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Chapitre 1 – Exercices par capacités

Statistique à deux variables  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 29 juillet 2026

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Représenter un nuage de points d'une série à deux variables quantitatives

Rappel de cours

Une série statistique à deux variables quantitatives associe à chaque individu un couple \((x_i\,;\,y_i)\). On représente ces couples dans un repère orthogonal : chaque point du nuage de points a pour abscisse \(x_i\) et pour ordonnée \(y_i\). Le choix des échelles et des graduations doit permettre une lecture claire.

Exercice 1

Une entreprise de peinture relève la consommation de peinture (en litres) en fonction de la surface traitée (en m²) :

Surface (m²)51015202530
Peinture (L)0,81,52,43,13,94,5
  1. Placer le nuage de points dans un repère adapté.
  2. Les points semblent-ils alignés ?
  1. On place chaque couple \((x\,;\,y)\) dans un repère avec en abscisse la surface (de 0 à 35 m²) et en ordonnée la consommation (de 0 à 5 L). 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 Surface (m²) Peinture (L)
  2. Les points sont quasiment alignés : un ajustement affine semble pertinent.

Exercice 2

Un technicien photovoltaïque mesure le temps d'installation (en minutes) d'une rangée de panneaux en fonction du nombre de modules :

Nombre de modules123456
Temps d'installation (min)4580120155195230
  1. Représenter le nuage de points.
  2. Peut-on envisager un ajustement affine ? Justifier.
  1. On place les points dans un repère : en abscisse le nombre de modules (de 0 à 7), en ordonnée le temps (de 0 à 250 min). 0 1 2 3 4 5 6 0 50 100 150 200 250 Nombre de modules Temps (min)
  2. Oui, les points sont quasiment alignés. Le temps augmente de façon presque linéaire avec le nombre de modules : un ajustement affine est pertinent.

Exercice 3

Un électricien relève le prix du mètre de câble en cuivre (en euros) sur 6 années :

Année201920202021202220232024
Prix (€/m)1,201,351,551,701,801,95

On pose \(x_i = \text{année} - 2019\) (ainsi \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\), etc.).

  1. Recopier le tableau avec les valeurs de \(x_i\).
  2. Représenter le nuage de points \((x_i\,;\,y_i)\).
  3. Un ajustement affine semble-t-il adapté ?
  1. \(x_i\)012345
    \(y_i\) (€/m)1,201,351,551,701,801,95
  2. On place les points dans un repère avec \(x_i\) en abscisse (de 0 à 6) et \(y_i\) en ordonnée (de 1 à 2,1). 0 1 2 3 4 5 1,0 1,5 2,0 Rang (x = année − 2019)
  3. Oui, les points sont presque alignés : un ajustement affine semble adapté.

C2 — Réaliser un ajustement affine et déterminer l'équation de la droite des moindres carrés

Rappel de cours

La méthode des moindres carrés fournit la droite \(y = ax + b\) qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites. En pratique, on utilise la calculatrice ou un tableur pour obtenir les coefficients \(a\) (pente) et \(b\) (ordonnée à l'origine). L'ajustement à réaliser (\(y\) en fonction de \(x\) ou \(x\) en fonction de \(y\)) est toujours indiqué.

Exercice 4

Reprenons les données de l'exercice 1 (consommation de peinture en fonction de la surface traitée). À l'aide de la calculatrice, on obtient la droite d'ajustement de \(y\) en \(x\) :

\[y \approx 0{,}151x + 0{,}060\]

  1. Tracer cette droite sur le nuage de points.
  2. Que représente le coefficient 0,151 dans le contexte ?
  3. Que représente 0,060 ?
  1. On trace la droite passant par \((0\,;\,0{,}060)\) et par exemple \((30\,;\,4{,}59)\). 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 y ≈ 0,151x + 0,060
  2. Le coefficient 0,151 est la pente : selon le modèle, chaque m² supplémentaire de surface est associé à environ 0,151 L de peinture en plus.
  3. La valeur 0,060 est l'ordonnée à l'origine du modèle : elle donne une consommation théorique de 0,060 L pour une surface nulle. Comme \(x=0\) est hors de la plage observée, les données ne permettent pas de lui donner une interprétation matérielle certaine.

