Chapitre 2 — Probabilités | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Léo invite trois amis à une soirée jeux. Au programme : un jeu de plateau où l'on lance deux dés, puis un jeu de cartes traditionnel avec un paquet de 52 cartes. Tout le monde veut savoir quels coups ont le plus de chances de tomber.
| D₁ ↓ / D₂ → | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Les cases en jaune correspondent à une somme de 7.
On lance un dé équilibré. Calculer P(obtenir 6), P(obtenir un nombre pair) et P(obtenir un nombre supérieur ou égal à 5).
\( P(\{6\}) = \dfrac{1}{6} \approx \mathbf{0{,}167} \) (16,7 %).
Pair : \(\{2\,;\,4\,;\,6\}\) → \( P = \dfrac{3}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{2}} = 0{,}5 \) (50 %).
\( \geqslant 5\) : \(\{5\,;\,6\}\) → \( P = \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}} \approx 0{,}333 \) (33,3 %).
Léo affirme : « obtenir un 6 ou un nombre pair, c'est la même probabilité que d'obtenir un nombre pair tout court ». A-t-il raison ?
Léo a raison : un 6 est un nombre pair. L'événement « 6 » est inclus dans « pair ».
Donc \( \{6\} \cup \text{Pair} = \text{Pair} \) et \( P(\{6\} \cup \text{Pair}) = P(\text{Pair}) = 0{,}5 \).
⚠️ Attention : il ne faut pas additionner naïvement \( \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{2} \) car ces événements ne sont pas incompatibles (le 6 est dans les deux).
On lance maintenant deux dés équilibrés. À partir du tableau, calculer P(somme = 7) et P(somme ≥ 10).
Cases jaunes (somme = 7) : 6 sur 36.
\( P(\text{somme}=7) = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}} \approx 0{,}167 \) (16,7 %).
Somme ≥ 10 : on compte 10, 11, 12 → \(\{(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)\}\) = 6 cases.
\( P(\text{somme} \geqslant 10) = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}} \approx 0{,}167 \).
Les deux événements ont la même probabilité, mais la somme 7 reste la somme la plus probable sur 36 cases.
Calculer P(somme = 12) et P(somme = 2). Que constate-t-on ?
Somme = 12 : seule case (6,6) → \( P = \dfrac{1}{36} \approx \mathbf{0{,}028} \) (2,8 %).
Somme = 2 : seule case (1,1) → \( P = \dfrac{1}{36} \approx \mathbf{0{,}028} \).
Les sommes extrêmes (2 et 12) sont les moins probables. La distribution est symétrique : P(somme = \(k\)) = P(somme = \(14-k\)).
Léo passe au jeu de cartes (52 cartes). Calculer P(tirer un roi) et P(tirer un cœur).
4 rois sur 52 → \( P(R) = \dfrac{4}{52} = \mathbf{\dfrac{1}{13}} \approx 0{,}077 \) (7,7 %).
13 cœurs sur 52 → \( P(C) = \dfrac{13}{52} = \mathbf{\dfrac{1}{4}} = 0{,}25 \) (25 %).
« Tirer un roi » et « tirer un cœur » sont-ils des événements incompatibles ? Justifier puis calculer P(roi ∪ cœur).
Non, ils ne sont pas incompatibles : il existe une carte qui est à la fois roi et cœur (le roi de cœur).
\( P(R \cap C) = \dfrac{1}{52} \).
Par la formule de la réunion :
\( P(R \cup C) = P(R) + P(C) - P(R \cap C) = \dfrac{4}{52} + \dfrac{13}{52} - \dfrac{1}{52} = \dfrac{16}{52} = \mathbf{\dfrac{4}{13}} \approx 0{,}308 \) (30,8 %).
Léo affirme : « la probabilité de tirer une figure (V, D ou R) est 3 × \(\tfrac{4}{52}\) ». A-t-il raison ? Que vaut cette probabilité ?
Oui, Léo a raison : les événements « valet », « dame », « roi » sont incompatibles (une carte est l'un OU l'autre, pas les deux).
\( P(\text{figure}) = P(V) + P(D) + P(R) = 3 \times \dfrac{4}{52} = \dfrac{12}{52} = \mathbf{\dfrac{3}{13}} \approx 0{,}231 \) (23,1 %).
Léo voudrait justifier à ses amis : « Quand on lance les dés, parier sur la somme 7 est le meilleur choix ». Rédige son argumentaire (5 lignes).
Pourquoi parier sur la somme 7 ?
• Au lancer de deux dés équilibrés, il y a 36 combinaisons équiprobables.
• La somme 7 est obtenue par 6 combinaisons : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
• C'est la somme la plus probable : \(P = \tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\).
• À l'inverse, les sommes 2 et 12 sont les moins probables (1 combinaison chacune, \(\tfrac{1}{36} \approx 2{,}8\,\%\)).
• Conclusion : sur une partie longue, parier sur 7 maximise les chances de gain.
Léo lance 12 fois deux dés et obtient la somme 7 seulement 1 fois. Que penser de ce résultat ? La probabilité théorique est-elle remise en cause ?
Fréquence observée : \(\tfrac{1}{12} \approx 0{,}083\) (8,3 %) — bien inférieure à la probabilité théorique de 16,7 %.
Mais 12 essais est très peu. La fréquence se rapproche de la probabilité seulement avec un grand nombre d'essais (loi des grands nombres).
Sur 1 000 lancers, on s'attendrait à environ 167 fois la somme 7 (à quelques unités près).
📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Probabilités équiprobables), §3 (Événements et union), §4 (Tableau pour deux dés) de la leçon Ch02.