Chapitre 2 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Contexte : vous êtes assistant qualité dans l'entreprise Bois & Design, un fabricant de meubles installé à Annecy. L'atelier produit des panneaux de bois utilisés pour la fabrication d'étagères, de placards et de plans de travail.
Le responsable de production vous demande d'analyser les résultats du contrôle qualité du dernier lot. Sur 200 panneaux inspectés, les défauts suivants ont été relevés :
| Type de défaut | Nombre de panneaux |
|---|---|
| Noeud apparent (N) | 18 |
| Voilage / gauchissement (V) | 12 |
| Cote hors tolérance (C) | 10 |
| Aucun défaut (conforme) | 160 |
| Total | 200 |
Remarque : chaque panneau ne présente qu'un seul type de défaut au maximum (les défauts sont incompatibles).
a) Combien de panneaux au total présentent un défaut ?
b) Calculer la fréquence de chaque type de défaut dans ce lot. Donner les résultats sous forme de fractions, puis de nombres décimaux.
a) Nombre de panneaux avec un défaut : \(18 + 12 + 10 = 40\) panneaux.
b) Fréquences de chaque type de défaut :
On prélève un panneau au hasard dans le lot. En utilisant les fréquences calculées à la question 1, déterminer la probabilité de chaque événement :
Lorsqu'on dispose d'un grand nombre d'observations, la fréquence observée donne une bonne estimation de la probabilité. On a donc :
\[P(N) = \frac{18}{200} = 0{,}09 \qquad P(V) = \frac{12}{200} = 0{,}06 \qquad P(C) = \frac{10}{200} = 0{,}05\]a) Pourquoi peut-on utiliser la fréquence observée comme estimation de la probabilité dans cette situation ?
b) Cette estimation serait-elle aussi fiable si on n'avait contrôlé que 10 panneaux ? Justifier.
a) Le lot est suffisamment grand (200 panneaux). Lorsque le nombre d'observations est élevé, la fréquence observée se stabilise et donne une bonne estimation de la probabilité. C'est la loi des grands nombres.
b) Non, avec seulement 10 panneaux, l'estimation serait beaucoup moins fiable. Le nombre d'observations serait trop faible pour que la fréquence soit représentative de la probabilité réelle. Par exemple, on pourrait avoir 0 défaut sur 10 panneaux alors que le taux réel est de 20 %.
Calculer la probabilité de l'événement \(D\) : « le panneau présente un défaut (quel qu'il soit) ».
Indication : les trois types de défauts sont incompatibles (un panneau ne peut avoir qu'un seul type de défaut).
Les événements \(N\), \(V\) et \(C\) sont incompatibles, donc :
\[P(D) = P(N) + P(V) + P(C) = 0{,}09 + 0{,}06 + 0{,}05 = 0{,}20\]La probabilité qu'un panneau présente un défaut est de \(0{,}20\), soit 20 %.
En déduire la probabilité de l'événement contraire \(\bar{D}\) : « le panneau est conforme (aucun défaut) ».
L'événement \(\bar{D}\) est le contraire de \(D\), donc :
\[P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0{,}20 = 0{,}80\]La probabilité qu'un panneau soit conforme est de \(0{,}80\), soit 80 %. On retrouve bien \(\dfrac{160}{200} = 0{,}80\).
Le responsable qualité effectue un second contrôle : chaque panneau passe dans une machine de calibrage. La machine détecte 95 % des panneaux défectueux et valide 98 % des panneaux conformes.
On note :
a) Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous avec les valeurs manquantes :
b) Calculer la probabilité de chacun des quatre chemins de l'arbre.
a) et b) On applique la règle du chemin : on multiplie les probabilités le long de chaque branche.
Calculer la probabilité que la machine rejette un panneau (événement \(R\)).
Indication : un panneau peut être rejeté soit parce qu'il est défectueux, soit parce qu'il est conforme mais mal détecté. Utiliser la règle de la somme des chemins.
L'événement \(R\) correspond à deux chemins de l'arbre : \(D \cap R\) et \(\bar{D} \cap R\).
\[P(R) = P(D \cap R) + P(\bar{D} \cap R) = 0{,}190 + 0{,}016 = 0{,}206\]La probabilité qu'un panneau soit rejeté par la machine est de \(0{,}206\), soit environ 20,6 %.
Vérifier que la somme des probabilités des quatre chemins de l'arbre est bien égale à 1.
La somme vaut bien 1. C'est normal : les quatre chemins de l'arbre représentent toutes les issues possibles de l'expérience. La somme de toutes les probabilités doit toujours valoir 1.
Le responsable qualité constate que certains panneaux conformes sont rejetés par la machine, et que certains panneaux défectueux passent le contrôle.
a) Quelle est la probabilité qu'un panneau défectueux passe le contrôle sans être détecté ?
b) Sur un lot de 1 000 panneaux, combien de panneaux défectueux échapperaient en moyenne au contrôle ?
a) Il s'agit du chemin \(D \cap \bar{R}\) :
\[P(D \cap \bar{R}) = 0{,}010\]La probabilité qu'un panneau défectueux passe le contrôle est de \(0{,}010\), soit 1 %.
b) Sur 1 000 panneaux : \(1\,000 \times 0{,}010 = 10\) panneaux défectueux passeraient en moyenne le contrôle sans être détectés.
Rédigez un court avis (3-4 lignes) à destination du responsable de production de l'entreprise Bois & Design. Votre avis doit contenir :
Exemple de rédaction :
Le contrôle du lot révèle un taux de défaut de 20 %, ce qui est élevé pour une production de panneaux destinés à l'ameublement. Le défaut le plus fréquent est le noeud apparent (9 % des panneaux). La machine de calibrage est efficace : elle détecte 95 % des panneaux défectueux. Toutefois, 1 % des panneaux livrés seraient défectueux malgré le contrôle. Il serait recommandé d'améliorer le tri des bois en amont pour réduire le taux de noeuds apparents, qui représente à lui seul près de la moitié des défauts.