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Chapitre 1 – Exercices par capacités

Statistique à deux variables  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Représenter un nuage de points d'une série à deux variables quantitatives

Rappel de cours

Une série statistique à deux variables quantitatives associe à chaque individu un couple \((x_i\,;\,y_i)\). On représente ces couples dans un repère orthogonal : chaque point du nuage de points a pour abscisse \(x_i\) et pour ordonnée \(y_i\). Le choix des échelles et des graduations doit permettre une lecture claire.

Exercice 1

Un atelier de menuiserie relève la consommation de vernis (en litres) en fonction de la surface traitée (en m²) :

Surface (m²)51015202530
Vernis (L)0,81,52,43,13,94,5
  1. Placer le nuage de points dans un repère adapté.
  2. Les points semblent-ils alignés ?
  1. On place chaque couple \((x\,;\,y)\) dans un repère avec en abscisse la surface (de 0 à 35 m²) et en ordonnée la consommation (de 0 à 5 L). 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 Surface (m²) Vernis (L)
  2. Les points sont quasiment alignés : un ajustement affine semble pertinent.

Exercice 2

Un menuisier agenceur mesure le temps de pose (en minutes) de placards en fonction du nombre de modules :

Nombre de modules123456
Temps de pose (min)4580120155195230
  1. Représenter le nuage de points.
  2. Peut-on envisager un ajustement affine ? Justifier.
  1. On place les points dans un repère : en abscisse le nombre de modules (de 0 à 7), en ordonnée le temps (de 0 à 250 min). 0 1 2 3 4 5 6 0 50 100 150 200 250 Nombre de modules Temps (min)
  2. Oui, les points sont quasiment alignés. L'augmentation du temps semble proportionnelle au nombre de modules : un ajustement affine est pertinent.

Exercice 3

Un fournisseur de bois relève le prix du mètre linéaire de tasseau (en euros) sur 6 années :

Année201920202021202220232024
Prix (€/ml)1,201,351,551,701,801,95

On pose \(x_i = \text{année} - 2019\) (ainsi \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\), etc.).

  1. Recopier le tableau avec les valeurs de \(x_i\).
  2. Représenter le nuage de points \((x_i\,;\,y_i)\).
  3. Un ajustement affine semble-t-il adapté ?
  1. \(x_i\)012345
    \(y_i\) (€/ml)1,201,351,551,701,801,95
  2. On place les points dans un repère avec \(x_i\) en abscisse (de 0 à 6) et \(y_i\) en ordonnée (de 1 à 2,1). 0 1 2 3 4 5 1,0 1,5 2,0 Rang (x = année − 2019)
  3. Oui, les points sont presque alignés : un ajustement affine semble adapté.

C2 — Réaliser un ajustement affine et déterminer l'équation de la droite des moindres carrés

Rappel de cours

La méthode des moindres carrés fournit la droite \(y = ax + b\) qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites. En pratique, on utilise la calculatrice ou un tableur pour obtenir les coefficients \(a\) (pente) et \(b\) (ordonnée à l'origine). L'ajustement à réaliser (\(y\) en fonction de \(x\) ou \(x\) en fonction de \(y\)) est toujours indiqué.

Exercice 4

Reprenons les données de l'exercice 1 (consommation de vernis en fonction de la surface traitée). À l'aide de la calculatrice, on obtient la droite d'ajustement de \(y\) en \(x\) :

\[y = 0{,}15x + 0{,}05\]

  1. Tracer cette droite sur le nuage de points.
  2. Que représente le coefficient 0,15 dans le contexte ?
  3. Que représente 0,05 ?
  1. On trace la droite passant par \((0\,;\,0{,}05)\) et par exemple \((30\,;\,4{,}55)\). 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 y = 0,15x + 0,05
  2. Le coefficient 0,15 est la pente : chaque m² supplémentaire de surface consomme environ 0,15 L de vernis.
  3. La valeur 0,05 est l'ordonnée à l'origine : c'est la consommation théorique pour une surface nulle (en pratique, quasi nulle).

Exercice 5

Un atelier d'agencement relève le coût de production (en euros) de cuisines en fonction du nombre de meubles fabriqués :

Nombre de meubles \(x\)246810
Coût total \(y\) (€)6501 1801 7502 2802 850

La calculatrice donne : \(y = 275x + 95\).

