Chapitre 2 â ProbabilitĂ©s | 1Ăšre Bac Pro | MathĂ©matiques | â± 30 min
DerniĂšre mise Ă jour : 23 mai 2026
LĂ©o invite trois amis Ă une soirĂ©e jeux. Au programme : un jeu de plateau oĂč l'on lance deux dĂ©s, puis un jeu de cartes traditionnel avec un paquet de 52 cartes. Tout le monde veut savoir quels coups ont le plus de chances de tomber.
| Dâ â / Dâ â | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Les cases en jaune correspondent Ă une somme de 7.
On lance un dé équilibré. Calculer P(obtenir 6), P(obtenir un nombre pair) et P(obtenir un nombre supérieur ou égal à 5).
\( P(\{6\}) = \dfrac{1}{6} \approx \mathbf{0{,}167} \) (16,7 %).
Pair : \(\{2\,;\,4\,;\,6\}\) â \( P = \dfrac{3}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{2}} = 0{,}5 \) (50 %).
\( \geqslant 5\) : \(\{5\,;\,6\}\) â \( P = \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}} \approx 0{,}333 \) (33,3 %).
LĂ©o affirme : « obtenir un 6 ou un nombre pair, c'est la mĂȘme probabilitĂ© que d'obtenir un nombre pair tout court ». A-t-il raison ?
Léo a raison : un 6 est un nombre pair. L'événement « 6 » est inclus dans « pair ».
Donc \( \{6\} \cup \text{Pair} = \text{Pair} \) et \( P(\{6\} \cup \text{Pair}) = P(\text{Pair}) = 0{,}5 \).
â ïž Attention : il ne faut pas additionner naĂŻvement \( \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{2} \) car ces Ă©vĂ©nements ne sont pas incompatibles (le 6 est dans les deux).
On lance maintenant deux dés équilibrés. à partir du tableau, calculer P(somme = 7) et P(somme ℠10).
Cases jaunes (somme = 7) : 6 sur 36.
\( P(\text{somme}=7) = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}} \approx 0{,}167 \) (16,7 %).
Somme â„ 10 : on compte 10, 11, 12 â \(\{(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)\}\) = 6 cases.
\( P(\text{somme} \geqslant 10) = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}} \approx 0{,}167 \).
Les deux Ă©vĂ©nements ont la mĂȘme probabilitĂ©, mais la somme 7 reste la somme la plus probable sur 36 cases.
Calculer P(somme = 12) et P(somme = 2). Que constate-t-on ?
Somme = 12 : seule case (6,6) â \( P = \dfrac{1}{36} \approx \mathbf{0{,}028} \) (2,8 %).
Somme = 2 : seule case (1,1) â \( P = \dfrac{1}{36} \approx \mathbf{0{,}028} \).
Les sommes extrĂȘmes (2 et 12) sont les moins probables. La distribution est symĂ©trique : P(somme = \(k\)) = P(somme = \(14-k\)).
LĂ©o passe au jeu de cartes (52 cartes). Calculer P(tirer un roi) et P(tirer un cĆur).
4 rois sur 52 â \( P(R) = \dfrac{4}{52} = \mathbf{\dfrac{1}{13}} \approx 0{,}077 \) (7,7 %).
13 cĆurs sur 52 â \( P(C) = \dfrac{13}{52} = \mathbf{\dfrac{1}{4}} = 0{,}25 \) (25 %).
« Tirer un roi » et « tirer un cĆur » sont-ils des Ă©vĂ©nements incompatibles ? Justifier puis calculer P(roi âȘ cĆur).
Non, ils ne sont pas incompatibles : il existe une carte qui est Ă la fois roi et cĆur (le roi de cĆur).
\( P(R \cap C) = \dfrac{1}{52} \).
Par la formule de la réunion :
\( P(R \cup C) = P(R) + P(C) - P(R \cap C) = \dfrac{4}{52} + \dfrac{13}{52} - \dfrac{1}{52} = \dfrac{16}{52} = \mathbf{\dfrac{4}{13}} \approx 0{,}308 \) (30,8 %).
Léo affirme : « la probabilité de tirer une figure (V, D ou R) est 3 à \(\tfrac{4}{52}\) ». A-t-il raison ? Que vaut cette probabilité ?
Oui, Léo a raison : les événements « valet », « dame », « roi » sont incompatibles (une carte est l'un OU l'autre, pas les deux).
\( P(\text{figure}) = P(V) + P(D) + P(R) = 3 \times \dfrac{4}{52} = \dfrac{12}{52} = \mathbf{\dfrac{3}{13}} \approx 0{,}231 \) (23,1 %).
Léo voudrait justifier à ses amis : « Quand on lance les dés, parier sur la somme 7 est le meilleur choix ». Rédige son argumentaire (5 lignes).
Pourquoi parier sur la somme 7 ?
⹠Au lancer de deux dés équilibrés, il y a 36 combinaisons équiprobables.
âą La somme 7 est obtenue par 6 combinaisons : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
âą C'est la somme la plus probable : \(P = \tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\).
âą Ă l'inverse, les sommes 2 et 12 sont les moins probables (1 combinaison chacune, \(\tfrac{1}{36} \approx 2{,}8\,\%\)).
âą Conclusion : sur une partie longue, parier sur 7 maximise les chances de gain.
Léo lance 12 fois deux dés et obtient la somme 7 seulement 1 fois. Que penser de ce résultat ? La probabilité théorique est-elle remise en cause ?
FrĂ©quence observĂ©e : \(\tfrac{1}{12} \approx 0{,}083\) (8,3 %) â bien infĂ©rieure Ă la probabilitĂ© thĂ©orique de 16,7 %.
Mais 12 essais est trÚs peu. La fréquence se rapproche de la probabilité seulement avec un grand nombre d'essais (loi des grands nombres).
Sur 1 000 lancers, on s'attendrait à environ 167 fois la somme 7 (à quelques unités prÚs).
đ Cette activitĂ© s'appuie sur §1 (ProbabilitĂ©s Ă©quiprobables), §3 (ĂvĂ©nements et union), §4 (Tableau pour deux dĂ©s) de la leçon Ch02.