Statistique à deux variables | Première Bac Pro | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Capacités et connaissances du programme :
C1 — Représenter un nuage de points d’une série à deux variables quantitatives
C2 — Réaliser un ajustement affine et déterminer l’équation de la droite des moindres carrés
C3 — Déterminer le coefficient de détermination R² et évaluer la pertinence d’un ajustement
C4 — Interpoler ou extrapoler des valeurs à l’aide de la droite d’ajustement
C5 — Résoudre un problème complet (nuage, ajustement, R², prévision) en contexte professionnel, sans confondre corrélation et causalité
C1 — Représenter un nuage de points d'une série à deux variables quantitatives
Rappel de cours
Une série statistique à deux variables quantitatives associe à chaque individu un couple \((x_i\,;\,y_i)\). On représente ces couples dans un repère orthogonal : chaque point du nuage de points a pour abscisse \(x_i\) et pour ordonnée \(y_i\). Le choix des échelles et des graduations doit permettre une lecture claire.
Exercice 1
Suivre un petit mobile — Données d’entraînement.
On repère la position d’un petit mobile le long d’une règle au cours du temps.
Temps (s)
0
1
2
3
4
Position (cm)
10
31
49
72
90
Identifier les deux grandeurs et leurs unités. Choisir le temps pour \(x\) et la position pour \(y\). Écrire le couple correspondant à 2 s.
Saisir les temps dans une colonne ou liste X et les positions dans une colonne ou liste Y, en conservant chaque couple sur la même ligne. Afficher un nuage XY à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur. Relever les variables des deux axes et les limites d’affichage choisies.
Contrôler la position du point associé à 2 s sur l’écran. Reproduire ce point dans un petit repère gradué sur une feuille graphique et décrire l’évolution des positions.
Temps en secondes et position en centimètres ; le couple demandé est \((2\,;\,49)\).
X contient 0, 1, 2, 3, 4 ; Y contient 10, 31, 49, 72, 90. Le temps est sur l’axe horizontal, la position sur l’axe vertical. Une fenêtre possible est 0–4 s et 0–100 cm.
Le point doit être à l’abscisse 2 s et à l’ordonnée 49 cm. Les positions augmentent et les points sont presque alignés.Position (cm) en fonction de Temps (s).
Exercice 2
Une entreprise de peinture relève la consommation de peinture (en litres) en fonction de la surface traitée (en m²) :
Surface (m²)
5
10
15
20
25
30
Peinture (L)
0,8
1,5
2,4
3,1
3,9
4,5
Placer le nuage de points dans un repère adapté.
Les points semblent-ils alignés ?
Mon repère : nommer les axes et leurs unités, choisir les graduations, puis placer les points. Vérifier le nuage avec un outil numérique.
On place chaque couple \((x\,;\,y)\) dans un repère avec en abscisse la surface (de 0 à 35 m²) et en ordonnée la consommation (de 0 à 5 L).
Peinture (L) en fonction de Surface (m²).
Les points sont quasiment alignés : un ajustement affine semble pertinent.
Exercice 3
Une application de podomètre enregistre, pour six sorties à pied, le nombre de pas effectués et la distance parcourue, en mètres :
Nombre de pas
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
Distance (m)
1 400
2 900
4 200
5 700
7 100
8 500
Représenter le nuage de points.
Peut-on envisager un ajustement affine ? Justifier.
Mon repère : nommer les axes et leurs unités, choisir les graduations, puis placer les points. Vérifier le nuage avec un outil numérique.
On place les points dans un repère : en abscisse le nombre de pas (de 0 à 13 000), en ordonnée la distance (de 0 à 9 000 m).
Distance (m) en fonction du nombre de pas.
Oui, les points sont quasiment alignés. La distance augmente de façon presque linéaire avec le nombre de pas : un ajustement affine est pertinent. Ce n'est pas surprenant, la longueur d'un pas variant peu d'une sortie à l'autre pour une même personne.
Exercice 4
Un électricien relève le prix du mètre de câble en cuivre (en euros) sur 6 années :
Mon repère : nommer les axes et leurs unités, choisir les graduations, puis placer les points. Vérifier le nuage avec un outil numérique.
\(x_i\)
0
1
2
3
4
5
\(y_i\) (€/m)
1,20
1,35
1,55
1,70
1,80
1,95
On place les points dans un repère avec \(x_i\) en abscisse (de 0 à 6) et \(y_i\) en ordonnée (de 1 à 2,1).
