Chapitre 2 – Exercices – Probabilités

1. Arbre pondéré :

2. \(P(A \cap \text{Défaut}) = 0{,}60 \times 0{,}05 = 0{,}030\).

3. Par la loi des probabilités totales : \[P(\text{Défaut}) = 0{,}030 + 0{,}40 \times 0{,}08 = 0{,}030 + 0{,}032 = 0{,}062\]

4. On cherche \(P(B|\text{Défaut})\) : \[P(B|\text{Défaut}) = \dfrac{P(B \cap \text{Défaut})}{P(\text{Défaut})} = \dfrac{0{,}032}{0{,}062} \approx 0{,}516\] Il y a environ 51,6 % de chances que la fenêtre défectueuse provienne du fournisseur B.

1. \(P(\text{voiture}) = \dfrac{155}{250} = 0{,}62\).
2. \(P(\text{technicien}) = \dfrac{80}{250} = 0{,}32\).
3. \(P(\text{ouvrier et vélo/marche}) = \dfrac{10}{250} = 0{,}04\).
4. Non : il y a 5 cadres qui utilisent le vélo/marche. L'intersection n'est pas vide, donc ces événements ne sont pas incompatibles.
5. On se restreint aux salariés en transport en commun (65 personnes). Parmi eux, 25 sont techniciens.
   \(P(\text{technicien}|\text{TC}) = \dfrac{25}{65} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}385\).

1. Arbre de probabilités :

2. \(P(C_1 \cap C_2) = 0{,}85 \times 0{,}90 = 0{,}765\).

3. « Au moins un non conforme » est le contraire de « les deux conformes » : \[P(\text{au moins un non conforme}) = 1 - 0{,}765 = 0{,}235\]

4. Probabilités totales : \[P(C_2) = P(C_1 \cap C_2) + P(\bar{C}_1 \cap C_2) = 0{,}765 + 0{,}15 \times 0{,}70 = 0{,}765 + 0{,}105 = 0{,}870\]

Les capteurs sont indépendants. Notons \(D_1\) et \(D_2\) les défaillances.

1. \(P(D_1 \cap D_2) = P(D_1) \times P(D_2) = 0{,}04 \times 0{,}04 = 0{,}0016\).
2. « Au moins un fonctionne » = contraire de « les deux en panne » :
   \(P(\text{au moins un fonctionne}) = 1 - 0{,}0016 = 0{,}9984\).
3. \(0{,}9984 = 99{,}84\,\% > 99\,\%\). Oui, l'installateur a raison : la fiabilité du système est bien supérieure à 99 %.

1. On convertit d'abord chaque pourcentage en effectif sur les 800 devis :

On complète ensuite par différences : maisons refusées \(360 - 144 = 216\) ; appartements \(800 - 360 = 440\) ; appartements acceptés \(240 - 144 = 96\) ; appartements refusés \(440 - 96 = 344\).

Cohérence : \(144 + 216 = 360\), \(96 + 344 = 440\), \(144 + 96 = 240\), \(216 + 344 = 560\), et \(360 + 440 = 240 + 560 = \mathbf{800}\). ✓

2. On note \(M\) l'événement « le devis concerne une maison individuelle » et \(A\) l'événement « le devis est accepté ».

Première façon, par la formule de la réunion (les deux événements ne sont pas incompatibles, 144 devis étant dans les deux catégories) :

Seconde façon, par les effectifs : \(360 + 240 - 144 = 456\) devis concernés, soit \(\dfrac{456}{800} = \mathbf{\dfrac{57}{100}} = 0{,}57\). ✓ Les deux méthodes concordent et \(0 \leqslant 0{,}57 \leqslant 1\).

On peut aussi le contrôler par l'événement contraire : les devis d'appartement refusés sont 344, soit \(\dfrac{344}{800} = 0{,}43\), et \(1 - 0{,}43 = 0{,}57\). ✓

3. « Transformer un devis » signifie le faire accepter : il faut donc comparer les taux d'acceptation à l'intérieur de chaque clientèle, et non les effectifs bruts.

Conclusion attendue : le bureau d'études fait accepter 40 % de ses devis de maison individuelle contre environ 21,8 % de ses devis d'appartement, soit un taux presque deux fois plus élevé. C'est donc sur la maison individuelle qu'il transforme le mieux, alors même que les appartements représentent la majorité des devis établis (440 sur 800). Deux pistes cohérentes avec ce constat : renforcer la prospection en maison individuelle, ou comprendre ce qui bloque en logement collectif (concurrence, délais, décision partagée en copropriété).