Exercice 5

Un traiteur relève le coût total d'une prestation (en euros) en fonction du nombre de tables dressées :

Nombre de tables \(x\)246810
Coût total \(y\) (€)6501 1801 7502 2802 850

La calculatrice donne : \(y = 275x + 92\).

  1. Vérifier que le point \((6\,;\,1\,750)\) est proche de la droite.
  2. Interpréter les coefficients 275 et 92 dans le contexte.
  1. Pour \(x = 6\) : \(y = 275 \times 6 + 92 = 1\,650 + 92 = 1\,742\). La valeur observée est 1 750 : l'écart est de 8 €, ce qui est très faible au regard du coût total. Le point est bien proche de la droite.
  2. Le coefficient \(275\) signifie que, selon le modèle, une table supplémentaire est associée à environ 275 € de coût en plus. Le coefficient \(92\) est l'ordonnée à l'origine : il donne le coût théorique pour zéro table. Comme les observations commencent à deux tables, il ne suffit pas à établir que le traiteur supporte exactement 92 € de charges fixes.

Exercice 6

Un centre logistique relève la durée de préparation (en heures) de lots de commandes en fonction du nombre de palettes :

Palettes \(x\)357912
Durée \(y\) (h)2,53,85,26,58,4

À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite d'ajustement de \(y\) en \(x\) par la méthode des moindres carrés.

En saisissant les données dans la calculatrice (mode Statistique à 2 variables), on obtient :
\[y \approx 0{,}658x + 0{,}541\] Vérification : pour \(x = 7\), \(y \approx 0{,}658 \times 7 + 0{,}541 = 5{,}147\). La valeur observée est 5,2 : l'écart est faible (environ 0,053 h, soit 3 min).
Interprétation : selon le modèle, chaque palette supplémentaire est associée à environ 0,658 h (soit environ 39 min) de préparation en plus.

C3 — Déterminer le coefficient de détermination \(R^2\) et évaluer la pertinence d'un ajustement

Rappel de cours

Le coefficient de détermination \(R^2\) est le carré du coefficient de corrélation linéaire. Il s'obtient par outil numérique (calculatrice ou tableur). On a \(0 \leqslant R^2 \leqslant 1\). Plus \(R^2\) est proche de 1, meilleur est l'ajustement affine. En pratique, si \(R^2 > 0{,}9\), l'ajustement est considéré comme bon. Attention : une forte corrélation ne signifie pas nécessairement une relation de cause à effet.

Exercice 7

Pour les données de l'exercice 1 (peinture / surface), la calculatrice affiche \(R^2 = 0{,}998\).

  1. Que peut-on dire de la qualité de l'ajustement affine ?
  2. L'ajustement affine est-il pertinent pour prédire la consommation de peinture ?
  1. \(R^2 = 0{,}998\) est très proche de 1 : l'ajustement affine est excellent. Les points du nuage sont quasiment alignés.
  2. Oui, l'ajustement est pertinent pour prédire la consommation de peinture en fonction de la surface, dans la plage des données observées (5 à 30 m²).

Exercice 8

Un laboratoire agroalimentaire relève le taux de produits non conformes (en %) en fonction de la température de la zone de production (en °C) :

Température (°C)151820222528
Taux de non-conformité (%)853469

La calculatrice donne \(R^2 \approx 0{,}060\) pour un ajustement affine.

  1. L'ajustement affine est-il pertinent ? Justifier.
  2. Pourquoi ce résultat est-il prévisible au vu des données ?
  1. \(R^2 \approx 0{,}060\) est très éloigné de 1 : l'ajustement affine n'est pas pertinent.
  2. En observant les données, le taux de non-conformité diminue puis augmente : la relation n'est pas linéaire (elle a une forme de « creux »). Un modèle affine ne convient pas dans ce cas.

Exercice 9

Deux élèves étudient l'évolution du nombre de billets vendus par un cinéma en fonction des mois écoulés depuis janvier. Ils trouvent \(R^2 = 0{,}95\) et concluent : « Le passage des mois cause l'augmentation des ventes de billets. »

Cette conclusion est-elle correcte ? Expliquer.

Non, cette conclusion est incorrecte. Un coefficient \(R^2 = 0{,}95\) indique une forte corrélation entre les deux variables, mais corrélation n'implique pas causalité. L'augmentation des ventes peut être due à d'autres facteurs (films programmés, vacances scolaires, promotions, etc.). Le temps qui passe n'est pas en soi la cause des ventes.