Prix (€/m) en fonction de Rang : année − 2019.
Oui, les points sont presque alignés : un ajustement affine semble adapté.
Exercice 5
Conserver les couples lors d’un tri — Données d’entraînement.
Les relevés de batterie d’un appareil ont été notés dans le désordre. Chaque colonne correspond à un même relevé.
Durée (h)
0
3
1
4
2
Batterie (%)
100
70
91
60
79
Pour tracer le nuage, deux élèves rangent les valeurs ainsi :
Production A
Durée (h)
0
1
2
3
4
Batterie (%)
100
91
79
70
60
Production B
Durée (h)
0
1
2
3
4
Batterie (%)
60
70
79
91
100
Quelle production respecte les relevés initiaux ? Justifier à l’aide de deux couples.
Expliquer l’erreur de l’autre production. Reconstruire le nuage correct à l’outil numérique et le reproduire sur une feuille graphique. Indiquer la tendance observée.
A conserve tous les couples, notamment \((0\,;\,100)\) et \((3\,;\,70)\).
B trie les deux séries séparément : elle associe des valeurs qui ne correspondent plus au même relevé. Il faut déplacer chaque couple entier lors du tri. La batterie diminue lorsque la durée augmente.Batterie (%) en fonction de Durée (h).
C2 — Réaliser un ajustement affine et déterminer l'équation de la droite des moindres carrés
Rappel de cours
La méthode des moindres carrés fournit la droite \(y = ax + b\) qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites. En pratique, on utilise la calculatrice ou un tableur pour obtenir les coefficients \(a\) (pente) et \(b\) (ordonnée à l'origine). L'ajustement à réaliser (\(y\) en fonction de \(x\) ou \(x\) en fonction de \(y\)) est toujours indiqué.
Exercice 6
Obtenir une droite d’ajustement — Données d’entraînement.
On ajoute de l’eau à un récipient cylindrique contenant déjà un peu d’eau. On mesure la hauteur après chaque ajout cumulé.
Volume ajouté x (mL)
10
20
30
40
50
Hauteur y (cm)
2,1
3,2
4,1
5,3
6,3
Saisir les couples, afficher le nuage puis choisir la régression affine de \(y\) en \(x\) par les moindres carrés. Relever la forme d’équation utilisée par l’outil et les coefficients obtenus.
Écrire le modèle sous la forme \(y=ax+b\), en arrondissant les coefficients au millième. Préciser ce que représentent \(x\) et \(y\).
Utiliser ce modèle pour 30 mL. Comparer avec la hauteur du tableau et calculer l’écart absolu. La droite passe-t-elle nécessairement par chaque point ?
Choisir le volume comme variable explicative X et la hauteur comme Y. Dans la forme \(y=ax+b\), l’outil donne \(a=0{,}105\) et \(b=1{,}05\).
\(y\approx0{,}105x+1{,}050\), avec \(x\) en mL et \(y\) en cm.
Pour 30 mL, le modèle donne \(0{,}105\times30+1{,}050=4{,}20\) cm. La hauteur observée est 4,1 cm : écart 0,10 cm. Un ajustement ne passe pas nécessairement par tous les points.
Exercice 7
Reprenons les données de l'exercice 2 (consommation de peinture en fonction de la surface traitée). À l'aide de la calculatrice, on obtient la droite d'ajustement de \(y\) en \(x\) :
\[y \approx 0{,}151x + 0{,}060\]
Surface (m²)
5
10
15
20
25
30
Peinture (L)
0,8
1,5
2,4
3,1
3,9
4,5
Tracer cette droite sur le nuage de points.
Que représente le coefficient 0,151 dans le contexte ?
Que représente 0,060 ?
Mon repère : nommer les axes et leurs unités, choisir les graduations, puis placer les points. Vérifier le nuage avec un outil numérique.
On trace la droite passant par \((0\,;\,0{,}060)\) et par exemple \((30\,;\,4{,}59)\).
Peinture (L) en fonction de Surface (m²).
Le coefficient 0,151 est la pente : selon le modèle, chaque m² supplémentaire de surface est associé à environ 0,151 L de peinture en plus.
La valeur 0,060 est l'ordonnée à l'origine du modèle : elle donne une consommation théorique de 0,060 L pour une surface nulle. Comme \(x=0\) est hors de la plage observée, les données ne permettent pas de lui donner une interprétation matérielle certaine.