Variante acceptable : raisonner en devis refusés (60 % en maison, environ 78,2 % en appartement) et conclure de la même façon. Est en revanche fausse la lecture « il y a 144 maisons acceptées contre 96 appartements, donc la maison marche mieux » sans rapporter aux effectifs de chaque ligne : c'est le taux qui compare, pas l'effectif.

1. L'affirmation « les deux causes sont incompatibles » est fausse : deux événements sont incompatibles lorsque leur intersection est vide, c'est-à-dire lorsque \(P(I \cap R) = 0\). Or ici \(P(I \cap R) = 0{,}07 \neq 0\) : 7 % des chantiers cumulent une période d'intempéries et une rupture d'approvisionnement. En additionnant \(P(I)\) et \(P(R)\), le conducteur de travaux compte deux fois ces chantiers-là, ce qui gonfle artificiellement le résultat.

2. La formule à appliquer est celle de la réunion de deux événements quelconques :

La probabilité qu'un chantier connaisse au moins l'une de ces deux causes de retard est donc de 36 % et non 43 %. Ce calcul n'inclut pas d'éventuelles autres causes de retard.

Par l'événement contraire : \(P(\overline{I \cup R}) = 1 - 0{,}36 = \mathbf{0{,}64}\) ; 64 % des chantiers échappent à ces deux causes de retard.

3. Prévision corrigée : \(120 \times 0{,}36 = 43{,}2\), soit environ 43 chantiers en retard.

L'annonce initiale (43 % des chantiers, soit \(120 \times 0{,}43 = 51{,}6 \approx 52\) chantiers) surestime le risque d'environ 9 chantiers, soit un cinquième de trop. Une phrase attendue : surestimer le risque conduit à sur-provisionner les pénalités de retard et à gonfler les devis, donc à perdre des marchés face à la concurrence — l'erreur de méthode coûte de l'activité, même si elle va « dans le sens de la prudence ».

Variante acceptable pour la dernière question : souligner qu'un chiffre faux fait perdre sa crédibilité à l'indicateur, ou qu'il conduit à mobiliser inutilement des moyens de rattrapage.

Rédaction attendue.

On choisit au hasard une installation parmi les 1 200 réalisées et on note \(G\) l'événement « l'installation fait l'objet d'une intervention sous garantie la première année ». La clause revient à affirmer que \(P(G) \lt 0{,}05\).

Sur l'ensemble du parc :

soit environ 5,4 %. Cette valeur, bien comprise entre 0 et 1, est supérieure à 5 % : l'entreprise ne peut pas s'engager sur cette clause telle qu'elle est rédigée.

On regarde ensuite modèle par modèle, en se restreignant à chaque fois aux installations de ce modèle :

soit 3,6 %, 6,5 % et 7,0 %. Seul le modèle A respecte le seuil des 5 % ; les modèles B et C le dépassent nettement et tirent la moyenne vers le haut.

Conclusion. La clause proposée est contredite par le bilan global de l'an dernier (5,4 %). Le modèle A présente une fréquence observée de 3,6 %, mais celle-ci n'est pas une garantie pour l'année suivante : limiter la clause à ce modèle la rendrait plus cohérente avec l'historique, pas certaine. De même, relever le seuil à 7,5 % placerait l'historique sous le seuil, sans garantir contractuellement les résultats futurs. Pour un engagement ferme, il faudrait définir une période de référence et une méthode statistique tenant compte de l'incertitude.

Variantes acceptables. Conclure « non, car 5,4 % \(\gt\) 5 % » avec le seul calcul global est recevable si la comparaison au seuil est explicite. Toute réponse qui exploite en plus les trois taux par modèle est plus complète. On acceptera aussi la remarque prudente selon laquelle ces taux sont des fréquences observées sur une seule année : elles estiment la probabilité sans la garantir, ce qui plaide pour ne pas s'engager à seulement 0,4 point du seuil. Est en revanche fausse la moyenne des trois taux \(\dfrac{0{,}036 + 0{,}065 + 0{,}070}{3} \approx 0{,}057\) : les trois modèles n'ont pas le même effectif, il faut pondérer, c'est-à-dire revenir à \(\dfrac{65}{1\,200}\).

