Remarque : les arbres de probabilités pondérés et la formule des probabilités totales sont hors programme en Première (reportés en Terminale).
C1 — Calculer la probabilité d'un événement
Rappel de cours
Dans un univers fini \(\Omega\), la probabilité d'un événement \(A\) est la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent \(A\). Si les issues sont équiprobables : \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}\). On a \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Exercice 1
Un lot de 50 composants électroniques sort d'une ligne de production. Le contrôle qualité révèle : 42 composants conformes, 5 avec un défaut mineur et 3 avec un défaut majeur. On tire un composant au hasard.
Quelle est la probabilité de tirer un composant conforme ?
Quelle est la probabilité de tirer un composant défectueux (défaut mineur ou majeur) ?
Vérifier en utilisant la probabilité de l'événement contraire.
\(P(\text{conforme}) = \dfrac{42}{50} = 0{,}84\)
Les événements « défaut mineur » et « défaut majeur » sont incompatibles (un composant ne peut avoir les deux à la fois dans ce classement).
\(P(\text{défectueuse}) = P(\text{mineur}) + P(\text{majeur}) = \dfrac{5}{50} + \dfrac{3}{50} = \dfrac{8}{50} = 0{,}16\)
Les événements « pommes » et « poires » sont incompatibles (une cagette ne contient qu'un type de fruit dans ce classement).
\(P(\text{pommes} \cup \text{poires}) = \dfrac{30}{80} + \dfrac{25}{80} = \dfrac{55}{80} = \dfrac{11}{16} = 0{,}6875\)
Exercice 3
Un dé à 6 faces est truqué. Les probabilités sont : \(P(1) = P(2) = P(3) = 0{,}1\) ; \(P(4) = 0{,}2\) ; \(P(5) = 0{,}2\) ; \(P(6) = 0{,}3\).
Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
Calculer \(P(\text{obtenir un nombre pair})\).
Calculer \(P(\text{obtenir un nombre } \geqslant 4)\).
C2 — Compléter et exploiter des tableaux croisés d'effectifs
Rappel de cours
Un tableau croisé d'effectifs (ou tableau à double entrée) croise deux caractères. Les totaux en ligne et en colonne permettent de reconstituer les effectifs manquants. On peut ensuite calculer des probabilités en divisant chaque effectif par l'effectif total.
Tableau croisé d’effectifs
Exercice 4
Une entreprise de livraison classe 100 colis selon le délai et la destination :
Zone locale
Hors zone
Total
Express
35
?
55
Standard
?
30
?
Total
?
50
100
Compléter le tableau.
On choisit un colis au hasard. Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'une livraison standard en zone locale.
Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'une livraison hors zone.
Express hors zone : \(55 - 35 = 20\)
Total zone locale : \(100 - 50 = 50\)
Standard en zone locale : \(50 - 35 = 15\)
Total standard : \(15 + 30 = 45\)
Zone locale
Hors zone
Total
Express
35
20
55
Standard
15
30
45
Total
50
50
100
\(P(\text{standard et zone locale}) = \dfrac{15}{100} = 0{,}15\)
Une enquête porte sur 200 salariés du numérique, classés selon leur expérience et leur spécialité :
Support
Développement
Données
Total
Moins de 5 ans
30
20
10
?
5 à 15 ans
35
25
20
?
Plus de 15 ans
?
?
?
?
Total
80
60
60
200
Compléter le tableau.
On interroge un salarié au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit spécialisé en support ?
Quelle est la probabilité qu'il ait moins de 5 ans d'expérience ?
Moins de 5 ans total : \(30 + 20 + 10 = 60\)
5 à 15 ans total : \(35 + 25 + 20 = 80\)
Plus de 15 ans total : \(200 - 60 - 80 = 60\)
Plus de 15 ans en support : \(80 - 30 - 35 = 15\)
Plus de 15 ans en développement : \(60 - 20 - 25 = 15\)
Plus de 15 ans en données : \(60 - 10 - 20 = 30\)
Support
Développement
Données
Total
Moins de 5 ans
30
20
10
60
5 à 15 ans
35
25
20
80
Plus de 15 ans
15
15
30
60
Total
80
60
60
200
\(P(\text{support}) = \dfrac{80}{200} = 0{,}40\)
\(P(\text{moins de 5 ans}) = \dfrac{60}{200} = 0{,}30\)
Exercice 6
Un grand magasin classe ses 150 clients du mois selon le type d'achat et le mode de paiement :
Carte bancaire
Espèces
Chèque
Total
Vêtements
40
15
5
60
Livres
30
20
10
60
Électronique
15
10
5
30
Total
85
45
20
150
On choisit un client au hasard.
Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un produit électronique ?
Quelle est la probabilité qu'il ait payé par carte bancaire ?
Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un vêtement et payé en espèces ?
C3 — Calculer \(P(A \cup B)\) et \(P(A \cap B)\) ; utiliser la formule
Rappel de cours
Pour deux événements \(A\) et \(B\) quelconques :
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
\(A \cup B\) signifie « \(A\) ou \(B\) » (au moins l'un des deux).
\(A \cap B\) signifie « \(A\) et \(B\) » (les deux simultanément).
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles : \(P(A \cap B) = 0\), donc \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Diagramme de Venn : A, B et A∩B
Exercice 7
Dans une entreprise de services numériques de 80 employés :
Nombre de pièces ayant au moins un défaut : \(5 + 10 + 8 = 23\).
\(P(A \cup B) = \dfrac{23}{100} = 0{,}23\) ✔
Exercice 9
Dans une entreprise de logistique, on sait que :
\(P(A) = 0{,}35\) (l'employé travaille de nuit)
\(P(B) = 0{,}50\) (l'employé possède une habilitation de conduite)
\(P(A \cup B) = 0{,}65\)
Calculer \(P(A \cap B)\).
Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils incompatibles ? Justifier.
D'après la formule : \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}35 + 0{,}50 - 0{,}65 = 0{,}20\)
\(P(A \cap B) = 0{,}20 \neq 0\), donc \(A\) et \(B\) ne sont pas incompatibles. Il existe des employés qui travaillent de nuit et possèdent une habilitation de conduite (20 % d'entre eux).
C4 — Calculer des fréquences conditionnelles à partir de tableaux croisés
Rappel de cours
La fréquence conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est la proportion d'individus vérifiant \(B\) parmi ceux qui vérifient déjà \(A\). On la calcule en divisant l'effectif de \(A \cap B\) par l'effectif de \(A\). C'est une lecture « en ligne » ou « en colonne » du tableau croisé.
Tableau croisé d’effectifs
Exercice 10
Reprenons le tableau de l'exercice 4 :
Zone locale
Hors zone
Total
Express
35
20
55
Standard
15
30
45
Total
50
50
100
Parmi les livraisons express, quelle est la fréquence de celles en zone locale ?
Parmi les livraisons hors zone, quelle est la fréquence de celles en standard ?
Parmi les livraisons standard, quelle est la fréquence de celles hors zone ?
Fréquence de « zone locale » parmi les livraisons express : \(\dfrac{35}{55} = \dfrac{7}{11} \approx 0{,}636\), soit environ 63,6 %.
Fréquence de « standard » parmi les livraisons hors zone : \(\dfrac{30}{50} = 0{,}60\), soit 60 %.
Fréquence de « hors zone » parmi les livraisons standard : \(\dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667\), soit environ 66,7 %.
Exercice 11
Une médiathèque emploie 60 personnes réparties ainsi :
CDI
CDD
Total
Accueil
20
10
30
Gestion documentaire
18
12
30
Total
38
22
60
Quelle est la fréquence des CDI parmi le personnel d'accueil ?
Quelle est la fréquence des CDD parmi le personnel de gestion documentaire ?
Les deux services ont-ils la même proportion de CDI ?
Fréquence des CDI parmi le personnel d'accueil : \(\dfrac{20}{30} \approx 0{,}667\), soit environ 66,7 %.
Fréquence des CDD parmi le personnel de gestion documentaire : \(\dfrac{12}{30} = 0{,}40\), soit 40 %.
Fréquence des CDI en gestion documentaire : \(\dfrac{18}{30} = 0{,}60\), soit 60 %. Les deux services n'ont pas la même proportion de CDI (66,7 % à l'accueil contre 60 % en gestion documentaire).
Exercice 12
Une plateforme de commerce en ligne classe 200 commandes selon leur montant et le type de clientèle :
Particuliers
Professionnels
Total
Petite commande (< 50 €)
60
20
80
Moyenne (50–200 €)
30
40
70
Grosse (> 200 €)
10
40
50
Total
100
100
200
Parmi les professionnels, quelle est la fréquence des grosses commandes ?
