QCM – Statistiques à deux variables

Chapitre 1 | 1ère Bac Pro | Mathématiques

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Représenter un nuage de points associé à une série statistique à deux variables
Déterminer un ajustement affine à l'aide de la calculatrice ou d'un tableur
Utiliser le coefficient de détermination \(R^2\) pour évaluer la qualité d'un ajustement
Réaliser des interpolations et extrapolations
Comprendre que corrélation n'implique pas causalité

⏱ Durée : 15–20 min

📄 15 questions

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Socle

Question 1

Vocabulaire – Série statistique à deux variables

Une série statistique à deux variables est une série où l'on mesure :

un seul caractère quantitatif sur une population deux caractères quantitatifs simultanément sur une même population deux populations différentes le total et la fréquence d'une série

Question 2

Nuage de points – Lecture

Dans un nuage de points, chaque point représente :

la moyenne des valeurs la valeur maximale de \(x\) un couple de valeurs \((x_i\,;\,y_i)\) la droite de régression

Question 3

Nuage de points – Axes

Dans un nuage de points, la variable explicative \(x\) est placée :

sur l'axe horizontal sur l'axe vertical en dehors du repère sur les deux axes

Question 4

Point moyen – Calcul

On a quatre valeurs de \(x\) : 2 ; 4 ; 6 ; 8. La moyenne \(\bar{x}\) vaut :

10 8 4 5

Question 5

Point moyen – Définition

Le point moyen \(G\) d'un nuage de points a pour coordonnées :

\((x_1\,;\,y_1)\), le premier couple de la série \((\bar{x}\,;\,\bar{y})\), les moyennes de chaque variable le couple le plus élevé de la série l'origine du repère \((0\,;\,0)\)

Question 6

Corrélation – Reconnaître

Quand les points du nuage semblent globalement alignés de bas en haut de gauche à droite, on dit qu'il y a une corrélation :

nulle négative positive aléatoire

Question 7

Corrélation – Reconnaître

Quand \(x\) augmente et \(y\) diminue en même temps, la corrélation est :

négative positive nulle parfaite

Question 8

Droite de régression – Propriété

La droite de régression passe toujours par :

l'origine du repère le point le plus élevé du nuage le premier point de la série le point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\)

Question 9

Droite de régression – Équation

La droite de régression est une droite d'équation :

\(y = ax^2 + b\) \(y = ax + b\) \(y = \dfrac{a}{x} + b\) \(y = a + b + x\)

Question 10

Droite de régression – Lecture

La droite de régression a pour équation \(y = 3x + 5\). Pour \(x = 4\), on obtient \(y =\) :

12 9 17 20

Question 11

Coefficient de détermination – Lecture

Le coefficient de détermination \(R^2\) est :

un nombre toujours compris entre 0 et 1 un nombre qui peut être négatif toujours supérieur à 1 toujours égal à 0,5

Question 12

Coefficient de détermination – Interprétation

Un ajustement est de bonne qualité lorsque \(R^2\) est :

proche de 0 égal à 0,5 négatif proche de 1

Question 13

Interpolation – Définition

L'interpolation consiste à estimer une valeur de \(y\) pour un \(x\) :

en dehors de la plage des données observées à l'intérieur de la plage des données observées négatif égal à la moyenne

Question 14

Extrapolation – Risque

L'extrapolation est une estimation :

toujours fiable uniquement valable pour les données négatives risquée car en dehors de la plage des données plus précise que l'interpolation

Question 15

Corrélation et causalité

Deux variables corrélées signifie que :

elles évoluent ensemble de manière régulière l'une est nécessairement la cause de l'autre elles sont toujours égales leur somme vaut 1

Standard

Question 1

Point moyen – Calcul avec contexte

Un technicien chauffagiste relève les températures : 12 ; 8 ; 4 ; 2 ; 3 ; 7 (en °C). La moyenne \(\bar{x}\) vaut :

5 6 7 36

Question 2

Point moyen – Calcul avec contexte

Les consommations relevées sont : 15 ; 22 ; 31 ; 35 ; 33 ; 24 (en MWh). La moyenne \(\bar{y}\) vaut (arrondir à 0,1) :

25,0 160,0 26,7 30,0

Question 3

Droite de régression – Équation

La calculatrice donne la droite de régression de la consommation de chauffage en fonction de la température : \(y = -2{,}04x + 38{,}9\). Quel est le signe de \(a\) et qu'indique-t-il ?

\(a < 0\) : quand la température augmente, la consommation diminue \(a < 0\) : quand la température augmente, la consommation augmente \(a > 0\) : la relation est croissante \(a = 0\) : il n'y a pas de lien entre les variables

Question 4

Droite de régression – Calcul d'une image

Avec la droite \(y = -2{,}04x + 38{,}9\), quelle est la consommation estimée pour une température de 5 °C ?

