Probabilités – Exercices par capacités

C1 — Calculer la probabilité d'un événement par addition des probabilités d'événements élémentaires

Rappel de cours

Dans un univers fini \(\Omega\), la probabilité d'un événement \(A\) est la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent \(A\). Si les issues sont équiprobables : \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}\). Dans tous les cas, la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.

Exercice 1

Un dé à 6 faces est truqué. Les probabilités sont : \(P(1) = P(2) = P(3) = 0{,}1\) ; \(P(4) = 0{,}2\) ; \(P(5) = 0{,}2\) ; \(P(6) = 0{,}3\).

Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
Calculer \(P(\text{obtenir un nombre pair})\).
Calculer \(P(\text{obtenir un nombre } \geqslant 4)\).

Mes calculs :

\(0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}3 = 1{,}0\) ✔
\(P(\text{pair}) = P(2) + P(4) + P(6) = 0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}6\)
\(P(\geqslant 4) = P(4) + P(5) + P(6) = 0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}7\)

Exercice 2

Un menuisier a numéroté de 1 à 40 quarante planches de même taille, puis les a rangées dans un casier. Il en prend une au hasard.

Quelle est la probabilité de prendre la planche numéro 17 ?
Quelle est la probabilité que le numéro soit pair ?
Quelle est la probabilité que le numéro soit un multiple de 5 ?

Mes calculs :

Les 40 planches ont la même chance d'être prises : les issues sont équiprobables. \(P(17) = \dfrac{1}{40} = 0{,}025\)
Il y a 20 numéros pairs (2, 4, …, 40). \(P(\text{pair}) = \dfrac{20}{40} = 0{,}5\)
Les multiples de 5 sont 5, 10, …, 40 : il y en a 8. \(P(\text{multiple de 5}) = \dfrac{8}{40} = 0{,}2\)

Exercice 3

Une machine de découpe contrôle des planches. Le nombre de défauts d'une planche prise au hasard suit ce tableau :

Nombre de défauts	0	1	2	3 ou plus
Probabilité	0,55	0,25	0,12	?

Calculer la probabilité de l'issue « 3 défauts ou plus ».
Quelle est la probabilité que la planche ait exactement 2 défauts ?
Les quatre issues sont-elles équiprobables ? Justifier.

Mes calculs :

La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. \(P(3\text{ ou plus}) = 1 - (0{,}55 + 0{,}25 + 0{,}12) = 1 - 0{,}92 = 0{,}08\)
On lit dans le tableau : \(P(2\text{ défauts}) = 0{,}12\).
Non : les probabilités des quatre issues sont différentes (0,55 ; 0,25 ; 0,12 ; 0,08). Il faut donc additionner les probabilités des issues, et non diviser par le nombre d'issues.

C2 — Calculer la probabilité d'un événement contraire

Rappel de cours

L'événement contraire de \(A\), noté \(\bar{A}\), se réalise quand \(A\) ne se réalise pas. On a \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). Cette formule est utile pour les questions « au moins un » (contraire : « aucun ») et « ne pas ».

Exercice 4

Un lot de 50 composants électroniques sort d'une ligne de production. Le contrôle qualité révèle : 42 composants conformes, 5 avec un défaut mineur et 3 avec un défaut majeur. On tire un composant au hasard.

Quelle est la probabilité de tirer un composant conforme ?
En déduire, avec l'événement contraire, la probabilité de tirer un composant défectueux (défaut mineur ou majeur).
Vérifier ce résultat en comptant directement les composants défectueux.

Mes calculs :

\(P(\text{conforme}) = \dfrac{42}{50} = 0{,}84\)
« Défectueux » est l'événement contraire de « conforme ».
\(P(\text{défectueux}) = 1 - P(\text{conforme}) = 1 - 0{,}84 = 0{,}16\)
Composants défectueux : \(5 + 3 = 8\). \(\dfrac{8}{50} = 0{,}16\) ✔

Exercice 5

Un atelier fabrique des fenêtres. On sait que la probabilité qu'une fenêtre prise au hasard présente au moins un défaut (aspect ou cote hors tolérance) vaut 0,18.

Quel est l'événement contraire de « la fenêtre présente au moins un défaut » ?
Calculer la probabilité qu'une fenêtre n'ait aucun défaut.
Sur un lot de 200 fenêtres, combien environ n'ont aucun défaut ?