Parmi les particuliers, quelle est la fréquence des petites commandes ?
Comparer les profils de commande des particuliers et des professionnels.
Fréquence grosse commande parmi les professionnels : \(\dfrac{40}{100} = 0{,}40\), soit 40 %.
Fréquence petite commande parmi les particuliers : \(\dfrac{60}{100} = 0{,}60\), soit 60 %.
Les profils sont très différents : les particuliers font majoritairement de petites commandes (60 %) alors que les professionnels font surtout des commandes moyennes (40 %) ou grosses (40 %). Seulement 20 % des commandes professionnelles sont petites, contre 60 % chez les particuliers.
C5 — Déterminer une probabilité conditionnelle
Rappel de cours
La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est :
\[P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad \text{avec } P(A) \neq 0\]
Elle correspond à la probabilité que \(B\) se réalise sachant que \(A\) est déjà réalisé. En pratique, on la calcule souvent à partir d'un tableau croisé d'effectifs : c'est la fréquence conditionnelle interprétée comme une probabilité.
Tableau croisé d’effectifs
Exercice 13
Reprenons le tableau de l'exercice 8 (contrôle qualité sur 100 pièces automobiles) :
Défaut de dimension
Pas de défaut de dimension
Total
Défaut de surface
5
10
15
Pas de défaut de surface
8
77
85
Total
13
87
100
Soit \(A\) = « défaut de surface » et \(B\) = « défaut de dimension ».
Calculer \(P_A(B)\) (probabilité d'un défaut de dimension sachant qu'il y a un défaut de surface).
Calculer \(P_B(A)\) (probabilité d'un défaut de surface sachant qu'il y a un défaut de dimension).
A-t-on \(P_A(B) = P_B(A)\) ? Commenter.
\(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{5/100}{15/100} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\)
Parmi les pièces ayant un défaut de surface, un tiers ont aussi un défaut de dimension.
\(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{5/100}{13/100} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}385\)
Parmi les pièces ayant un défaut de dimension, environ 38,5 % ont aussi un défaut de surface.
Non, \(P_A(B) \neq P_B(A)\) en général. L'ordre compte : « B sachant A » et « A sachant B » sont des probabilités différentes.
Exercice 14
Dans une formation professionnelle, on classe 120 stagiaires :
Réussite à l'examen
Échec
Total
Stage en entreprise effectué
70
10
80
Stage non effectué
20
20
40
Total
90
30
120
Soit \(S\) = « stage effectué » et \(R\) = « réussite ».
Calculer \(P_S(R)\) : probabilité de réussir sachant que le stage a été effectué.
Calculer \(P_{\bar{S}}(R)\) : probabilité de réussir sachant que le stage n'a pas été effectué.
Comparer les taux de réussite selon que le stage a été effectué ou non. Peut-on en déduire à lui seul un effet causal du stage ?
\(P_S(R) = \dfrac{70}{80} = 0{,}875\), soit 87,5 %.
\(P_{\bar{S}}(R) = \dfrac{20}{40} = 0{,}50\), soit 50 %.
Dans ces données, le taux de réussite est plus élevé parmi les stagiaires ayant effectué le stage : 87,5 % contre 50 %, soit un écart de 37,5 points. Cela montre une association, mais ne prouve pas à lui seul que le stage cause l'écart : les deux groupes peuvent différer par d'autres caractéristiques.
Exercice 15
On sait que dans un lot de 200 pommes : \(P(A) = 0{,}30\) (pomme issue de l'agriculture biologique) et \(P(A \cap B) = 0{,}12\) (pomme biologique et de catégorie 1).
Calculer \(P_A(B)\) : probabilité qu'une pomme soit de catégorie 1 sachant qu'elle est biologique.
Si \(P(B) = 0{,}45\), calculer \(P_B(A)\).
Les pommes biologiques sont-elles davantage représentées parmi les pommes de catégorie 1 que dans l'ensemble du lot ?
\(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}30} = 0{,}40\).
Parmi les pommes biologiques, 40 % sont de catégorie 1.
\(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}45} = \dfrac{12}{45} = \dfrac{4}{15} \approx 0{,}267\).
Parmi les pommes de catégorie 1, environ 26,7 % sont biologiques.
Dans l'ensemble du lot, les pommes biologiques représentent 30 %. Parmi les pommes de catégorie 1, elles représentent 26,7 %. Elles sont donc légèrement sous-représentées dans cette catégorie.