  1. Vérifier que le point \((6\,;\,1\,750)\) est proche de la droite.
  2. Interpréter les coefficients 275 et 95 dans le contexte.
  1. Pour \(x = 6\) : \(y = 275 \times 6 + 95 = 1\,650 + 95 = 1\,745\). La valeur observée est 1 750 : l'écart est de 5 €, ce qui est très faible. Le point est bien proche de la droite.
  2. Le coefficient \(275\) signifie que chaque meuble supplémentaire coûte environ 275 € de plus en production. Le coefficient \(95\) représente le coût fixe de l'atelier (charges incompressibles).

Exercice 6

Un menuisier agenceur relève la durée de fabrication (en heures) de lots d'étagères sur mesure en fonction du nombre de tablettes :

Tablettes \(x\)357912
Durée \(y\) (h)2,53,85,26,58,4

À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite d'ajustement de \(y\) en \(x\) par la méthode des moindres carrés.

En saisissant les données dans la calculatrice (mode Statistique à 2 variables), on obtient :
\[y \approx 0{,}66x + 0{,}56\] Vérification : pour \(x = 7\), \(y = 0{,}66 \times 7 + 0{,}56 = 4{,}62 + 0{,}56 = 5{,}18\). La valeur observée est 5,2 : l'écart est faible (0,02 h soit environ 1 min).
Interprétation : chaque tablette supplémentaire ajoute environ 0,66 h (soit ~40 min) au temps de fabrication.

C3 — Déterminer le coefficient de détermination \(R^2\) et évaluer la pertinence d'un ajustement

Rappel de cours

Le coefficient de détermination \(R^2\) est le carré du coefficient de corrélation linéaire. Il s'obtient par outil numérique (calculatrice ou tableur). On a \(0 \leqslant R^2 \leqslant 1\). Plus \(R^2\) est proche de 1, meilleur est l'ajustement affine. En pratique, si \(R^2 > 0{,}9\), l'ajustement est considéré comme bon. Attention : une forte corrélation ne signifie pas nécessairement une relation de cause à effet.

Exercice 7

Pour les données de l'exercice 1 (vernis / surface), la calculatrice affiche \(R^2 = 0{,}998\).

  1. Que peut-on dire de la qualité de l'ajustement affine ?
  2. L'ajustement affine est-il pertinent pour prédire la consommation de vernis ?
  1. \(R^2 = 0{,}998\) est très proche de 1 : l'ajustement affine est excellent. Les points du nuage sont quasiment alignés.
  2. Oui, l'ajustement est pertinent pour prédire la consommation de vernis en fonction de la surface, dans la plage des données observées (5 à 30 m²).

Exercice 8

Un atelier de menuiserie relève le taux de défauts (en %) en fonction de la température de l'atelier (en °C) :

Température (°C)151820222528
Taux de défauts (%)853469

La calculatrice donne \(R^2 = 0{,}12\) pour un ajustement affine.

  1. L'ajustement affine est-il pertinent ? Justifier.
  2. Pourquoi ce résultat est-il prévisible au vu des données ?
  1. \(R^2 = 0{,}12\) est très éloigné de 1 : l'ajustement affine n'est pas pertinent.
  2. En observant les données, le taux de défauts diminue puis augmente : la relation n'est pas linéaire (elle a une forme de « creux »). Un modèle affine ne convient pas dans ce cas.

Exercice 9

Deux élèves étudient l'évolution du nombre de vis vendues par un grossiste en fonction des mois écoulés depuis janvier. Ils trouvent \(R^2 = 0{,}95\) et concluent : « Le passage des mois cause l'augmentation des ventes de vis. »

Cette conclusion est-elle correcte ? Expliquer.

Non, cette conclusion est incorrecte. Un coefficient \(R^2 = 0{,}95\) indique une forte corrélation entre les deux variables, mais corrélation n'implique pas causalité. L'augmentation des ventes peut être due à d'autres facteurs (saisonnalité des chantiers, promotions commerciales, croissance du marché, etc.). Le temps qui passe n'est pas en soi la cause des ventes.