C4 — Interpoler ou extrapoler des valeurs à l'aide de la droite d'ajustement

Rappel de cours

Interpoler : estimer une valeur \(y\) pour un \(x\) situé à l'intérieur de la plage des données observées. Extrapoler : estimer une valeur pour un \(x\) situé en dehors de cette plage. L'extrapolation est moins fiable que l'interpolation car rien ne garantit que le modèle reste valable au-delà des données.

Exercice 10

On reprend la droite d'ajustement de l'exercice 4 : \(y \approx 0{,}151x + 0{,}060\) (peinture en L, surface en m²).

  1. Estimer la consommation de peinture pour une surface de 12 m². S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
  2. Estimer la consommation pour une surface de 50 m². S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? Cette estimation est-elle fiable ?
  1. \(y \approx 0{,}151 \times 12 + 0{,}060 = 1{,}872\) L, soit environ 1,87 L.
    12 m² est situé entre 10 et 15 (plage des données) : c'est une interpolation.
  2. \(y \approx 0{,}151 \times 50 + 0{,}060 = 7{,}610\) L, soit environ 7,61 L.
    50 m² est situé au-delà de 30 m² (dernière donnée) : c'est une extrapolation. Cette estimation est moins fiable car le modèle linéaire n'a pas été vérifié au-delà de 30 m².

Exercice 11

Reprenons les données du prix du câble en cuivre (exercice 3) avec la droite d'ajustement \(y \approx 0{,}150x + 1{,}217\) (où \(x = \text{année} - 2019\)).

  1. Estimer le prix du câble en 2025 (\(x = 6\)). Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
  2. À l'aide de la droite, estimer en quelle année le prix atteindra 2,50 €/m.
  1. \(y \approx 0{,}150 \times 6 + 1{,}217 = 2{,}117\) €/m, soit environ 2,12 €/m.
    Les données vont de \(x = 0\) à \(x = 5\) : \(x = 6\) est en dehors de cette plage, c'est une extrapolation.
  2. On résout \(0{,}150x + 1{,}217 = 2{,}50\) :
    \(0{,}150x = 1{,}283\)
    \(x = \dfrac{1{,}283}{0{,}150} \approx 8{,}55\)
    Le seuil serait atteint vers la fin de 2027 ; au premier rang annuel entier, l'estimation est 2028.
    Attention : cette extrapolation est lointaine (au-delà de la plage), donc peu fiable.

Exercice 12

Un technicien du bâtiment modélise la masse (en kg) de plaques isolantes en fonction de leur épaisseur (en mm) par la droite \(y = 0{,}72x + 0{,}5\) (valable pour des épaisseurs de 3 à 22 mm).

  1. Estimer la masse d'une plaque de 10 mm d'épaisseur.
  2. Estimer la masse d'une plaque de 40 mm. Commenter la fiabilité.
  3. Une plaque pèse 12 kg. Estimer son épaisseur.
  1. \(y = 0{,}72 \times 10 + 0{,}5 = 7{,}7\) kg. C'est une interpolation (10 mm est dans la plage 3–22 mm).
  2. \(y = 0{,}72 \times 40 + 0{,}5 = 29{,}3\) kg. C'est une extrapolation (40 mm est très au-delà de 22 mm). La fiabilité est incertaine : la densité ou la structure de la plaque peut changer pour de fortes épaisseurs.
  3. On résout \(0{,}72x + 0{,}5 = 12\) :
    \(0{,}72x = 11{,}5\)
    \(x = \dfrac{11{,}5}{0{,}72} \approx 15{,}97 \approx 16\) mm.
    C'est une interpolation (16 mm est dans la plage). L'épaisseur estimée est d'environ 16 mm.

C5 — Résoudre un problème complet en contexte professionnel

Rappel de cours

Un problème complet de statistique à deux variables combine toutes les capacités : représenter le nuage, réaliser l'ajustement affine, calculer \(R^2\) pour valider le modèle, puis utiliser la droite pour interpoler ou extrapoler. Toujours vérifier la cohérence du résultat dans le contexte professionnel.