Exercice 8
Un traiteur relève le coût total d'une prestation (en euros) en fonction du nombre de tables dressées :
Nombre de tables \(x\)
2
4
6
8
10
Coût total \(y\) (€)
650
1 180
1 750
2 280
2 850
La calculatrice donne : \(y = 275x + 92\).
Vérifier que le point \((6\,;\,1\,750)\) est proche de la droite.
Interpréter les coefficients 275 et 92 dans le contexte.
Pour \(x = 6\) : \(y = 275 \times 6 + 92 = 1\,650 + 92 = 1\,742\). La valeur observée est 1 750 : l'écart est de 8 €, ce qui est très faible au regard du coût total. Le point est bien proche de la droite.
Le coefficient \(275\) signifie que, selon le modèle, une table supplémentaire est associée à environ 275 € de coût en plus. Le coefficient \(92\) est l'ordonnée à l'origine : il donne le coût théorique pour zéro table. Comme les observations commencent à deux tables, il ne suffit pas à établir que le traiteur supporte exactement 92 € de charges fixes.
Exercice 9
Une famille relève, sur cinq factures d'électricité, la consommation du mois et le montant payé :
Consommation \(x\) (kWh)
100
200
300
400
500
Montant \(y\) (€)
28
46
62
81
97
À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite d'ajustement de \(y\) en \(x\) par la méthode des moindres carrés.
En saisissant les données dans la calculatrice (mode Statistique à 2 variables), on obtient :
\[y = 0{,}173x + 10{,}9\]
Vérification : pour \(x = 300\), \(y = 0{,}173 \times 300 + 10{,}9 = 62{,}8\) €. La valeur observée est 62 € : l'écart est de 0,80 €. Interprétation : selon le modèle, chaque kilowattheure consommé coûte environ 0,173 €, et le montant comporte une part fixe d'environ 10,90 €, qui correspondrait à l'abonnement. Cette part fixe est une valeur du modèle : les relevés commencent à 100 kWh et ne permettent pas de la mesurer directement.
Exercice 10
Lire la forme de l’équation — Données d’entraînement.
On compare la taille de fichiers et leur durée de transfert dans les mêmes conditions.
Taille x (Mo)
10
20
30
40
Durée y (s)
3
5
7
9
Deux outils affichent les résultats suivants :
Outil A : forme \(y=ax+b\), avec \(a=0{,}2\) et \(b=1\).
Outil B : forme \(y=a+bx\), avec \(a=1\) et \(b=0{,}2\).
Écrire l’équation donnée par chaque outil. Les résultats sont-ils différents ?
Un élève lit la sortie B et écrit \(y=x+0{,}2\). Expliquer son erreur. Comparer les deux prévisions pour un fichier de 30 Mo avec la donnée du tableau.
A donne \(y=0{,}2x+1\) ; B donne \(y=1+0{,}2x\). C’est la même droite : il faut lire le rôle du coefficient dans la forme affichée.
L’élève a échangé la pente et l’ordonnée à l’origine. Le modèle correct donne \(0{,}2\times30+1=7\) s, comme le tableau ; sa formule donne 30,2 s.
C3 — Déterminer le coefficient de détermination \(R^2\) et évaluer la pertinence d'un ajustement
Rappel de cours
Le coefficient de détermination \(R^2\) est le carré du coefficient de corrélation linéaire. Il s'obtient par outil numérique (calculatrice ou tableur). On a \(0 \leqslant R^2 \leqslant 1\). Plus \(R^2\) est proche de 1, plus les points sont proches de la droite. Dans ce chapitre, \(R^2 \geqslant 0{,}90\) sert de repère pédagogique indicatif pour un ajustement très serré ; ce seuil n'est pas universel et l'évaluation dépend aussi du contexte, du domaine observé et des écarts à la droite. Attention : une forte corrélation ne signifie pas nécessairement une relation de cause à effet.
Exercice 11
Pour les données de l'exercice 2 (peinture / surface), la calculatrice affiche \(R^2 \approx 0{,}998\).
Surface (m²)
5
10
15
20
25
30
Peinture (L)
0,8
1,5
2,4
3,1
3,9
4,5
Surfaces observées : de 5 à 30 m². Afficher le nuage avec l’outil numérique pour appuyer le jugement.
Que peut-on dire de la qualité de l'ajustement affine ?
L'ajustement affine est-il pertinent pour prédire la consommation de peinture ?
\(R^2 \approx 0{,}998\) est très proche de 1 : l'ajustement affine est excellent. Les points du nuage sont quasiment alignés.