C4 — Interpoler ou extrapoler des valeurs à l'aide de la droite d'ajustement

Rappel de cours

Interpoler : estimer une valeur \(y\) pour un \(x\) situé à l'intérieur de la plage des données observées. Extrapoler : estimer une valeur pour un \(x\) situé en dehors de cette plage. L'extrapolation est moins fiable que l'interpolation car rien ne garantit que le modèle reste valable au-delà des données.

Exercice 10

On reprend la droite d'ajustement de l'exercice 4 : \(y = 0{,}15x + 0{,}05\) (vernis en L, surface en m²).

  1. Estimer la consommation de vernis pour une surface de 12 m². S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
  2. Estimer la consommation pour une surface de 50 m². S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? Cette estimation est-elle fiable ?
  1. \(y = 0{,}15 \times 12 + 0{,}05 = 1{,}80 + 0{,}05 = 1{,}85\) L.
    12 m² est situé entre 10 et 15 (plage des données) : c'est une interpolation.
  2. \(y = 0{,}15 \times 50 + 0{,}05 = 7{,}50 + 0{,}05 = 7{,}55\) L.
    50 m² est situé au-delà de 30 m² (dernière donnée) : c'est une extrapolation. Cette estimation est moins fiable car le modèle linéaire n'a pas été vérifié au-delà de 30 m².

Exercice 11

Reprenons les données du prix du tasseau (exercice 3) avec la droite d'ajustement \(y = 0{,}148x + 1{,}19\) (où \(x = \text{année} - 2019\)).

  1. Estimer le prix du tasseau en 2025 (\(x = 6\)). Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
  2. À l'aide de la droite, estimer en quelle année le prix atteindra 2,50 €/ml.
  1. \(y = 0{,}148 \times 6 + 1{,}19 = 0{,}888 + 1{,}19 = 2{,}08\) €/ml.
    Les données vont de \(x = 0\) à \(x = 5\) : \(x = 6\) est en dehors de cette plage, c'est une extrapolation.
  2. On résout \(0{,}148x + 1{,}19 = 2{,}50\) :
    \(0{,}148x = 1{,}31\)
    \(x = \dfrac{1{,}31}{0{,}148} \approx 8{,}85\)
    Année estimée : \(2019 + 9 = 2028\).
    Attention : cette extrapolation est lointaine (au-delà de la plage), donc peu fiable.

Exercice 12

Un menuisier modélise le poids (en kg) de panneaux de MDF en fonction de leur épaisseur (en mm) par la droite \(y = 0{,}72x + 0{,}5\) (valable pour des épaisseurs de 3 à 22 mm).

  1. Estimer le poids d'un panneau de 10 mm d'épaisseur.
  2. Estimer le poids d'un panneau de 40 mm. Commenter la fiabilité.
  3. Un panneau pèse 12 kg. Estimer son épaisseur.
  1. \(y = 0{,}72 \times 10 + 0{,}5 = 7{,}7\) kg. C'est une interpolation (10 mm est dans la plage 3–22 mm).
  2. \(y = 0{,}72 \times 40 + 0{,}5 = 29{,}3\) kg. C'est une extrapolation (40 mm est très au-delà de 22 mm). La fiabilité est incertaine : la densité ou la structure du panneau peut changer pour de fortes épaisseurs.
  3. On résout \(0{,}72x + 0{,}5 = 12\) :
    \(0{,}72x = 11{,}5\)
    \(x = \dfrac{11{,}5}{0{,}72} \approx 15{,}97 \approx 16\) mm.
    C'est une interpolation (16 mm est dans la plage). L'épaisseur estimée est d'environ 16 mm.

C5 — Résoudre un problème complet en contexte professionnel

Rappel de cours

Un problème complet de statistique à deux variables combine toutes les capacités : représenter le nuage, réaliser l'ajustement affine, calculer \(R^2\) pour valider le modèle, puis utiliser la droite pour interpoler ou extrapoler. Toujours vérifier la cohérence du résultat dans le contexte professionnel.