Exercice 13

Un atelier de réparation de vélos étudie la relation entre le nombre d'heures de travail et le nombre de vélos remis en service sur 6 mois :

Mois123456
Heures de travail \(x\)80120150180210250
Vélos remis en service \(y\)182834404856
  1. Représenter le nuage de points.
  2. La calculatrice donne \(y \approx 0{,}223x + 0{,}589\) avec \(R^2 \approx 0{,}998\). L'ajustement est-il pertinent ?
  3. Estimer le nombre de vélos remis en service pour 200 heures de travail.
  4. L'atelier souhaite remettre en service 70 vélos. Estimer le nombre d'heures nécessaires. Commenter.
  1. 0 50 100 150 200 250 0 10 20 30 40 50 60 Heures de travail Vélos réparés
  2. \(R^2 \approx 0{,}998\) est très proche de 1 : l'ajustement affine est excellent. La relation est quasi linéaire.
  3. \(y \approx 0{,}223 \times 200 + 0{,}589 = 45{,}189\).
    200 h est dans la plage (80–250 h), c'est une interpolation. On estime environ 45 vélos.
  4. On résout \(0{,}223x + 0{,}589 = 70\) :
    \(0{,}223x = 69{,}411\)
    \(x = \dfrac{69{,}411}{0{,}223} \approx 311\) h.
    C'est une extrapolation (311 h dépasse les 250 h de la plage). L'estimation est à prendre avec prudence : au-delà d'un certain volume, des contraintes non représentées par les données peuvent rendre le modèle moins fiable.

Exercice 14

Une salle de spectacle relève le nombre mensuel de billets vendus en fonction du prix unitaire pratiqué :

Prix du billet (€)40455055606570
Billets vendus1201089585726250

La calculatrice donne : \(y \approx -2{,}321x + 212{,}25\) avec \(R^2 \approx 0{,}999\).

  1. \(R^2\) est-il satisfaisant ? Justifier.
  2. Estimer le nombre de billets vendus pour un prix de 52 €.
  3. À quel prix le modèle prévoit-il 30 billets vendus ? Commenter la fiabilité.
  1. \(R^2 \approx 0{,}999\) est quasiment égal à 1 : l'ajustement affine est très bon. La relation entre prix et ventes est quasi linéaire sur cette plage.
  2. \(y \approx -2{,}321 \times 52 + 212{,}25 = 91{,}558\), soit environ 92 billets.
    52 € est dans la plage (40–70) : c'est une interpolation.
  3. On résout \(-2{,}321x + 212{,}25 = 30\) :
    \(2{,}321x = 182{,}25\)
    \(x = \dfrac{182{,}25}{2{,}321} \approx 78{,}5\) €.
    C'est une extrapolation (78,5 € dépasse la plage 40–70). Le modèle linéaire n'a pas été vérifié à ces prix : la baisse des ventes pourrait s'accélérer ou au contraire se stabiliser.

Exercice 15

Une serre horticole relève la quantité de terreau utilisée (en kg) en fonction du nombre de jardinières préparées :

Jardinières préparées1020304050
Terreau utilisé (kg)1,83,24,96,38,1
  1. Représenter le nuage de points.
  2. La calculatrice donne \(y = 0{,}157x + 0{,}150\) et \(R^2 \approx 0{,}998\). Commenter.
  3. Estimer la quantité de terreau pour 35 jardinières.
  4. La serre dispose de 5 kg de terreau. Combien de jardinières peut-elle préparer au maximum selon le modèle ?
  1. 0 10 20 30 40 50 0 2 4 6 8
  2. \(R^2 \approx 0{,}998\) est quasiment égal à 1 : l'ajustement affine est excellent. La quantité de terreau augmente de façon presque linéaire avec le nombre de jardinières.
  3. \(y = 0{,}157 \times 35 + 0{,}150 = 5{,}645\) kg.
    35 jardinières est dans la plage (10–50) : interpolation. Le modèle estime environ 5,65 kg de terreau.
  4. On résout \(0{,}157x + 0{,}150 = 5\) :
    \(0{,}157x = 4{,}85\)
    \(x = \dfrac{4{,}85}{0{,}157} \approx 30{,}9\)
    Selon le modèle et en arrondissant à l'entier inférieur, la serre peut préparer au plus 30 jardinières sans dépasser 5 kg.