29,05 MWh 30,00 MWh 33,90 MWh 28,7 MWh

Question 5

Coefficient de détermination – Interprétation

La calculatrice donne \(R^2 = 0{,}98\) pour l'ajustement chauffage. Cela signifie :

l'ajustement est mauvais car \(R^2 < 1\) l'ajustement est excellent : 98 % de la variation de \(y\) est expliquée par le modèle la consommation est toujours de 98 MWh 98 % des points sont sur la droite exactement

Question 6

Coefficient de corrélation – Signe

La calculatrice donne \(r \approx -0{,}99\). Que peut-on conclure ?

la corrélation est faible et positive il n'y a pas de lien entre les variables la corrélation est forte et négative le modèle affine n'est pas adapté

Question 7

Interpolation – Application professionnelle

Un menuisier utilise la droite \(y = 241{,}4x + 342{,}9\) (coût en € pour \(x\) meubles). Pour 22 meubles (valeur dans la plage [10 ; 40]), le coût estimé est :

environ 5 654 € environ 5 000 € environ 6 300 € environ 4 800 €

Question 8

Extrapolation – Validité

En utilisant la droite de régression \(y = -2{,}04x + 38{,}9\) (données entre 2 °C et 12 °C) pour prédire la consommation à \(x = 20\) °C, on obtient \(y \approx -1{,}9\) MWh. Quelle conclusion tirer ?

le résultat est fiable car on a utilisé la bonne formule la consommation est bien négative en été le modèle est parfait pour toutes les températures l'extrapolation est risquée : le modèle n'est pas valide hors de la plage [2 ; 12]

Question 9

Droite de régression – Vérification par le point moyen

La droite de régression est \(y = 241{,}4x + 342{,}9\) et le point moyen est \(G(25\,;\,6378{,}6)\). Pour vérifier que la droite passe par \(G\), on calcule :

\(241{,}4 + 342{,}9 = 584{,}3\) \(241{,}4 \times 25 + 342{,}9 = 6377{,}9 \approx 6378{,}6\) ✓ \(25 \div 241{,}4 = 0{,}10\) \(6378{,}6 \div 25 = 255{,}1\)

Question 10

Coefficient de détermination – Seuils

On obtient \(R^2 = 0{,}75\). Comment qualifier l'ajustement ?

excellent (\(R^2 \geqslant 0{,}90\)) mauvais (\(R^2 < 0{,}70\)) moyen (\(0{,}70 \leqslant R^2 < 0{,}90\)) parfait (\(R^2 = 1\))

Question 11

Moindres carrés – Principe

La méthode des moindres carrés choisit la droite qui minimise :

la somme des carrés des écarts entre valeurs observées et valeurs calculées la somme des valeurs de \(y\) la différence entre \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) le nombre de points du nuage

Question 12

Interprétation du coefficient \(a\)

La droite de régression du coût de production est \(y = 241{,}4x + 342{,}9\). Que signifie \(a = 241{,}4\) ?

le coût total pour zéro meuble est 241,4 € il faut produire 241,4 meubles pour couvrir les frais le coût diminue de 241,4 € par meuble chaque meuble supplémentaire coûte environ 241,4 €

Question 13

Interprétation du coefficient \(b\)

Toujours avec \(y = 241{,}4x + 342{,}9\), que représente \(b = 342{,}9\) ?

le coût d'un meuble le coût estimé lorsque \(x = 0\) (coût fixe théorique) le nombre de meubles produits en moyenne la qualité de l'ajustement

Question 14

Corrélation et causalité – Application

On observe que les ventes de glaces et les noyades augmentent en même temps l'été. Quelle est l'explication correcte ?

manger des glaces provoque des noyades les noyades augmentent les ventes de glaces la chaleur est un facteur caché qui augmente les deux phénomènes la corrélation prouve toujours un lien de causalité

Question 15

Utilisation de la calculatrice

Pour obtenir les coefficients \(a\) et \(b\) de la droite de régression à la calculatrice, on utilise la fonction :

régression linéaire (LinReg ou RegLin) calcul de moyenne simple résolution d'équation calcul d'étendue

Approfondissement

Question 1

Coefficient de corrélation – Relation avec \(R^2\)

Si \(r = -0{,}95\), alors \(R^2\) vaut :

\(-0{,}9025\) \(-0{,}95\) \(0{,}9025\) \(0{,}95\)

Question 2

Interprétation de \(R^2\)

On obtient \(R^2 = 0{,}82\). Que peut-on affirmer sur la part de variation de \(y\) expliquée par le modèle ?