Mes calculs :

C'est « la fenêtre n'a aucun défaut ».
\(P(\text{aucun défaut}) = 1 - 0{,}18 = 0{,}82\)
\(0{,}82 \times 200 = 164\) : environ 164 fenêtres n'ont aucun défaut.

Exercice 6

Un chantier de plomberie utilise 200 tubes : 150 en cuivre, 30 en PER et 20 en multicouche. On prend un tube au hasard.

Calculer la probabilité de prendre un tube en PER.
Calculer, avec l'événement contraire, la probabilité que le tube ne soit pas en cuivre.
Vérifier en comptant directement les tubes qui ne sont pas en cuivre.

Mes calculs :

\(P(\text{PER}) = \dfrac{30}{200} = 0{,}15\)
\(P(\text{cuivre}) = \dfrac{150}{200} = 0{,}75\), donc \(P(\overline{\text{cuivre}}) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\)
Tubes qui ne sont pas en cuivre : \(30 + 20 = 50\). \(\dfrac{50}{200} = 0{,}25\) ✔

C3 — Calculer la probabilité de la réunion d'événements incompatibles

Rappel de cours

Deux événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Dans ce cas : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

Exercice 7

Un maraîcher livre 80 cagettes de fruits : 30 de pommes, 25 de poires et 25 de pêches. On prélève une cagette au hasard.

Calculer la probabilité de tirer une cagette de pommes.
Calculer la probabilité de tirer une cagette de poires.
Calculer la probabilité de tirer une cagette de pommes ou de poires. Justifier la méthode.

Mes calculs :

\(P(\text{pommes}) = \dfrac{30}{80} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375\)
\(P(\text{poires}) = \dfrac{25}{80} = \dfrac{5}{16} = 0{,}3125\)
Les événements « pommes » et « poires » sont incompatibles (une cagette ne contient qu'un type de fruit dans ce classement) : on additionne les probabilités.
\(P(\text{pommes} \cup \text{poires}) = \dfrac{30}{80} + \dfrac{25}{80} = \dfrac{55}{80} = \dfrac{11}{16} = 0{,}6875\)

Exercice 8

Un dépôt de menuiserie stocke 120 plaques : 45 en mélaminé, 30 en contreplaqué, 25 en MDF et 20 en aggloméré. On prend une plaque au hasard.

Calculer la probabilité que la plaque soit en mélaminé ou en contreplaqué.
Calculer la probabilité que la plaque soit en MDF ou en aggloméré.
Quelle relation y a-t-il entre les deux résultats ? Pourquoi ?

Mes calculs :

Une plaque n'a qu'un seul matériau : les événements sont incompatibles. \(P = \dfrac{45}{120} + \dfrac{30}{120} = \dfrac{75}{120} = 0{,}625\)
\(P = \dfrac{25}{120} + \dfrac{20}{120} = \dfrac{45}{120} = 0{,}375\)
Les deux résultats ont pour somme \(0{,}625 + 0{,}375 = 1\) : les deux événements sont contraires l'un de l'autre, car chaque plaque est dans l'un des deux groupes et dans un seul.

Exercice 9

Une entreprise de menuiserie livre ses commandes. La probabilité qu'une commande soit livrée en 24 h vaut 0,35 ; la probabilité qu'elle soit livrée en 48 h vaut 0,40.

Pourquoi les événements « livrée en 24 h » et « livrée en 48 h » sont-ils incompatibles ?
Calculer la probabilité qu'une commande soit livrée en 24 h ou en 48 h.
On sait que la probabilité d'une livraison en 24 h, 48 h ou 72 h vaut 0,90. Calculer la probabilité d'une livraison en 72 h.

Mes calculs :

Une commande n'a qu'un seul délai de livraison : elle ne peut pas être livrée à la fois en 24 h et en 48 h.
\(P(24\text{ h} \cup 48\text{ h}) = 0{,}35 + 0{,}40 = 0{,}75\)
Les trois événements sont incompatibles : \(0{,}75 + P(72\text{ h}) = 0{,}90\), donc \(P(72\text{ h}) = 0{,}90 - 0{,}75 = 0{,}15\).

C4 — Compléter et exploiter des tableaux croisés d'effectifs

Rappel de cours

Un tableau croisé d'effectifs (ou tableau à double entrée) croise deux caractères. Les totaux en ligne et en colonne permettent de reconstituer les effectifs manquants. On peut ensuite calculer des probabilités en divisant chaque effectif par l'effectif total.