Oui, l'ajustement est pertinent pour prédire la consommation de peinture en fonction de la surface, dans la plage des données observées (5 à 30 m²).
Exercice 12
Un logement équipé d'un chauffage électrique et d'un climatiseur relève sa consommation mensuelle d'électricité, en kilowattheures, en fonction de la température extérieure moyenne du mois :
Température (°C)
0
5
10
15
20
25
30
Consommation (kWh)
420
310
220
180
210
300
410
La calculatrice donne \(R^2 \approx 0{,}002\) pour un ajustement affine.
Consommation (kWh) en fonction de la température extérieure (°C).
L'ajustement affine est-il pertinent ? Justifier.
Pourquoi ce résultat est-il prévisible au vu des données ?
\(R^2 \approx 0{,}002\) est très éloigné de 1 : l'ajustement affine n'est pas pertinent.
En observant les données, la consommation diminue puis augmente : la relation n'est pas linéaire, elle a une forme de « creux ». On chauffe quand il fait froid, on climatise quand il fait chaud, et la consommation est la plus basse aux températures moyennes. Une droite ne peut pas décrire cette forme. Attention : un \(R^2\) proche de zéro ne signifie pas qu'il n'existe aucun lien entre les deux grandeurs, mais que ce lien n'est pas affine.
Exercice 13
Un géomètre-topographe suit l'affaissement d'un terrain, en millimètres, sur deux parcelles voisines d'un même chantier. Les relevés sont faits tous les deux mois.
Mois \(x\)
0
2
4
6
8
10
Parcelle A (mm)
0
3
5
8
11
13
Parcelle B (mm)
0
6
9
10
10
10
Pour chaque parcelle, saisir les couples et réaliser l'ajustement affine de l'affaissement en fonction du temps. Relever \(R^2\) au millième.
Comparer les deux valeurs de \(R^2\). À partir de ce seul nombre, peut-on conclure que la droite convient dans les deux cas ?
Afficher les deux nuages. Décrire la forme de chacun. Pour quelle parcelle la droite décrit-elle mal les observations, et pourquoi ?
Le géomètre doit prévoir l'affaissement au quatorzième mois. Sur quelle parcelle cette prévision est-elle la plus risquée ? Justifier.
Parcelle A : \(y \approx 1{,}314x + 0{,}095\) et \(R^2 \approx 0{,}997\). Parcelle B : \(y = 0{,}9x + 3\) et \(R^2 \approx 0{,}713\).
Non. \(R^2 \approx 0{,}713\) n'est pas un petit nombre, et pourtant il ne suffit pas à valider la droite : il n'existe pas de seuil universel. \(R^2\) se lit toujours avec le nuage.
Parcelle A : affaissement (mm) en fonction du temps (mois).Parcelle B : affaissement (mm) en fonction du temps (mois).Le nuage de A est presque aligné et monte régulièrement. Celui de B monte vite au début, puis se stabilise à 10 mm : sa forme est une courbe qui s'aplatit. La droite décrit mal la parcelle B, car elle continue de monter là où les observations ne bougent plus.
Sur la parcelle B. Les deux prévisions sont des extrapolations, mais celle de B prolonge une droite qui ne correspond déjà plus aux derniers relevés : elle annoncerait environ \(0{,}9 \times 14 + 3 = 15{,}6\) mm alors que l'affaissement semble s'être arrêté vers 10 mm.
Exercice 14
Déterminer R² pour une tendance décroissante — Données d’entraînement.
On suit le refroidissement d’un liquide pendant huit minutes.
Temps x (min)
0
2
4
6
8
Température y (°C)
70
65
59
55
50
Saisir les couples et afficher le nuage. Décrire sa tendance, puis réaliser la régression affine de la température en fonction du temps.
Afficher le coefficient de détermination \(R^2\) et le relever au millième. Si l’outil affiche seulement le coefficient de corrélation \(r\), relever sa valeur et calculer son carré sans arrondir avant le calcul.
Un élève affirme : « La température diminue, donc R² doit être négatif. » Répondre et évaluer la pertinence de l’ajustement sur l’intervalle étudié. Peut-on conclure pour deux heures de refroidissement ?
Le nuage est presque aligné et décroissant. La régression donne \(y\approx-2{,}5x+69{,}8\).Température (°C) en fonction de Temps (min).
\(r\approx-0{,}998404\) et \(R^2\approx0{,}996810\), soit \(0{,}997\) au millième.