1. Les 240 appareils ont la même probabilité d'être tirés :

Or \(0{,}35 \lt 0{,}60\) : l'objectif n'est pas atteint, il s'en faut de 25 points.

2. On note \(x\) le nombre d'appareils de classe A livrés. Ils s'ajoutent à la fois aux appareils de classe A et au stock total :

Comme \(240 + x \gt 0\), on peut multiplier les deux membres par \(240 + x\) :

Il faut faire livrer au minimum 150 appareils de classe A. Vérification : \(\dfrac{84 + 150}{240 + 150} = \dfrac{234}{390} = 0{,}60\) exactement. ✓

3. On note \(z\) le nombre d'appareils retirés, tous hors classe A. Le nombre d'appareils de classe A ne change pas, seul le total diminue :

Il faut retirer au minimum 100 appareils hors classe A. C'est réalisable : le stock en compte \(240 - 84 = 156\). Vérification : \(\dfrac{84}{240 - 100} = \dfrac{84}{140} = 0{,}60\) exactement. ✓

4. Les deux solutions atteignent exactement l'objectif, mais elles n'ont pas le même coût. Faire livrer 150 appareils de classe A, ce sont 150 achats supplémentaires à financer et à stocker ; retirer 100 appareils hors classe A ne coûte qu'une opération de transfert vers une autre agence ou une mise en promotion. La solution du retrait est donc préférable, d'autant qu'elle porte sur les appareils les moins performants, ceux que l'enseigne a de toute façon intérêt à écouler.

Variante acceptable : proposer une solution mixte (par exemple faire livrer 60 appareils de classe A et en retirer 60 hors classe A donne \(\dfrac{144}{240} = 0{,}60\), objectif atteint également) et la justifier par la disponibilité réelle des appareils. Toute réponse doit s'appuyer sur un calcul et vérifier que la probabilité obtenue est bien \(\geqslant 0{,}60\) et \(\leqslant 1\).

1. \(P(\text{rebut}) = \dfrac{48}{700} = \mathbf{\dfrac{12}{175}} \approx 0{,}069\), soit environ 6,9 % des panneaux. La valeur est bien comprise entre 0 et 1.

2. On se restreint successivement aux panneaux de chaque machine :

Soit 9 % contre 4 % : la machine ancienne rebute plus du double de panneaux, en proportion, que la machine récente. Comparer les effectifs bruts (36 rebuts contre 12) n'aurait pas suffi, puisque les deux machines n'ont pas découpé le même nombre de panneaux.

3. Si les 700 panneaux du mois étaient découpés sur des machines récentes, on attendrait :

au lieu de 48, soit 20 panneaux sauvés par mois, et un gain de :

Durée de remboursement : \(\dfrac{26\,000}{900} \approx 28{,}9\), soit environ 29 mois, c'est-à-dire un peu moins de deux ans et demi.

Recommandation attendue. Sous les hypothèses du calcul, le remplacement se rembourse en environ 29 mois sur le seul poste des rebuts. Deux limites à signaler : (a) le taux de 4 % est une fréquence observée sur un seul mois, elle ne garantit pas le taux futur ni que les deux machines traitent des panneaux comparables ; (b) cadence, maintenance, financement, installation et sécurité ne sont pas chiffrés. Ces éléments peuvent raccourcir ou allonger le retour réel : il faut les intégrer avant de décider.

Variante acceptable : raisonner sur l'année (\(12 \times 900 = 10\,800\) €/an, soit un retour en \(26\,000 / 10\,800 \approx 2{,}4\) ans), ou conclure à un report de l'achat en argumentant sur la fragilité d'un relevé d'un seul mois.

1. On se restreint aux 30 meubles défectueux ; 21 d'entre eux viennent de l'atelier 1 :

Le chiffre de 70 % est donc exact. On peut aussi le retrouver par la définition : \(P(\text{atelier 1} \cap \text{défaut}) = \dfrac{21}{500} = 0{,}042\) et \(P(\text{défaut}) = \dfrac{30}{500} = 0{,}06\), d'où \(\dfrac{0{,}042}{0{,}06} = 0{,}70\). ✓

2. La seconde phrase inverse la condition. « 70 % des meubles défectueux viennent de l'atelier 1 » ne se lit pas dans le même sens que « 70 % des meubles de l'atelier 1 sont défectueux » : dans le premier cas on se restreint à la colonne des défauts, dans le second à la ligne de l'atelier 1. Le calcul le montre :

soit 6 %, et non 70 %. L'écart entre les deux lectures est énorme : à 70 % de défauts, l'atelier 1 produirait 245 meubles défectueux par semaine au lieu de 21. La phrase est donc absurde au regard du tableau lui-même.