Tableau croisé d’effectifs

Exercice 10

Une entreprise de livraison classe 100 colis selon le délai et la destination :

	Zone locale	Hors zone	Total
Express	35	?	55
Standard	?	30	?
Total	?	50	100

Compléter le tableau.
On choisit un colis au hasard. Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'une livraison standard en zone locale.
Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'une livraison hors zone.

Mes calculs :

Express hors zone : \(55 - 35 = 20\)
Total zone locale : \(100 - 50 = 50\)
Standard en zone locale : \(50 - 35 = 15\)
Total standard : \(15 + 30 = 45\)

Zone locale Hors zone Total

Express 35 20 55

Standard 15 30 45

Total 50 50 100
\(P(\text{standard et zone locale}) = \dfrac{15}{100} = 0{,}15\)
\(P(\text{hors zone}) = \dfrac{50}{100} = 0{,}50\)

Exercice 11

Une enquête porte sur 200 salariés du numérique, classés selon leur expérience et leur spécialité :

	Support	Développement	Données	Total
Moins de 5 ans	30	20	10	?
5 à 15 ans	35	25	20	?
Plus de 15 ans	?	?	?	?
Total	80	60	60	200

Compléter le tableau.
On interroge un salarié au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit spécialisé en support ?
Quelle est la probabilité qu'il ait moins de 5 ans d'expérience ?

Mes calculs :

Moins de 5 ans total : \(30 + 20 + 10 = 60\)
5 à 15 ans total : \(35 + 25 + 20 = 80\)
Plus de 15 ans total : \(200 - 60 - 80 = 60\)
Plus de 15 ans en support : \(80 - 30 - 35 = 15\)
Plus de 15 ans en développement : \(60 - 20 - 25 = 15\)
Plus de 15 ans en données : \(60 - 10 - 20 = 30\)

Support Développement Données Total

Moins de 5 ans 30 20 10 60

5 à 15 ans 35 25 20 80

Plus de 15 ans 15 15 30 60

Total 80 60 60 200
\(P(\text{support}) = \dfrac{80}{200} = 0{,}40\)
\(P(\text{moins de 5 ans}) = \dfrac{60}{200} = 0{,}30\)

	Support	Développement	Données	Total
Moins de 5 ans	30	20	10	60
5 à 15 ans	35	25	20	80
Plus de 15 ans	15	15	30	60
Total	80	60	60	200

Exercice 12

Un grand magasin classe ses 150 clients du mois selon le type d'achat et le mode de paiement :

	Carte bancaire	Espèces	Chèque	Total
Vêtements	40	15	5	60
Livres	30	20	10	60
Électronique	15	10	5	30
Total	85	45	20	150

On choisit un client au hasard.

Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un produit électronique ?
Quelle est la probabilité qu'il ait payé par carte bancaire ?
Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un vêtement et payé en espèces ?

Mes calculs :

\(P(\text{électronique}) = \dfrac{30}{150} = \dfrac{1}{5} = 0{,}20\)
\(P(\text{CB}) = \dfrac{85}{150} = \dfrac{17}{30} \approx 0{,}567\)
\(P(\text{vêtement} \cap \text{espèces}) = \dfrac{15}{150} = \dfrac{1}{10} = 0{,}10\)

C5 — Calculer \(P(A \cup B)\) et \(P(A \cap B)\) ; utiliser la formule

Rappel de cours

Pour deux événements \(A\) et \(B\) quelconques :
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\] \(A \cup B\) signifie « \(A\) ou \(B\) » (au moins l'un des deux).
\(A \cap B\) signifie « \(A\) et \(B\) » (les deux simultanément).
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles : \(P(A \cap B) = 0\), donc \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

Diagramme de Venn : A, B et A∩B

Exercice 13

Dans une entreprise de services numériques de 80 employés :

\(A\) = « l'employé maîtrise un tableur » : \(P(A) = 0{,}60\)
\(B\) = « l'employé maîtrise un logiciel de CAO » : \(P(B) = 0{,}45\)
\(P(A \cap B) = 0{,}25\) (maîtrise les deux)

Calculer \(P(A \cup B)\).
Interpréter le résultat.
Calculer la probabilité qu'un employé ne maîtrise ni l'un ni l'autre.

Mes calculs :

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}60 + 0{,}45 - 0{,}25 = 0{,}80\)
80 % des employés maîtrisent au moins un des deux outils (tableur ou logiciel de CAO).
\(P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}80 = 0{,}20\).
20 % des employés ne maîtrisent ni le tableur ni le logiciel de CAO.

