Probabilités | 1ère Bac Pro
Un menuisier agenceur reçoit un lot de 100 panneaux de bois. Après vérification, 8 panneaux sont défectueux et 92 panneaux sont conformes.
On choisit un panneau au hasard dans le lot.
1. APP Combien d'issues possibles y a-t-il ?
Aide : une issue = un panneau choisi.
2. REA Calculer la probabilité de l'événement \(D\) : « le panneau est défectueux ».
Aide : \(P(D) = \dfrac{\text{nombre de panneaux défectueux}}{\text{nombre total de panneaux}} = \dfrac{...}{...}\)
3. REA En déduire \(P(\bar{D})\), la probabilité que le panneau soit conforme.
Aide : \(P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - ... = ...\)
4. ANA Sur un lot de 500 panneaux, combien peut-on estimer de panneaux défectueux ?
Aide : nombre estimé = \(500 \times P(D) = 500 \times ... = ...\)
5. COM Le fournisseur garantit un taux de défaut inférieur à 10 %. Le lot est-il conforme à la garantie ? Justifier.
Un installateur thermique reçoit une livraison de 200 tubes en cuivre provenant de deux fournisseurs :
Étape 1 : APP Calculer les effectifs manquants et compléter le tableau sur votre copie.
Aide : 5 % de 140 = ... tubes défectueux chez A ; 10 % de 60 = ... tubes défectueux chez B.
| Défectueux (D) | Conforme (C) | Total | |
|---|---|---|---|
| Fournisseur A | …… | …… | 140 |
| Fournisseur B | …… | …… | 60 |
| Total | …… | …… | 200 |
Étape 2 : REA On choisit un tube au hasard. Calculer la probabilité qu'il vienne du fournisseur A et soit défectueux.
Aide : \(P(A \cap D) = \dfrac{\text{effectif de la case A-D}}{200}\)
Étape 3 : REA De même, calculer \(P(B \cap D)\).
Étape 4 : ANA En déduire la probabilité qu'un tube soit défectueux : \(P(D)\).
Aide : utiliser le total de la colonne D.
Étape 5 : REA Calculer \(P(\bar{D})\).
Étape 6 : VAL Vérifier que la somme des effectifs des 4 cases intérieures vaut bien 200.
Une usine fabrique des pièces métalliques sur deux lignes de production. Un contrôle qualité est effectué sur un lot de 500 pièces. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant.
| Conforme (C) | Défectueuse (D) | Total | |
|---|---|---|---|
| Ligne A | 252 | 28 | 280 |
| Ligne B | 198 | 22 | 220 |
| Total | 450 | 50 | 500 |
On choisit une pièce au hasard dans le lot. On note :
1. APP Déterminer \(P(A)\) et \(P(D)\).
2. REA Calculer \(P(A \cap D)\), la probabilité que la pièce provienne de la ligne A et soit défectueuse.
3. ANA Calculer \(P_A(D)\), la probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant qu'elle provient de la ligne A.
4. ANA Calculer de même \(P_B(D)\). Quelle ligne de production a le meilleur taux de conformité ?
5. COM Parmi les pièces défectueuses, quelle proportion provient de la ligne A ? Exprimer le résultat sous forme de probabilité conditionnelle et interpréter par une phrase.
Une entreprise de maintenance suit un parc de 200 chaudières : 120 fonctionnent au gaz et 80 au fioul. Cette année, 18 chaudières au gaz et 14 chaudières au fioul sont tombées en panne.
On choisit une chaudière au hasard dans le parc. On note :
1. APP Compléter le tableau croisé sur votre copie.
| Panne (P) | Pas de panne (P̄) | Total | |
|---|---|---|---|
| Gaz (G) | 18 | …… | 120 |
| Fioul (F) | 14 | …… | 80 |
| Total | …… | …… | 200 |
2. REA Calculer \(P(G)\) et \(P(P)\).
3. REA Calculer \(P(G \cap P)\).
4. REA Calculer \(P(G \cup P)\) à l'aide de la formule \(P(G \cup P) = P(G) + P(P) - P(G \cap P)\).
5. ANA Calculer \(P_G(P)\) et \(P_F(P)\). Quel type de chaudière tombe le plus souvent en panne ?
6. VAL Retrouver \(P(G \cup P)\) par dénombrement direct dans le tableau et vérifier la cohérence avec la question 4.
Note : cette version mobilise les arbres pondérés et la formule des probabilités totales, en anticipation du programme de Terminale (hors programme de Première).
Un technicien de maintenance énergétique utilise un capteur de fuite de gaz. Le capteur a les caractéristiques suivantes :
On note \(F\) : « il y a une fuite » et \(A\) : « le capteur donne une alerte ».
1. APP Traduire les données en probabilités : \(P(F)\), \(P_F(A)\), \(P_{\bar{F}}(A)\).
2. COM Construire l'arbre pondéré complet.
3. REA Calculer \(P(A)\), la probabilité totale qu'une alerte se déclenche.
4. ANA Sachant que le capteur a donné une alerte, quelle est la probabilité qu'il y ait réellement une fuite ? Calculer \(P_A(F)\) et commenter.
Un ébéniste s'approvisionne en bois exotique auprès de trois fournisseurs X, Y et Z :
1. COM Construire l'arbre pondéré à deux niveaux (fournisseur, puis conforme/non conforme).
2. REA Calculer la probabilité totale qu'une pièce soit non conforme.
3. ANA Sachant qu'une pièce est non conforme, de quel fournisseur a-t-elle le plus de chances de provenir ? Calculer les trois probabilités conditionnelles \(P_{NC}(X)\), \(P_{NC}(Y)\) et \(P_{NC}(Z)\).
4. ANA L'ébéniste envisage de remplacer Z par un nouveau fournisseur W qui aurait 3 % de non conformes. Calculer le nouveau taux global de non-conformité. L'amélioration est-elle significative ?
5. VAL Proposer une stratégie d'approvisionnement (répartition entre fournisseurs) qui permettrait d'atteindre un taux de non-conformité global inférieur à 4 %. Justifier.