18 % de la variation est expliquée par le modèle 82 % de la variation est expliquée par le modèle 100 % de la variation est expliquée par le modèle la relation n'est pas linéaire

Question 3

Droite de régression – Calcul des coefficients

On dispose de 3 couples : \((1\,;\,4)\), \((2\,;\,7)\), \((3\,;\,10)\). Le nuage est parfaitement aligné. L'équation de la droite est :

\(y = x + 3\) \(y = 4x\) \(y = 2x + 3\) \(y = 3x + 1\)

Question 4

Validité d'une extrapolation

Un artisan menuisier a des données de production entre 5 et 40 meubles par mois. Il veut utiliser la droite de régression pour estimer le coût pour 80 meubles. Que doit-il faire ?

Utiliser la formule mais préciser que c'est une extrapolation risquée, hors de la plage [5 ; 40] Appliquer la formule directement car \(R^2\) est élevé Doubler le résultat obtenu pour 40 meubles Ne pas utiliser la droite de régression pour aucune estimation

Question 5

Méthode des points médians

La méthode des points médians consiste à :

calculer la médiane de toutes les valeurs de \(y\) tracer la droite uniquement par les deux points extrêmes partager le nuage en deux parties égales et trouver la droite passant par les deux points médians de chaque partie calculer la moyenne de toutes les pentes possibles

Question 6

Résidus – Définition

Le résidu d'un point \(M_i(x_i\,;\,y_i)\) par rapport à la droite \(y = ax + b\) est :

\(ax_i + b\) \(y_i - (ax_i + b)\) \(y_i + ax_i + b\) \((ax_i + b)^2\)

Question 7

Résidus – Interprétation

Si les résidus sont tous très proches de 0, cela signifie que :

le modèle est mauvais les données sont toutes nulles il y a une corrélation négative les points sont très proches de la droite, l'ajustement est excellent

Question 8

Coefficient de Pearson – Plage de valeurs

Le coefficient de corrélation de Pearson \(r\) est toujours dans l'intervalle :

\([-1\,;\,1]\) \([0\,;\,1]\) \([-\infty\,;\,+\infty]\) \([0\,;\,+\infty[\)

Question 9

Coefficient de Pearson – Interprétation

\(r = 0{,}10\) indique :

une corrélation linéaire forte et positive une corrélation linéaire forte et négative une corrélation linéaire très faible une relation parfaitement linéaire

Question 10

Comparaison de deux séries

Deux ajustements donnent \(R^2_1 = 0{,}93\) et \(R^2_2 = 0{,}68\). Lequel est le plus fiable pour faire des prévisions ?

Le second, car \(R^2_2 < 1\) donc plus réaliste Le premier, car \(R^2_1 = 0{,}93\) est plus proche de 1 Les deux sont équivalents Aucun n'est fiable car \(R^2 < 1\) dans les deux cas

Question 11

Interpolation vs extrapolation – Distinction

Les données s'étendent de \(x = 10\) à \(x = 40\). Quelle estimation est une interpolation ?

estimer \(y\) pour \(x = 5\) estimer \(y\) pour \(x = 50\) estimer \(y\) pour \(x = 0\) estimer \(y\) pour \(x = 25\)

Question 12

Moindres carrés – Propriété

Parmi toutes les droites possibles passant par le nuage, la droite des moindres carrés est celle qui :

minimise \(\sum (y_i - \hat{y}_i)^2\) (somme des carrés des résidus) passe par le plus grand nombre de points maximise \(R^2\) en fixant \(a = 1\) passe par les deux points extrêmes du nuage

Question 13

Causalité – Analyse critique

Un étudiant observe que le nombre de prix Nobel par pays est corrélé à la consommation de chocolat. Quelle affirmation est correcte ?

manger du chocolat augmente l'intelligence et donc les prix Nobel les prix Nobel incitent à consommer plus de chocolat un facteur caché (développement économique) explique les deux ; la corrélation n'implique pas la causalité \(r \approx 1\) donc la relation de cause à effet est prouvée

Question 14

Raisonnement complet – Contexte professionnel

Un installateur de panneaux photovoltaïques mesure la production \(y\) (kWh/jour) en fonction de l'ensoleillement \(x\) (h/jour). Il obtient : \(y = 4{,}2x - 1{,}8\) avec \(R^2 = 0{,}96\) (données entre 3 h et 10 h). Pour \(x = 7\) h, la production estimée est :

27,6 kWh 27,6 kWh — estimation fiable car 7 h est dans la plage [3 ; 10] 27,6 kWh — mais \(R^2 = 0{,}96\) signifie que l'ajustement est mauvais 29,4 kWh

Question 15

Analyse critique d'un modèle

Un modèle affine donne \(R^2 = 0{,}62\) sur une série de données. Quelle décision prendre ?

utiliser le modèle sans réserve pour faire des prévisions le modèle est parfait car \(R^2 > 0{,}5\) augmenter le nombre de données pour améliorer mécaniquement \(R^2\) l'ajustement est mauvais (\(R^2 < 0{,}70\)) ; envisager un autre type de modèle ou collecter plus de données