Exercice 14

Un contrôle qualité sur 100 pièces automobiles donne :

	Défaut de dimension	Pas de défaut de dimension	Total
Défaut de surface	5	10	15
Pas de défaut de surface	8	77	85
Total	13	87	100

Soit \(A\) = « défaut de surface » et \(B\) = « défaut de dimension ».

Déterminer \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A \cap B)\).
Calculer \(P(A \cup B)\) avec la formule.
Vérifier en comptant directement dans le tableau.

Mes calculs :

\(P(A) = \dfrac{15}{100} = 0{,}15\) ; \(P(B) = \dfrac{13}{100} = 0{,}13\) ; \(P(A \cap B) = \dfrac{5}{100} = 0{,}05\)
\(P(A \cup B) = 0{,}15 + 0{,}13 - 0{,}05 = 0{,}23\)
Nombre de pièces ayant au moins un défaut : \(5 + 10 + 8 = 23\).
\(P(A \cup B) = \dfrac{23}{100} = 0{,}23\) ✔

Exercice 15

Dans une entreprise de logistique, on sait que :

\(P(A) = 0{,}35\) (l'employé travaille de nuit)
\(P(B) = 0{,}50\) (l'employé possède une habilitation de conduite)
\(P(A \cup B) = 0{,}65\)

Calculer \(P(A \cap B)\).
Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils incompatibles ? Justifier.

Mes calculs :

D'après la formule : \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}35 + 0{,}50 - 0{,}65 = 0{,}20\)
\(P(A \cap B) = 0{,}20 \neq 0\), donc \(A\) et \(B\) ne sont pas incompatibles. Il existe des employés qui travaillent de nuit et possèdent une habilitation de conduite (20 % d'entre eux).

C6 — Calculer des fréquences conditionnelles à partir de tableaux croisés

Rappel de cours

La fréquence conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est la proportion d'individus vérifiant \(B\) parmi ceux qui vérifient déjà \(A\). On la calcule en divisant l'effectif de \(A \cap B\) par l'effectif de \(A\). C'est une lecture « en ligne » ou « en colonne » du tableau croisé.

Tableau croisé d’effectifs

Exercice 16

Reprenons le tableau de l'exercice 10 :

	Zone locale	Hors zone	Total
Express	35	20	55
Standard	15	30	45
Total	50	50	100

Parmi les livraisons express, quelle est la fréquence de celles en zone locale ?
Parmi les livraisons hors zone, quelle est la fréquence de celles en standard ?
Parmi les livraisons standard, quelle est la fréquence de celles hors zone ?

Mes calculs :

Fréquence de « zone locale » parmi les livraisons express : \(\dfrac{35}{55} = \dfrac{7}{11} \approx 0{,}636\), soit environ 63,6 %.
Fréquence de « standard » parmi les livraisons hors zone : \(\dfrac{30}{50} = 0{,}60\), soit 60 %.
Fréquence de « hors zone » parmi les livraisons standard : \(\dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667\), soit environ 66,7 %.

Exercice 17

Une médiathèque emploie 60 personnes réparties ainsi :

	CDI	CDD	Total
Accueil	20	10	30
Gestion documentaire	18	12	30
Total	38	22	60

Quelle est la fréquence des CDI parmi le personnel d'accueil ?
Quelle est la fréquence des CDD parmi le personnel de gestion documentaire ?
Les deux services ont-ils la même proportion de CDI ?

Mes calculs :

Fréquence des CDI parmi le personnel d'accueil : \(\dfrac{20}{30} \approx 0{,}667\), soit environ 66,7 %.
Fréquence des CDD parmi le personnel de gestion documentaire : \(\dfrac{12}{30} = 0{,}40\), soit 40 %.
Fréquence des CDI en gestion documentaire : \(\dfrac{18}{30} = 0{,}60\), soit 60 %. Les deux services n'ont pas la même proportion de CDI (66,7 % à l'accueil contre 60 % en gestion documentaire).

Exercice 18

Une plateforme de commerce en ligne classe 200 commandes selon leur montant et le type de clientèle :

	Particuliers	Professionnels	Total
Petite commande (< 50 €)	60	20	80
Moyenne (50–200 €)	30	40	70
Grosse (> 200 €)	10	40	50
Total	100	100	200

Parmi les professionnels, quelle est la fréquence des grosses commandes ?
Parmi les particuliers, quelle est la fréquence des petites commandes ?
Comparer les profils de commande des particuliers et des professionnels.