R² est un carré, donc il est positif ou nul. Le sens décroissant se lit sur le nuage, la pente négative ou le signe de r. R² proche de 1 et le nuage rendent l’ajustement pertinent sur 0–8 min. Deux heures correspondent à 120 min : cette extrapolation très lointaine n’est pas justifiée.
Exercice 15
Deux élèves étudient l'évolution du nombre de billets vendus par un cinéma en fonction des mois écoulés depuis janvier. Ils trouvent \(R^2 = 0{,}95\) et concluent : « Le passage des mois cause l'augmentation des ventes de billets. »
Cette conclusion est-elle correcte ? Expliquer.
Non, cette conclusion est incorrecte. Un coefficient \(R^2 = 0{,}95\) indique une forte corrélation entre les deux variables, mais corrélation n'implique pas causalité. De plus, \(R^2\) seul n’indique pas si les ventes augmentent ou diminuent : il faudrait connaître le nuage ou le signe de la pente. Si une augmentation est observée, elle peut être due à d'autres facteurs (films programmés, vacances scolaires, promotions, etc.). Le temps qui passe n'est pas en soi la cause des ventes.
C4 — Interpoler ou extrapoler des valeurs à l'aide de la droite d'ajustement
Rappel de cours
Interpoler : estimer une valeur \(y\) pour un \(x\) situé à l'intérieur de la plage des données observées. Extrapoler : estimer une valeur pour un \(x\) situé en dehors de cette plage. Une interpolation est généralement moins risquée qu'une extrapolation, mais sa qualité dépend encore de l'ajustement et du contexte.
Exercice 16
Lire une estimation sur une droite — Données d’entraînement.
Pour un même mode de déplacement, on étudie la durée de trajets comparables.
Distance x (km)
2
4
6
8
10
Durée y (min)
10
14,5
17
22,5
26
Le modèle est \(y=2x+6\). Le trait plein correspond au domaine observé, de 2 à 10 km ; les pointillés prolongent la droite au-delà.
Durée (min) en fonction de Distance (km).
Lire graphiquement la durée estimée pour 5 km. Expliquer le chemin de lecture sur les axes.
Lire graphiquement la distance correspondant à une durée estimée de 20 min, puis vérifier avec l’équation.
Calculer la durée prévue pour 14 km. Classer les trois estimations en interpolation ou extrapolation, puis préciser la limite de la dernière.
Partir de 5 km sur l’axe horizontal, rejoindre verticalement la droite, puis lire horizontalement l’ordonnée : environ 16 min.
Partir de 20 min sur l’axe vertical, rejoindre horizontalement la droite puis lire l’abscisse : environ 7 km. Vérification : \(2x+6=20\), donc \(x=7\).
\(2\times14+6=34\) min. Les estimations à 5 et 7 km sont des interpolations ; 14 km est une extrapolation. La validité de la relation au-delà de 10 km n’a pas été vérifiée.
Exercice 17
On reprend la droite d'ajustement de l'exercice 7 : \(y \approx 0{,}151x + 0{,}060\) (peinture en L, surface en m²).
Les surfaces observées vont de 5 à 30 m².
Estimer la consommation de peinture pour une surface de 12 m². S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
Estimer la consommation pour une surface de 50 m². S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? Cette estimation est-elle fiable ?
\(y \approx 0{,}151 \times 12 + 0{,}060 = 1{,}872\) L, soit environ 1,87 L.
12 m² est situé dans la plage observée de 5 à 30 m², entre les relevés de 10 et 15 m² : c'est une interpolation.
\(y \approx 0{,}151 \times 50 + 0{,}060 = 7{,}610\) L, soit environ 7,61 L.
50 m² est situé au-delà de 30 m² (dernière donnée) : c'est une extrapolation. Cette estimation est moins fiable car le modèle linéaire n'a pas été vérifié au-delà de 30 m².
Exercice 18
Un atelier d'arts graphiques facture l'impression d'affiches. Le coût total \(y\), en euros, est modélisé en fonction du nombre \(x\) d'affiches par la droite \(y = 0{,}45x + 25\).
Les commandes observées vont de 50 à 400 affiches.
Estimer le coût d'une commande de 250 affiches. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
Estimer le coût d'une commande de 600 affiches. Commenter la fiabilité de cette estimation.
Un client dispose de 130 €. Combien d'affiches peut-il commander au maximum selon le modèle ?