3. On calcule le taux de défaut de chaque atelier :

Les deux ateliers ont exactement le même taux de défaut, 6 %, égal au taux de l'ensemble de la production \(\left(\dfrac{30}{500} = 0{,}06\right)\). Le fait que 70 % des défauts viennent de l'atelier 1 s'explique uniquement par son volume : il produit 350 des 500 meubles, soit 70 % de la production — et il produit donc mécaniquement 70 % des défauts.

Conclusion attendue : « Les deux ateliers présentent le même taux de défaut observé, 6 %. Ces données ne justifient donc pas de concentrer l'action sur le seul atelier 1. Elles ne permettent toutefois ni d'affirmer que l'atelier n'a aucune influence, ni d'identifier une cause commune : il faut analyser les types de défauts et les conditions de production. »

Variante acceptable : constater que la répartition des défauts (70 % / 30 %) reproduit exactement la répartition de la production (350/500 = 70 % et 150/500 = 30 %), et en déduire que cet échantillon ne met en évidence aucune différence de taux entre les deux ateliers.

Rédaction attendue.

Le nombre d'arrêts seul ne permet pas de comparer les lignes : elles n'ont pas réalisé le même nombre de cycles. Le bon indicateur est la probabilité qu'un cycle pris au hasard se termine par un arrêt, c'est-à-dire la fréquence d'arrêt à l'intérieur de chaque ligne :

soit 5 %, 7 % et 10 %. Sur l'ensemble du site, un cycle pris au hasard s'arrête avec la probabilité \(\dfrac{67}{1\,000} = \mathbf{0{,}067}\), soit 6,7 % ; toutes ces valeurs sont bien comprises entre 0 et 1.

Décision. C'est la ligne 3 qu'il faut traiter en priorité : son taux d'arrêt (10 %) est le double de celui de la ligne 1 et une fois et demie celui de la moyenne du site. Autrement dit, un cycle sur dix y échoue.

Gain attendu. Si la maintenance préventive ramenait la ligne 3 au meilleur taux constaté (5 %, celui de la ligne 1), on attendrait \(220 \times 0{,}05 = 11\) arrêts au lieu de 22, soit 11 arrêts évités par trimestre. Le total du site passerait de 67 à 56 arrêts, soit une baisse d'environ :

Pourquoi le classement par nombre d'arrêts ne suffit pas. Ce classement place la ligne 1 en tête (24 arrêts, devant 22 et 21) et ferait donc porter l'effort sur la ligne la plus fiable du site. La ligne 1 n'a beaucoup d'arrêts que parce qu'elle réalise beaucoup de cycles (480 sur 1 000) : c'est un effet de volume, pas de fiabilité. Seul le rapport arrêts/cycles compare ce qui est comparable.

Variantes acceptables. Choisir la ligne 3 en raisonnant en « nombre de cycles entre deux arrêts » (10 pour la ligne 3, 14 pour la ligne 2, 20 pour la ligne 1) est tout aussi valable. On acceptera aussi une recommandation qui pondère par la valeur produite sur chaque ligne, à condition que l'écart de taux soit calculé et cité. Est en revanche insuffisante toute réponse fondée sur les seuls effectifs d'arrêts.

1. Les 400 billets étant équiprobables, la probabilité de gagner est le quotient du nombre de billets gagnants par 400. On cherche donc \(n\) tel que \(\dfrac{n}{400} = 0{,}15\) :

La règle « un gros lot pour quatre petits » partage ces 60 billets en 5 parts égales, dont une seule correspond aux gros lots :

Contrôle : \(12 + 48 = 60\) ✓, et \(P(\text{gros lot}) = \dfrac{12}{400} = 0{,}03\), \(P(\text{petit lot}) = \dfrac{48}{400} = 0{,}12\). Ces deux événements étant incompatibles (un billet ne peut pas donner les deux lots), \(P(\text{gagner}) = 0{,}03 + 0{,}12 = 0{,}15\). ✓

2. Recette : \(400 \times 3 = 1\,200\) €. Coût des lots :

Bénéfice : \(1\,200 - 588 = \mathbf{612 \text{ €}}\).

