Chapitre 2 — Probabilités | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire
Hugo, gérant de Mob'Style 33 à Bordeaux, reçoit une caisse de 50 charnières. Le fournisseur garantit 95 % de pièces conformes. Hugo veut estimer la probabilité d'avoir exactement 3 charnières défectueuses dans la caisse.
On répète n fois une épreuve à 2 issues : succès (probabilité p) ou échec (1−p), de manière indépendante.
Probabilité d'obtenir exactement k succès :
\(P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}\)
\(\binom{n}{k}\) = nombre de façons de choisir k objets parmi n. Lecture sur calculatrice : touche nCr ou Combinaison(n, k).
Exemples : C(50, 0) = 1 ; C(50, 1) = 50 ; C(50, 3) = 19 600.
Identifier les paramètres du schéma de Bernoulli pour ce contrôle :
n = ? · p (probabilité d'une charnière défectueuse) = ? · q = ? · X = ?
n = 50 (nombre de charnières dans la caisse).
p = 0,05 (5 % de défauts garantis par le fournisseur).
q = 1 − p = 0,95.
X = nombre de charnières défectueuses dans la caisse (variable aléatoire).
Calculer P(X = 3) : probabilité d'avoir exactement 3 charnières défectueuses.
P(X = 3) = C(50, 3) × 0,05³ × 0,95⁴⁷
= 19 600 × 1,25 × 10⁻⁴ × 0,0888
≈ 0,2199 = 22 %.
Calculer P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2). Quelle est la valeur la plus probable ?
P(X = 0) = 0,95⁵⁰ ≈ 0,077 (7,7 %)
P(X = 1) = 50 × 0,05 × 0,95⁴⁹ ≈ 0,202 (20,2 %)
P(X = 2) = 1 225 × 0,0025 × 0,95⁴⁸ ≈ 0,261 (26,1 %)
Le plus probable : X = 2 (≈ 26 %). On s'attend à recevoir 2 charnières défectueuses en moyenne sur 50.
Calculer P(X ≤ 3) (probabilité d'avoir au plus 3 défectueuses).
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
= 0,077 + 0,202 + 0,261 + 0,220 = 0,760 = 76 %.
Il y a 76 % de chances qu'Hugo trouve au plus 3 défectueuses.
Calculer l'espérance E(X) = n × p (nombre moyen de défauts).
Comparer à la valeur la plus probable trouvée à la question 3.
E(X) = 50 × 0,05 = 2,5. En moyenne, on attend 2,5 défectueuses (à arrondir vers 2 ou 3).
Cohérent avec la valeur la plus probable (2). L'espérance et le mode (= valeur la plus probable) sont voisins pour la loi binomiale.
Hugo refuse la caisse si elle contient plus de 5 défectueuses. Calculer P(X ≥ 6).
P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5).
P(X = 4) ≈ 0,136 ; P(X = 5) ≈ 0,066.
P(X ≤ 5) ≈ 0,077 + 0,202 + 0,261 + 0,220 + 0,136 + 0,066 ≈ 0,962.
P(X ≥ 6) ≈ 1 − 0,962 = 0,038 ≈ 3,8 %.
Risque très faible que Hugo doive refuser la caisse.
Hugo reçoit 100 caisses de 50 charnières dans l'année. Combien de caisses risque-t-il de devoir refuser ?
P(refus) = 0,038.
Nombre de caisses refusées attendu : 100 × 0,038 ≈ 4 caisses/an.
Hugo doit prévoir 4 retours produits par an, soit ≈ 1 retour tous les 3 mois. À gérer dans les délais et stocks.
Hugo rédige son cahier des charges qualité. 5 lignes max.
Charte qualité — caisses de charnières (50 pcs)
• Garantie fournisseur : 95 % de pièces conformes (p = 5 % de défaut).
• Espérance défauts par caisse : 2,5 (loi binomiale n=50, p=0,05).
• Acceptation : ≤ 5 défauts/caisse · Refus : ≥ 6 défauts.
• Probabilité de refus : 3,8 % → 4 caisses refusées par an (sur 100).
• Si plus de 4 caisses refusées en 1 an : revoir le contrat avec le fournisseur (taux de défaut réel > 5 %).
Si Hugo veut être plus exigeant et accepter une caisse seulement si elle a ≤ 2 défauts, calculer P(acceptation).
P(X ≤ 2) = 0,077 + 0,202 + 0,261 = 0,540 = 54 %.
Hugo refuserait alors 46 % des caisses → 46 caisses/an au lieu de 4. Trop élevé. Il devrait soit négocier un meilleur fournisseur (p < 3 %), soit assouplir son seuil.
📚 Cette activité s'appuie sur §4 (Loi binomiale) de la leçon Ch02.