\(y = 0{,}45 \times 250 + 25 = 137{,}50\) €, soit 137,50 €.
250 est compris entre 50 et 400 : c'est une interpolation.
\(y = 0{,}45 \times 600 + 25 = 295\) €, soit 295 €.
600 dépasse la plus grande commande observée : c'est une extrapolation. L'estimation est peu fiable : sur de grandes quantités, le prix unitaire baisse souvent, et rien dans les relevés ne permet de le vérifier ici.
On résout \(0{,}45x + 25 = 130\), donc \(0{,}45x = 105\) et \(x = \dfrac{105}{0{,}45} \approx 233{,}3\).
Le nombre d'affiches est entier et le budget ne doit pas être dépassé : le client peut commander 233 affiches au maximum. Vérification : \(0{,}45 \times 233 + 25 = 129{,}85\) €.
Exercice 19
En travaux pratiques, on suspend des masses à un ressort et on mesure sa longueur. Les relevés sont modélisés par la droite \(y = 0{,}25x + 12\), où \(x\) est la masse suspendue en grammes et \(y\) la longueur du ressort en millimètres.
Les masses utilisées vont de 20 à 200 g. La droite est un ajustement statistique dans cette plage.
Estimer la longueur du ressort pour une masse de 80 g.
Estimer la longueur pour une masse de 500 g. Commenter la fiabilité.
Le ressort mesure 40 mm. Estimer la masse suspendue.
\(y = 0{,}25 \times 80 + 12 = 32\) mm. C'est une interpolation (80 g est dans la plage 20–200 g).
\(y = 0{,}25 \times 500 + 12 = 137\) mm. C'est une extrapolation (500 g est très au-delà de 200 g). La fiabilité est incertaine : au-delà d'une certaine charge, un ressort se déforme définitivement et cesse de s'allonger proportionnellement. Le modèle n'a pas été vérifié dans cette zone.
On résout \(0{,}25x + 12 = 40\) :
\(0{,}25x = 28\)
\(x = \dfrac{28}{0{,}25} = 112\) g.
C'est une interpolation (112 g est dans la plage). La masse estimée est d'environ 112 g.
Exercice 20
Reprenons les données du prix du câble en cuivre (exercice 4) avec la droite d'ajustement \(y \approx 0{,}150x + 1{,}217\) (où \(x = \text{année} - 2019\)).
Les relevés annuels couvrent 2019 à 2024, soit les rangs 0 à 5.
Estimer le prix du câble en 2025 (\(x = 6\)). Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
À l'aide de la droite, estimer en quelle année le prix atteindra 2,50 €/m.
\(y \approx 0{,}150 \times 6 + 1{,}217 = 2{,}117\) €/m, soit environ 2,12 €/m.
Les données vont de \(x = 0\) à \(x = 5\) : \(x = 6\) est en dehors de cette plage, c'est une extrapolation.
On résout \(0{,}150x + 1{,}217 = 2{,}50\) :
\(0{,}150x = 1{,}283\)
\(x = \dfrac{1{,}283}{0{,}150} \approx 8{,}55\)
Le modèle atteint le seuil pour un rang voisin de 8,55. Le premier rang annuel entier qui le dépasse est 9, soit 2028. Attention : cette extrapolation est lointaine (au-delà de la plage), donc peu fiable.
C5 — Résoudre un problème complet en contexte professionnel
Ce bloc réinvestit plusieurs capacités du chapitre dans des problèmes de synthèse.
Rappel de cours
Un problème complet de statistique à deux variables combine toutes les capacités : représenter le nuage, réaliser l'ajustement affine, déterminer \(R^2\) et évaluer le modèle avec le nuage, les écarts, le domaine observé et le contexte, puis utiliser la droite pour interpoler ou extrapoler. Toujours vérifier la cohérence du résultat dans le contexte professionnel.
Exercice 21
Un atelier de menuiserie relève le temps de ponçage, en minutes, en fonction de la surface poncée, en mètres carrés, sur des panneaux de même essence et de même finition.
Surface \(x\) (m²)
1
2
3
4
5
6
Temps \(y\) (min)
14
25
39
50
63
75
Vérification numérique : saisir le tableau, afficher le nuage, puis relever l'équation et \(R^2\) sur l'outil. Noter les résultats sur la feuille.
Représenter le nuage de points. Décrire sa tendance.
Déterminer l'équation de la droite d'ajustement et relever \(R^2\). L'ajustement est-il pertinent ? Justifier avec le nuage et avec \(R^2\).
