Chapitre 2 — Probabilités | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire
Karim, contrôleur qualité chez PorteBois 31 à Toulouse, doit analyser la production des 3 lignes de fabrication de portes intérieures. Les portes sont contrôlées en sortie : conformes ou défectueuses.
| Ligne | Part de production | Taux de défaut |
|---|---|---|
| L1 (machine récente) | 50 % | 2 % |
| L2 (machine ancienne) | 30 % | 5 % |
| L3 (manuelle artisans) | 20 % | 1 % |
Donner les probabilités P(L1), P(L2), P(L3) sous forme décimale.
P(L1) = 0,50 ; P(L2) = 0,30 ; P(L3) = 0,20.
Vérification : 0,50 + 0,30 + 0,20 = 1 ✔
Construire l'arbre pondéré (3 branches L1/L2/L3, puis 2 sous-branches D/D̄ pour chacune).
Calculer la probabilité de chaque branche terminale.
| Chemin | P |
|---|---|
| L1 ∩ D | 0,50 × 0,02 = 0,010 |
| L1 ∩ D̄ | 0,50 × 0,98 = 0,490 |
| L2 ∩ D | 0,30 × 0,05 = 0,015 |
| L2 ∩ D̄ | 0,30 × 0,95 = 0,285 |
| L3 ∩ D | 0,20 × 0,01 = 0,002 |
| L3 ∩ D̄ | 0,20 × 0,99 = 0,198 |
Total : 0,010 + 0,490 + 0,015 + 0,285 + 0,002 + 0,198 = 1,000 ✔
Calculer P(D), la probabilité qu'une porte tirée au hasard soit défectueuse (formule des probabilités totales).
P(D) = P(L1) × P_L1(D) + P(L2) × P_L2(D) + P(L3) × P_L3(D)
= 0,010 + 0,015 + 0,002 = 0,027 = 2,7 %
Sur 1 000 portes, environ 27 sont défectueuses.
Karim trouve une porte défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de L2 ?
Formule de Bayes : P_D(L2) = P(L2 ∩ D) / P(D)
P_D(L2) = 0,015 / 0,027 ≈ 0,556 = 55,6 %.
Plus de la moitié des portes défectueuses viennent de L2 ! Pourtant L2 ne représente que 30 % de la production.
Calculer P_D(L1) et P_D(L3). Que constate Karim ?
P_D(L1) = 0,010 / 0,027 ≈ 37 %.
P_D(L3) = 0,002 / 0,027 ≈ 7,4 %.
L2 (30 % de la production) génère 55,6 % des défauts. L3 (20 % de la production, mais 7,4 % des défauts) est très performante. Karim doit cibler L2 en priorité pour améliorer la qualité globale.
L'entreprise produit 5 000 portes/an. Combien de portes défectueuses sont produites par chaque ligne et au total ?
L1 défauts : 5 000 × 0,010 = 50 portes.
L2 défauts : 5 000 × 0,015 = 75 portes.
L3 défauts : 5 000 × 0,002 = 10 portes.
Total : 135 portes défectueuses/an.
Une porte défectueuse coûte 80 € (rebut + retouche). Calculer le coût annuel total puis le coût après amélioration de L2 (taux ramené à 2 %).
Coût actuel : 135 × 80 = 10 800 €/an.
Si L2 passe à 2 % : nouvelles défauts L2 = 5 000 × 0,30 × 0,02 = 30 (au lieu de 75).
Total nouveaux défauts : 50 + 30 + 10 = 90 portes. Coût : 7 200 €/an. Économie : 3 600 €/an.
Karim présente son analyse au directeur. Rédiger en 5 lignes les recommandations.
Audit qualité — PorteBois 31
• Taux de défaut global : 2,7 % (135 portes/an, coût 10 800 €/an).
• L2 (machine ancienne) est responsable de 55,6 % des défauts alors qu'elle ne produit que 30 % des portes.
• Action prioritaire : maintenance/remplacement de L2 (objectif 2 % de défaut).
• Économie attendue : 3 600 €/an (justifie investissement de ≈ 15-20 k€).
• L3 (artisans) est exemplaire (taux 1 %) : valoriser leur expertise par la formation des opérateurs L1/L2.
Si Karim échantillonne 100 portes, quelle est la probabilité (estimée) de trouver au moins 1 défectueuse ?
P(aucune défectueuse en 100 tirages) = (0,973)¹⁰⁰ ≈ 0,065.
P(au moins 1) = 1 − 0,065 ≈ 93,5 %. Quasi certain de trouver au moins 1 défectueuse en échantillonnant 100 portes.
📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Probabilités), §2 (Arbre) et §3 (Probabilités totales) de la leçon Ch02.