Mes calculs :

Fréquence grosse commande parmi les professionnels : \(\dfrac{40}{100} = 0{,}40\), soit 40 %.
Fréquence petite commande parmi les particuliers : \(\dfrac{60}{100} = 0{,}60\), soit 60 %.
Les profils sont très différents : les particuliers font majoritairement de petites commandes (60 %) alors que les professionnels font surtout des commandes moyennes (40 %) ou grosses (40 %). Seulement 20 % des commandes professionnelles sont petites, contre 60 % chez les particuliers.

C7 — Déterminer une probabilité conditionnelle

Rappel de cours

La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est :
\[P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad \text{avec } P(A) \neq 0\] Elle correspond à la probabilité que \(B\) se réalise sachant que \(A\) est déjà réalisé. En pratique, on la calcule souvent à partir d'un tableau croisé d'effectifs : c'est la fréquence conditionnelle interprétée comme une probabilité.

Tableau croisé d’effectifs

Exercice 19

Reprenons le tableau de l'exercice 14 (contrôle qualité sur 100 pièces automobiles) :

	Défaut de dimension	Pas de défaut de dimension	Total
Défaut de surface	5	10	15
Pas de défaut de surface	8	77	85
Total	13	87	100

Soit \(A\) = « défaut de surface » et \(B\) = « défaut de dimension ».

Calculer \(P_A(B)\) (probabilité d'un défaut de dimension sachant qu'il y a un défaut de surface).
Calculer \(P_B(A)\) (probabilité d'un défaut de surface sachant qu'il y a un défaut de dimension).
A-t-on \(P_A(B) = P_B(A)\) ? Commenter.

Mes calculs :

\(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{5/100}{15/100} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\)
Parmi les pièces ayant un défaut de surface, un tiers ont aussi un défaut de dimension.
\(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{5/100}{13/100} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}385\)
Parmi les pièces ayant un défaut de dimension, environ 38,5 % ont aussi un défaut de surface.
Non, \(P_A(B) \neq P_B(A)\) en général. L'ordre compte : « B sachant A » et « A sachant B » sont des probabilités différentes.

Exercice 20

Dans une formation professionnelle, on classe 120 stagiaires :

	Réussite à l'examen	Échec	Total
Stage en entreprise effectué	70	10	80
Stage non effectué	20	20	40
Total	90	30	120

Soit \(S\) = « stage effectué » et \(R\) = « réussite ».

Calculer \(P_S(R)\) : probabilité de réussir sachant que le stage a été effectué.
Calculer \(P_{\bar{S}}(R)\) : probabilité de réussir sachant que le stage n'a pas été effectué.
Comparer les taux de réussite selon que le stage a été effectué ou non. Peut-on en déduire à lui seul un effet causal du stage ?

Mes calculs :

\(P_S(R) = \dfrac{70}{80} = 0{,}875\), soit 87,5 %.
\(P_{\bar{S}}(R) = \dfrac{20}{40} = 0{,}50\), soit 50 %.
Dans ces données, le taux de réussite est plus élevé parmi les stagiaires ayant effectué le stage : 87,5 % contre 50 %, soit un écart de 37,5 points. Cela montre une association, mais ne prouve pas à lui seul que le stage cause l'écart : les deux groupes peuvent différer par d'autres caractéristiques.

Exercice 21

On sait que dans un lot de 200 pommes : \(P(A) = 0{,}30\) (pomme issue de l'agriculture biologique) et \(P(A \cap B) = 0{,}12\) (pomme biologique et de catégorie 1).

Calculer \(P_A(B)\) : probabilité qu'une pomme soit de catégorie 1 sachant qu'elle est biologique.
Si \(P(B) = 0{,}45\), calculer \(P_B(A)\).
Les pommes biologiques sont-elles davantage représentées parmi les pommes de catégorie 1 que dans l'ensemble du lot ?

Mes calculs :

\(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}30} = 0{,}40\).
Parmi les pommes biologiques, 40 % sont de catégorie 1.
\(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}45} = \dfrac{12}{45} = \dfrac{4}{15} \approx 0{,}267\).
Parmi les pommes de catégorie 1, environ 26,7 % sont biologiques.
Dans l'ensemble du lot, les pommes biologiques représentent 30 %. Parmi les pommes de catégorie 1, elles représentent 26,7 %. Elles sont donc légèrement sous-représentées dans cette catégorie.