. \(P(C_1 \cap C_2) = 0{,}85 \times 0{,}90 = 0{,}765\).

3. « Au moins un non conforme » est le contraire de « les deux conformes » : \[P(\text{au moins un non conforme}) = 1 - 0{,}765 = 0{,}235\]

4. Probabilités totales : \[P(C_2) = P(C_1 \cap C_2) + P(\bar{C}_1 \cap C_2) = 0{,}765 + 0{,}15 \times 0{,}70 = 0{,}765 + 0{,}105 = 0{,}870\]

Exercice 14 Situation professionnelle — Fiabilité de capteurs Approfondissement

Un technicien de maintenance installe deux capteurs de température indépendants dans une chaufferie. La probabilité de défaillance de chaque capteur sur un an est de \(0{,}04\).

Quelle est la probabilité que les deux capteurs tombent en panne la même année ?
Quelle est la probabilité qu'au moins un capteur fonctionne ?
L'installateur affirme que le système est « fiable à plus de 99 % ». A-t-il raison ? Justifier.

Mes calculs :

Les capteurs sont indépendants. Notons \(D_1\) et \(D_2\) les défaillances.

\(P(D_1 \cap D_2) = P(D_1) \times P(D_2) = 0{,}04 \times 0{,}04 = 0{,}0016\).
« Au moins un fonctionne » = contraire de « les deux en panne » :
\(P(\text{au moins un fonctionne}) = 1 - 0{,}0016 = 0{,}9984\).
\(0{,}9984 = 99{,}84\,\% > 99\,\%\). Oui, l'installateur a raison : la fiabilité du système est bien supérieure à 99 %.