Que représente le coefficient directeur dans le contexte de l'atelier ?
Estimer le temps de ponçage d'un panneau de 4,5 m². Interpolation ou extrapolation ?
Mon repère : nommer les axes et leurs unités, choisir les graduations, puis placer les points. Vérifier le nuage avec un outil numérique.
Temps de ponçage (min) en fonction de la surface (m²).Les points sont presque alignés et montent régulièrement : le temps augmente avec la surface.
La calculatrice donne \(y \approx 12{,}286x + 1{,}333\) et \(R^2 \approx 0{,}999\). \(R^2\) est très proche de 1 et le nuage est quasiment aligné : l'ajustement affine est pertinent sur la plage observée.
Selon le modèle, chaque mètre carré supplémentaire à poncer demande environ 12,3 minutes de plus. Ce n'est pas un temps garanti pour chaque panneau.
\(y \approx 12{,}286 \times 4{,}5 + 1{,}333 \approx 56{,}6\) min, soit environ 57 minutes. La valeur 4,5 m² est comprise entre 1 et 6 m² : c'est une interpolation.
Exercice 22
Une serre horticole relève la quantité de terreau utilisée (en kg) en fonction du nombre de petites jardinières comparables préparées :
Jardinières préparées
10
20
30
40
50
Terreau utilisé (kg)
1,8
3,2
4,9
6,3
8,1
Vérification numérique : saisir le tableau, afficher le nuage et retrouver l’équation et \(R^2\) fournis dans les questions. Relever les résultats sur la feuille.
Représenter le nuage de points.
La calculatrice donne \(y = 0{,}157x + 0{,}150\) et \(R^2 \approx 0{,}998\). Commenter.
Estimer la quantité de terreau pour 35 jardinières.
La serre dispose de 5 kg de terreau. Combien de jardinières peut-elle préparer au maximum selon le modèle ?
Mon repère : nommer les axes et leurs unités, choisir les graduations, puis placer les points. Vérifier le nuage avec un outil numérique.
Terreau (kg) en fonction de Nombre de jardinières.
\(R^2 \approx 0{,}998\) est quasiment égal à 1 : l'ajustement affine est excellent. La quantité de terreau augmente de façon presque linéaire avec le nombre de jardinières.
\(y = 0{,}157 \times 35 + 0{,}150 = 5{,}645\) kg.
35 jardinières est dans la plage (10–50) : interpolation. Le modèle estime environ 5,65 kg de terreau.
On résout \(0{,}157x + 0{,}150 = 5\) :
\(0{,}157x = 4{,}85\)
\(x = \dfrac{4{,}85}{0{,}157} \approx 30{,}9\)
Selon le modèle et en arrondissant à l'entier inférieur, la serre peut préparer au plus 30 jardinières sans dépasser 5 kg selon cette estimation. La quantité réelle peut varier ; ce maximum ne garantit pas chaque réalisation.
Exercice 23
Un atelier de réparation de vélos étudie la relation entre le nombre d'heures de travail et le nombre de vélos remis en service sur 6 mois :
Mois
1
2
3
4
5
6
Heures de travail \(x\)
80
120
150
180
210
250
Vélos remis en service \(y\)
18
28
34
40
48
56
Vérification numérique : saisir le tableau, afficher le nuage et retrouver l’équation et \(R^2\) fournis dans les questions. Relever les résultats sur la feuille.
Représenter le nuage de points.
La calculatrice donne \(y \approx 0{,}223x + 0{,}589\) avec \(R^2 \approx 0{,}998\). L'ajustement est-il pertinent ?
Estimer le nombre de vélos remis en service pour 200 heures de travail.
L'atelier souhaite remettre en service 70 vélos. Estimer le nombre d'heures nécessaires. Commenter.
Mon repère : nommer les axes et leurs unités, choisir les graduations, puis placer les points. Vérifier le nuage avec un outil numérique.
Vélos remis en service en fonction de Heures de travail (h).
\(R^2 \approx 0{,}998\) est très proche de 1 : l'ajustement affine est excellent. La relation est quasi linéaire.
\(y \approx 0{,}223 \times 200 + 0{,}589 = 45{,}189\).
200 h est dans la plage (80–250 h), c'est une interpolation. On estime environ 45 vélos.
On résout \(0{,}223x + 0{,}589 = 70\) :
\(0{,}223x = 69{,}411\)
\(x = \dfrac{69{,}411}{0{,}223} \approx 311\) h.