3. La recette reste 1 200 € ; pour dégager au moins 700 €, le coût des lots ne doit pas dépasser \(1\,200 - 700 = 500\) €. En notant \(g\) le nombre de gros lots, il y a \(4g\) petits lots et le coût vaut :

Comme \(g\) est un entier, on retient \(g = \mathbf{10}\) gros lots et \(4 \times 10 = \mathbf{40}\) petits lots, soit 50 billets gagnants. Coût : \(49 \times 10 = 490\) €, bénéfice \(1\,200 - 490 = \mathbf{710 \text{ €}} \geqslant 700\) €. ✓

Nouvelle probabilité de gagner :

soit 12,5 % au lieu de 15 % ; la valeur reste bien comprise entre 0 et 1.

Argumentation attendue. La composition est mathématiquement compatible avec le bénéfice visé, mais elle abaisse la probabilité de gagner de 15 % à 12,5 % et contrevient donc à la règle initiale. Les données ne permettent pas de savoir si cette baisse restera attractive. Le bénéfice de 710 € suppose en outre que les 400 billets soient effectivement vendus : à 350 billets vendus, la recette tombe à 1 050 € et le bénéfice à 560 €, alors que les lots sont déjà achetés.

Variantes acceptables. Proposer de garder \(P = 0{,}15\) et d'augmenter le prix du billet, ou de remplacer une partie des lots par des dons de commerçants (coût nul), en montrant par le calcul que l'objectif de 700 € est alors atteint. Toute solution doit vérifier la règle « un gros pour quatre petits » et donner un nombre entier de lots.

1. \(P(\text{germée}) = \dfrac{324}{400} = \mathbf{\dfrac{81}{100}} = 0{,}81\), soit 81 % des graines semées, toutes conditions confondues. La valeur est bien comprise entre 0 et 1.

2. On se restreint à chaque protocole :

soit 78 % sans stratification contre 86 % avec, c'est-à-dire 8 points de plus en faveur du protocole B. Rapporté au protocole A, cela représente environ 10 % de graines germées en plus.

Réponse nuancée attendue. L'essai va clairement dans le sens d'un effet favorable de la stratification, et l'écart de 8 points sur des effectifs de plusieurs centaines de graines n'est pas négligeable. Mais 0,78 et 0,86 sont des fréquences observées, pas les probabilités réelles de germination : sur un seul essai, elles fluctuent autour de la vraie valeur, d'autant plus que le lot est petit (150 graines pour le protocole B). Une conclusion honnête serait : « l'essai est favorable à la stratification ; pour l'affirmer, il faut le répéter, sur d'autres lots de graines et si possible sur des effectifs comparables entre les deux protocoles ».

Variante acceptable : souligner que les deux lots n'ont pas la même taille (250 contre 150), ce qui affaiblit la comparaison, ou que d'autres facteurs (origine des graines, température, arrosage) devraient être maîtrisés pour attribuer l'écart à la seule stratification. Est en revanche fausse la conclusion « le protocole B est meilleur puisqu'il donne moins de graines non germées » : il y a 55 graines non germées en A contre 21 en B, mais sur des effectifs différents — seuls les taux comparent.

3. Avec le protocole B, chaque graine semée a la probabilité 0,86 de germer. Il faut donc semer \(n\) graines telles que \(n \times 0{,}86 = 500\) :

soit 582 graines pour obtenir 500 plants en moyenne selon la fréquence observée (on arrondit à l'entier supérieur). Avec le protocole A, le même calcul donne \(\dfrac{500}{0{,}78} \approx 641{,}0\), soit 641 graines. Aucun de ces nombres ne garantit 500 germinations ; une marge de sécurité doit être ajoutée pour un objectif ferme.

Justification : le protocole B économise une soixantaine de graines pour la même production, et occupe moins de surface de semis. La pépinière retiendra donc la stratification, sauf si le coût ou la durée du passage au froid dépasse la valeur des 59 graines économisées — auquel cas le protocole A, plus simple, reste défendable. Dans les deux cas, semer exactement 500 graines serait une erreur : on n'obtiendrait qu'environ 430 plants avec B.

1. \(P(\text{réemploi}) = \dfrac{690}{1\,500} = \mathbf{\dfrac{23}{50}} = 0{,}46\), soit 46 % des objets.

