Remarque : les arbres de probabilités pondérés et la formule des probabilités totales sont hors programme en Première (reportés en Terminale).
C1 — Calculer la probabilité d'un événement
Rappel de cours
Dans un univers fini \(\Omega\), la probabilité d'un événement \(A\) est la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent \(A\). Si les issues sont équiprobables : \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}\). On a \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Exercice 1
Un lot de 50 pièces d'agencement sort d'un atelier de menuiserie. Le contrôle qualité révèle : 42 pièces conformes, 5 avec un défaut mineur et 3 avec un défaut majeur. On tire une pièce au hasard.
Quelle est la probabilité de tirer une pièce conforme ?
Quelle est la probabilité de tirer une pièce défectueuse (mineure ou majeure) ?
Vérifier en utilisant la probabilité de l'événement contraire.
\(P(\text{conforme}) = \dfrac{42}{50} = 0{,}84\)
Les événements « défaut mineur » et « défaut majeur » sont incompatibles (une pièce ne peut avoir les deux à la fois dans ce classement).
\(P(\text{défectueuse}) = P(\text{mineur}) + P(\text{majeur}) = \dfrac{5}{50} + \dfrac{3}{50} = \dfrac{8}{50} = 0{,}16\)
Un fournisseur livre des panneaux de bois en trois essences : chêne, hêtre et pin. Sur une livraison de 80 panneaux, 30 sont en chêne, 25 en hêtre et 25 en pin. On prélève un panneau au hasard.
Calculer la probabilité de tirer un panneau en chêne.
Calculer la probabilité de ne pas tirer un panneau en pin.
Calculer la probabilité de tirer un panneau en chêne ou en hêtre.
Les événements « chêne » et « hêtre » sont incompatibles (un panneau est d'une seule essence).
\(P(\text{chêne} \cup \text{hêtre}) = \dfrac{30}{80} + \dfrac{25}{80} = \dfrac{55}{80} = \dfrac{11}{16} = 0{,}6875\)
Exercice 3
Un dé à 6 faces est truqué. Les probabilités sont : \(P(1) = P(2) = P(3) = 0{,}1\) ; \(P(4) = 0{,}2\) ; \(P(5) = 0{,}2\) ; \(P(6) = 0{,}3\).
Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
Calculer \(P(\text{obtenir un nombre pair})\).
Calculer \(P(\text{obtenir un nombre } \geqslant 4)\).
C2 — Compléter et exploiter des tableaux croisés d'effectifs
Rappel de cours
Un tableau croisé d'effectifs (ou tableau à double entrée) croise deux caractères. Les totaux en ligne et en colonne permettent de reconstituer les effectifs manquants. On peut ensuite calculer des probabilités en divisant chaque effectif par l'effectif total.
Tableau croisé d’effectifs
Exercice 4
Un atelier de menuiserie fabrique des portes et des fenêtres, en bois ou en PVC. Les données sont :
Bois
PVC
Total
Portes
35
?
55
Fenêtres
?
30
?
Total
?
50
100
Compléter le tableau.
On choisit un article au hasard. Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'une fenêtre en bois.
Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'un article en PVC.
Portes PVC : \(55 - 35 = 20\)
Total Bois : \(100 - 50 = 50\)
Fenêtres Bois : \(50 - 35 = 15\)
Total Fenêtres : \(15 + 30 = 45\)
Bois
PVC
Total
Portes
35
20
55
Fenêtres
15
30
45
Total
50
50
100
\(P(\text{fenêtre en bois}) = \dfrac{15}{100} = 0{,}15\)
\(P(\text{PVC}) = \dfrac{50}{100} = 0{,}50\)
Exercice 5
Une enquête porte sur 200 menuisiers-agenceurs, classés selon leur expérience et leur spécialité :
Agencement
Charpente
Ébénisterie
Total
Moins de 5 ans
30
20
10
?
5 à 15 ans
35
25
20
?
Plus de 15 ans
?
?
?
?
Total
80
60
60
200
Compléter le tableau.
On interroge un menuisier au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit spécialisé en agencement ?
Quelle est la probabilité qu'il ait moins de 5 ans d'expérience ?
Moins de 5 ans total : \(30 + 20 + 10 = 60\)
5 à 15 ans total : \(35 + 25 + 20 = 80\)
Plus de 15 ans total : \(200 - 60 - 80 = 60\)
Plus de 15 ans agencement : \(80 - 30 - 35 = 15\)
Plus de 15 ans charpente : \(60 - 20 - 25 = 15\)
Plus de 15 ans ébénisterie : \(60 - 10 - 20 = 30\)
C3 — Calculer \(P(A \cup B)\) et \(P(A \cap B)\) ; utiliser la formule
Rappel de cours
Pour deux événements \(A\) et \(B\) quelconques :
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
\(A \cup B\) signifie « \(A\) ou \(B\) » (au moins l'un des deux).