C'est une extrapolation (311 h dépasse les 250 h de la plage). L'estimation est à prendre avec prudence : au-delà d'un certain volume, des contraintes non représentées par les données peuvent rendre le modèle moins fiable.
Exercice 24
Une salle de spectacle relève le nombre mensuel de billets vendus en fonction du prix unitaire pratiqué :
Prix du billet (€)
40
45
50
55
60
65
70
Billets vendus
120
108
95
85
72
62
50
La calculatrice donne : \(y \approx -2{,}321x + 212{,}25\) avec \(R^2 \approx 0{,}999\).
Vérification numérique : saisir le tableau, afficher le nuage et retrouver l’équation et \(R^2\) fournis dans les questions. Relever les résultats sur la feuille.
\(R^2\) est-il satisfaisant ? Justifier.
Estimer le nombre de billets vendus pour un prix de 52 €.
À quel prix le modèle prévoit-il 30 billets vendus ? Commenter la fiabilité.
\(R^2 \approx 0{,}999\) est quasiment égal à 1 : l'ajustement affine est très bon. La relation entre prix et ventes est quasi linéaire sur cette plage.
\(y \approx -2{,}321 \times 52 + 212{,}25 = 91{,}558\), soit environ 92 billets.
52 € est dans la plage (40–70) : c'est une interpolation.
On résout \(-2{,}321x + 212{,}25 = 30\) :
\(2{,}321x = 182{,}25\)
\(x = \dfrac{182{,}25}{2{,}321} \approx 78{,}5\) €.
C'est une extrapolation (78,5 € dépasse la plage 40–70). Le modèle linéaire n'a pas été vérifié à ces prix : la baisse des ventes pourrait s'accélérer ou au contraire se stabiliser.
Exercice 25
Un technicien de maintenance suit la consommation de gaz d'un atelier, en mètres cubes, en fonction de la température extérieure moyenne de la semaine, en degrés Celsius.
Température \(x\) (°C)
2
4
6
8
10
12
Consommation \(y\) (m³)
310
268
232
196
158
118
Vérification numérique : saisir le tableau, afficher le nuage, puis relever l'équation et \(R^2\) sur l'outil. Noter les résultats sur la feuille.
Représenter le nuage de points et décrire sa tendance.
Déterminer l'équation de la droite d'ajustement et relever \(R^2\). Commenter la pertinence de l'ajustement.
Interpréter le coefficient directeur dans le contexte de l'atelier.
Estimer la consommation pour une semaine à 7 °C. Interpolation ou extrapolation ?
Le technicien veut prévoir la consommation d'une semaine à \(-5\) °C. Calculer l'estimation, puis expliquer pourquoi elle est risquée.
Selon le modèle, à partir de quelle température la consommation serait-elle nulle ? Que montre ce résultat sur les limites du modèle ?
Mon repère : nommer les axes et leurs unités, choisir les graduations, puis placer les points. Vérifier le nuage avec un outil numérique.
Consommation de gaz (m³) en fonction de la température extérieure (°C).Le nuage est presque aligné et descendant : plus il fait doux, moins l'atelier consomme.
\(y \approx -18{,}943x + 346{,}267\) et \(R^2 \approx 0{,}999\). Le nuage est quasiment aligné et \(R^2\) est très proche de 1 : l'ajustement est pertinent entre 2 et 12 °C. \(R^2\) reste positif bien que la pente soit négative : c'est un carré.
Selon le modèle, chaque degré gagné sur la température extérieure est associé à environ 19 m³ de gaz en moins sur la semaine.
\(y \approx -18{,}943 \times 7 + 346{,}267 \approx 214\) m³. La valeur 7 °C est comprise entre 2 et 12 °C : c'est une interpolation.
\(y \approx -18{,}943 \times (-5) + 346{,}267 \approx 441\) m³. C'est une extrapolation, et une extrapolation lointaine : \(-5\) °C est très en dehors de la plage 2–12 °C. De plus, la chaudière a une puissance maximale : au-delà d'un certain froid, la consommation ne peut plus augmenter proportionnellement.
On résout \(-18{,}943x + 346{,}267 = 0\), donc \(x = \dfrac{346{,}267}{18{,}943} \approx 18{,}3\) °C. Au-delà, le modèle donnerait une consommation négative, ce qui est impossible. Le modèle ne vaut que dans la plage observée ; il ne décrit pas le comportement de l'atelier par temps doux.