Les événements « provenir d'un particulier » et « partir au réemploi » ne sont pas incompatibles : 450 objets vérifient les deux. On retire donc l'intersection :

Soit 76 % des objets ; la valeur est bien comprise entre 0 et 1. Vérification par les effectifs : \(900 + 690 - 450 = 1\,140\). ✓

2. L'objectif demande \(P(\text{réemploi}) \geqslant 0{,}50\). Or \(0{,}46 \lt 0{,}50\) : l'objectif n'est pas atteint, il manque 4 points.

En effectifs, il faudrait \(0{,}50 \times 1\,500 = 750\) objets réemployés au lieu de 690, soit 60 objets à réorienter vers le réemploi sur le trimestre.

3. On compare les taux de réemploi à l'intérieur de chaque catégorie de déposants :

Les dépôts des particuliers atteignent déjà l'objectif (50 %) ; ce sont les dépôts d'entreprises, à 40 %, qui tirent le résultat global vers le bas.

Chiffrage de l'amélioration : si les dépôts d'entreprises passaient eux aussi à 50 % de réemploi, ils fourniraient \(600 \times 0{,}50 = 300\) objets réemployés au lieu de 240, soit exactement les 60 objets manquants. Le total deviendrait \(450 + 300 = 750\), soit \(\dfrac{750}{1\,500} = 0{,}50\) : l'objectif serait atteint. ✓

Conclusion attendue. « Avec 46 % de réemploi, la ressourcerie est en dessous de l'objectif conventionnel de 50 %. L'écart ne vient pas des particuliers, déjà à 50 %, mais des dépôts d'entreprises, à 40 %. Amener ces derniers au niveau des particuliers suffirait exactement à atteindre l'objectif : c'est donc sur la collecte en entreprise qu'il faut agir — tri à la source, consignes de dépôt, refus des lots trop dégradés — plutôt que sur l'ensemble des flux. »

Variantes acceptables. Proposer d'améliorer les deux catégories dans des proportions moindres (par exemple +30 objets de chaque côté), à condition que le calcul montre que le total atteint 750. Proposer aussi de réduire la part des 255 objets éliminés (17 % des dépôts) en les réorientant vers le réemploi, en montrant que 60 d'entre eux suffiraient. Est en revanche fausse la lecture « les particuliers déposent 450 objets réemployables contre 240 pour les entreprises, donc les particuliers trient mieux » présentée sans les taux : les particuliers déposent aussi une fois et demie plus d'objets.

1. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Un résultat de 1,2 est donc impossible, quelle que soit la situation : aucun événement ne peut se produire « plus souvent que toujours ». De même, un pourcentage de 120 % de licenciés n'a pas de sens, puisqu'on ne peut pas dépasser l'effectif total du club. Le seul contrôle \(0 \leqslant P \leqslant 1\) suffit à détecter l'erreur.

2. Le membre du bureau a additionné \(P(N)\) et \(P(V)\) comme si les deux événements étaient incompatibles. Ils ne le sont pas : 54 licenciés fréquentent les deux créneaux, donc \(N \cap V \neq \varnothing\). Ces 54 licenciés ont été comptés deux fois, une fois dans les 96 et une fois dans les 120. Il faut retirer l'intersection :

Soit 90 % des licenciés, valeur cette fois bien comprise entre 0 et 1.

3. « Aucun des deux créneaux » est l'événement contraire de \(N \cup V\) :

On décompose alors l'effectif du club : natation seule \(96 - 54 = 42\) ; vélo seul \(120 - 54 = 66\) ; les deux 54 ; aucun 18.

« Exactement un créneau » réunit natation seule et vélo seul, deux événements incompatibles :

Conclusion attendue. « 90 % des licenciés fréquentent au moins un créneau d'entraînement : 60 % n'en fréquentent qu'un seul et 30 % les deux. Restent 18 licenciés, soit 10 %, qui ne viennent à aucun de ces deux créneaux. Il peut être utile de les interroger, sans présumer qu'ils ne se réinscriront pas : ils peuvent pratiquer sur d'autres créneaux ou en autonomie. »

Variantes acceptables. Retrouver les 18 licenciés directement par les effectifs \(180 - (42 + 54 + 66) = 18\), ou présenter la réponse sous forme de tableau plutôt que de schéma. Toute rédaction doit rappeler le contrôle \(0 \leqslant P \leqslant 1\), qui est ici l'outil de détection de l'erreur initiale.