\(A \cap B\) signifie « \(A\) et \(B\) » (les deux simultanément).
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles : \(P(A \cap B) = 0\), donc \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Diagramme de Venn : A, B et A∩B
Exercice 7
Dans un atelier de menuiserie de 80 employés :
\(A\) = « l'employé maîtrise le travail du bois massif » : \(P(A) = 0{,}60\)
\(B\) = « l'employé maîtrise le travail du stratifié » : \(P(B) = 0{,}45\)
\(P(A \cap B) = 0{,}25\) (maîtrise les deux)
Calculer \(P(A \cup B)\).
Interpréter le résultat.
Calculer la probabilité qu'un employé ne maîtrise ni l'un ni l'autre.
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}60 + 0{,}45 - 0{,}25 = 0{,}80\)
80 % des employés maîtrisent au moins un des deux matériaux (bois massif ou stratifié).
\(P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}80 = 0{,}20\).
20 % des employés ne maîtrisent ni le bois massif ni le stratifié.
Exercice 8
Un contrôle qualité sur 100 pièces d'agencement donne :
Défaut de coupe
Pas de défaut de coupe
Total
Défaut de finition
5
10
15
Pas de défaut de finition
8
77
85
Total
13
87
100
Soit \(A\) = « défaut de finition » et \(B\) = « défaut de coupe ».
Nombre de pièces ayant au moins un défaut : \(5 + 10 + 8 = 23\).
\(P(A \cup B) = \dfrac{23}{100} = 0{,}23\) ✔
Exercice 9
Dans une entreprise de menuiserie, on sait que :
\(P(A) = 0{,}35\) (l'employé travaille sur chantier)
\(P(B) = 0{,}50\) (l'employé a le permis de conduire)
\(P(A \cup B) = 0{,}65\)
Calculer \(P(A \cap B)\).
Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils incompatibles ? Justifier.
D'après la formule : \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}35 + 0{,}50 - 0{,}65 = 0{,}20\)
\(P(A \cap B) = 0{,}20 \neq 0\), donc \(A\) et \(B\) ne sont pas incompatibles. Il existe des employés qui travaillent sur chantier et qui ont le permis (20 % d'entre eux).
C4 — Calculer des fréquences conditionnelles à partir de tableaux croisés
Rappel de cours
La fréquence conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est la proportion d'individus vérifiant \(B\) parmi ceux qui vérifient déjà \(A\). On la calcule en divisant l'effectif de \(A \cap B\) par l'effectif de \(A\). C'est une lecture « en ligne » ou « en colonne » du tableau croisé.
Tableau croisé d’effectifs
Exercice 10
Reprenons le tableau de l'exercice 4 :
Bois
PVC
Total
Portes
35
20
55
Fenêtres
15
30
45
Total
50
50
100
Parmi les portes, quelle est la fréquence de celles en bois ?
Parmi les articles en PVC, quelle est la fréquence des fenêtres ?
Parmi les fenêtres, quelle est la fréquence de celles en PVC ?
Fréquence de « bois » parmi les portes : \(\dfrac{35}{55} = \dfrac{7}{11} \approx 0{,}636\), soit environ 63,6 %.
Fréquence de « fenêtres » parmi les PVC : \(\dfrac{30}{50} = 0{,}60\), soit 60 %.
Fréquence de « PVC » parmi les fenêtres : \(\dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667\), soit environ 66,7 %.
Exercice 11
Un atelier d'agencement emploie 60 personnes réparties ainsi :
CDI
CDD
Total
Pose
20
10
30
Fabrication
18
12
30
Total
38
22
60
Quelle est la fréquence des CDI parmi le personnel de pose ?
Quelle est la fréquence des CDD parmi le personnel de fabrication ?
Les deux services ont-ils la même proportion de CDI ?
Fréquence CDI parmi pose : \(\dfrac{20}{30} \approx 0{,}667\), soit environ 66,7 %.
Fréquence CDD parmi fabrication : \(\dfrac{12}{30} = 0{,}40\), soit 40 %.
Fréquence CDI parmi fabrication : \(\dfrac{18}{30} = 0{,}60\), soit 60 %. Les deux services n'ont pas la même proportion de CDI (66,7 % en pose contre 60 % en fabrication).