Exercice 13

Un atelier de menuiserie-agencement étudie la relation entre le nombre d'heures de travail et le nombre de portes de placard livrées sur 6 mois :

Mois123456
Heures de travail \(x\)80120150180210250
Portes livrées \(y\)182834404856
  1. Représenter le nuage de points.
  2. La calculatrice donne \(y = 0{,}224x + 0{,}5\) avec \(R^2 = 0{,}999\). L'ajustement est-il pertinent ?
  3. Estimer le nombre de portes livrées pour 200 heures de travail.
  4. L'atelier souhaite livrer 70 portes. Estimer le nombre d'heures nécessaires. Commenter.
  1. 0 50 100 150 200 250 0 10 20 30 40 50 60 Heures de travail Portes livrées
  2. \(R^2 = 0{,}999\) est très proche de 1 : l'ajustement affine est excellent. La relation est quasi linéaire.
  3. \(y = 0{,}224 \times 200 + 0{,}5 = 44{,}8 + 0{,}5 = 45{,}3\).
    200 h est dans la plage (80–250 h), c'est une interpolation. On estime environ 45 portes.
  4. On résout \(0{,}224x + 0{,}5 = 70\) :
    \(0{,}224x = 69{,}5\)
    \(x = \dfrac{69{,}5}{0{,}224} \approx 310\) h.
    C'est une extrapolation (310 h dépasse les 250 h de la plage). L'estimation est à prendre avec prudence : au-delà d'un certain volume, il peut y avoir des contraintes (fatigue, capacité de l'atelier) qui rendent le modèle moins fiable.

Exercice 14

Un fournisseur de panneaux de bois relève les ventes mensuelles (en m³) en fonction du prix unitaire (en €/m³) pratiqué :

Prix (€/m³)40455055606570
Ventes (m³)1201089585726250

La calculatrice donne : \(y = -2{,}32x + 212\) avec \(R^2 = 0{,}998\).

  1. \(R^2\) est-il satisfaisant ? Justifier.
  2. Estimer les ventes pour un prix de 52 €/m³.
  3. À quel prix les ventes tombent-elles à 30 m³ ? Commenter la fiabilité.
  1. \(R^2 = 0{,}998\) est quasiment égal à 1 : l'ajustement affine est très bon. La relation entre prix et ventes est quasi linéaire sur cette plage.
  2. \(y = -2{,}32 \times 52 + 212 = -120{,}64 + 212 = 91{,}36 \approx 91\) m³.
    52 €/m³ est dans la plage (40–70) : c'est une interpolation.
  3. On résout \(-2{,}32x + 212 = 30\) :
    \(-2{,}32x = -182\)
    \(x = \dfrac{182}{2{,}32} \approx 78{,}4\) €/m³.
    C'est une extrapolation (78,4 € dépasse la plage 40–70). Le modèle linéaire n'a pas été vérifié à ces prix : en réalité, la baisse des ventes pourrait s'accélérer ou au contraire se stabiliser.

Exercice 15

Un menuisier agenceur relève la quantité de colle utilisée (en kg) en fonction du nombre de panneaux assemblés lors de chantiers :

Panneaux assemblés1020304050
Colle utilisée (kg)1,83,24,96,38,1
  1. Représenter le nuage de points.
  2. La calculatrice donne \(y = 0{,}157x + 0{,}17\) et \(R^2 = 0{,}998\). Commenter.
  3. Estimer la quantité de colle pour 35 panneaux.
  4. Un chantier dispose de 5 kg de colle. Combien de panneaux peut-on assembler au maximum ?
  1. 0 10 20 30 40 50 0 2 4 6 8
  2. \(R^2 = 0{,}998\) est quasiment égal à 1 : l'ajustement affine est excellent. La quantité de colle est quasi proportionnelle au nombre de panneaux.
  3. \(y = 0{,}157 \times 35 + 0{,}17 = 5{,}495 + 0{,}17 = 5{,}67\) kg.
    35 panneaux est dans la plage (10–50) : interpolation. Il faut environ 5,7 kg de colle.
  4. On résout \(0{,}157x + 0{,}17 = 5\) :
    \(0{,}157x = 4{,}83\)
    \(x = \dfrac{4{,}83}{0{,}157} \approx 30{,}8\)
    On arrondit à l'entier inférieur : on peut assembler au maximum 30 panneaux avec 5 kg de colle.