Chapitre 2 — Probabilités | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Sophie, technicienne en maintenance énergétique chez Diagnostic Énergie 93, est chargée d'auditer 200 logements d'un bailleur social pour évaluer la conformité des systèmes de chauffage. Le résultat de l'audit conditionne le plan de rénovation à 5 ans.
Construire l'arbre pondéré : premier niveau Gaz / PAC, deuxième niveau Conforme / À corriger.
L'arbre est complet et la somme des chemins terminaux vaut bien 1.
Calculer P(G ∩ C) et P(P ∩ \(\bar{C}\)) en appliquant la règle du produit.
\( P(G \cap C) = 0{,}60 \times 0{,}75 = \mathbf{0{,}450} \) (45 % des logements).
\( P(P \cap \bar{C}) = 0{,}40 \times 0{,}15 = \mathbf{0{,}060} \) (6 % des logements).
Calculer la probabilité qu'une installation prise au hasard soit conforme, en additionnant les deux chemins qui mènent à C.
\( P(C) = P(G \cap C) + P(P \cap C) = 0{,}450 + 0{,}340 = \mathbf{0{,}790} \) (79 %).
En déduire la probabilité qu'une installation soit à corriger (événement \(\bar{C}\)).
Par l'événement contraire : \( P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0{,}790 = \mathbf{0{,}210} \) (21 %).
Vérification directe : \( P(G \cap \bar{C}) + P(P \cap \bar{C}) = 0{,}150 + 0{,}060 = 0{,}210 \) ✓
Sur les 200 logements audités, combien sont à corriger ? Faire le détail par type d'installation.
Total à corriger : \( 200 \times 0{,}210 = \mathbf{42} \) logements.
Détail :
Un logement à corriger est tiré au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit équipé d'une chaudière gaz ? Comparer avec la part de chaudières gaz dans le parc (60 %).
On lit directement : sur les 42 logements à corriger, 30 sont au gaz.
\( P_{\bar{C}}(G) = \dfrac{30}{42} = \dfrac{P(G \cap \bar{C})}{P(\bar{C})} = \dfrac{0{,}150}{0{,}210} \approx \mathbf{0{,}714} \) (71,4 %).
Les chaudières gaz représentent 71,4 % des logements à corriger, alors qu'elles ne pèsent que 60 % du parc. Elles sont donc surreprésentées dans les non-conformités.
Le coût moyen d'une remise en conformité est de 1 200 € pour une chaudière gaz et 800 € pour une PAC. Calculer le budget total des corrections à prévoir.
Gaz : \( 30 \times 1\,200 = 36\,000\,€ \).
PAC : \( 12 \times 800 = 9\,600\,€ \).
Budget total : \( 36\,000 + 9\,600 = \mathbf{45\,600\,€} \).
Plus de 78 % du budget est consacré aux chaudières gaz, ce qui confirme le diagnostic de la question 6.
Rédiger la recommandation finale de Sophie au bailleur social (5 lignes max).
Audit énergétique 200 logements — Synthèse Sophie
• Taux global de non-conformité : 21 % (42 logements à corriger).
• Détail : 30 chaudières gaz et 12 PAC nécessitent une intervention.
• Les chaudières gaz, bien que représentant 60 % du parc, concentrent 71,4 % des non-conformités.
• Budget de remise en conformité estimé : 45 600 € HT.
• Recommandation : prioriser le remplacement progressif des chaudières gaz les plus anciennes par des PAC (taux de défaut PAC = 15 % vs 25 % gaz).
Si le bailleur décide de remplacer 50 % des chaudières gaz par des PAC, quelle serait la nouvelle proportion de logements à corriger dans le parc ?
Nouvelle répartition : Gaz 30 %, PAC 70 % (40 + 30).
Nouveau taux de non-conformité :
\( P(\bar{C}) = 0{,}30 \times 0{,}25 + 0{,}70 \times 0{,}15 = 0{,}075 + 0{,}105 = \mathbf{0{,}180} \) (18 %).
Le taux passerait de 21 % à 18 %, soit une amélioration de 3 points. Sur 200 logements : 36 à corriger au lieu de 42 (économie ≈ 6 000 €).
📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Probabilités), §6 (Arbre pondéré) et §5 (Probabilités conditionnelles) de la leçon Ch02.