Exercice 12
Un grossiste en quincaillerie classe 200 commandes selon la taille et la provenance :
Particuliers
Professionnels
Total
Petite commande (< 50 €)
60
20
80
Moyenne (50–200 €)
30
40
70
Grosse (> 200 €)
10
40
50
Total
100
100
200
Parmi les professionnels, quelle est la fréquence des grosses commandes ?
Parmi les particuliers, quelle est la fréquence des petites commandes ?
Comparer les profils de commande des particuliers et des professionnels.
Fréquence grosse commande parmi les professionnels : \(\dfrac{40}{100} = 0{,}40\), soit 40 %.
Fréquence petite commande parmi les particuliers : \(\dfrac{60}{100} = 0{,}60\), soit 60 %.
Les profils sont très différents : les particuliers font majoritairement de petites commandes (60 %) alors que les professionnels font surtout des commandes moyennes (40 %) ou grosses (40 %). Seulement 20 % des commandes professionnelles sont petites, contre 60 % chez les particuliers.
C5 — Déterminer une probabilité conditionnelle
Rappel de cours
La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est :
\[P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad \text{avec } P(A) \neq 0\]
Elle correspond à la probabilité que \(B\) se réalise sachant que \(A\) est déjà réalisé. En pratique, on la calcule souvent à partir d'un tableau croisé d'effectifs : c'est la fréquence conditionnelle interprétée comme une probabilité.
Tableau croisé d’effectifs
Exercice 13
Reprenons le tableau de l'exercice 8 (contrôle qualité sur 100 pièces) :
Défaut de coupe
Pas de défaut de coupe
Total
Défaut de finition
5
10
15
Pas de défaut de finition
8
77
85
Total
13
87
100
Soit \(A\) = « défaut de finition » et \(B\) = « défaut de coupe ».
Calculer \(P_A(B)\) (probabilité d'un défaut de coupe sachant qu'il y a un défaut de finition).
Calculer \(P_B(A)\) (probabilité d'un défaut de finition sachant qu'il y a un défaut de coupe).
A-t-on \(P_A(B) = P_B(A)\) ? Commenter.
\(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{5/100}{15/100} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\)
Parmi les pièces ayant un défaut de finition, un tiers ont aussi un défaut de coupe.
\(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{5/100}{13/100} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}385\)
Parmi les pièces ayant un défaut de coupe, environ 38,5 % ont aussi un défaut de finition.
Non, \(P_A(B) \neq P_B(A)\) en général. L'ordre compte : « B sachant A » et « A sachant B » sont des probabilités différentes.
Exercice 14
Dans une formation de menuisiers-agenceurs, on classe 120 stagiaires :
Réussite à l'examen
Échec
Total
Stage en entreprise effectué
70
10
80
Stage non effectué
20
20
40
Total
90
30
120
Soit \(S\) = « stage effectué » et \(R\) = « réussite ».
Calculer \(P_S(R)\) : probabilité de réussir sachant que le stage a été effectué.
Calculer \(P_{\bar{S}}(R)\) : probabilité de réussir sachant que le stage n'a pas été effectué.
Le stage semble-t-il avoir un impact sur la réussite ?
\(P_S(R) = \dfrac{70}{80} = 0{,}875\), soit 87,5 %.
\(P_{\bar{S}}(R) = \dfrac{20}{40} = 0{,}50\), soit 50 %.
Oui, le stage semble avoir un impact positif : le taux de réussite passe de 50 % (sans stage) à 87,5 % (avec stage). Les stagiaires ayant effectué leur stage réussissent nettement mieux.
Exercice 15
On sait que dans un lot de 200 pièces : \(P(A) = 0{,}30\) (pièce en chêne) et \(P(A \cap B) = 0{,}12\) (pièce en chêne et de première qualité).
Calculer \(P_A(B)\) : probabilité qu'une pièce soit de première qualité sachant qu'elle est en chêne.
Si \(P(B) = 0{,}45\), calculer \(P_B(A)\).
Le chêne est-il davantage représenté parmi les pièces de première qualité que dans l'ensemble du lot ?
\(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}30} = 0{,}40\).
Parmi les pièces en chêne, 40 % sont de première qualité.
\(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}45} = \dfrac{12}{45} = \dfrac{4}{15} \approx 0{,}267\).
Parmi les pièces de première qualité, environ 26,7 % sont en chêne.
Dans l'ensemble du lot, le chêne représente 30 %. Parmi les pièces de première qualité, il représente 26,7 %. Le chêne est donc légèrement sous-représenté parmi les premières qualités.