Chapitre 1 — Statistique à deux variables | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 22 mai 2026
Léna, 17 ans, prépare le 10 km de Bagnolet avec son club d'athlétisme. Son entraîneur a relevé pendant 6 mois, pour 6 coureurs amateurs du club, le nombre de séances hebdomadaires d'entraînement et leur temps moyen sur 10 km.
| Coureur | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Séances/semaine \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Temps sur 10 km \(y\) (min) | 62 | 58 | 53 | 50 | 47 | 45 |
Représenter mentalement le nuage de points (séances en abscisse, temps en ordonnée). Décrire son allure. Quelle est la nature de la corrélation ?
Le nuage est descendant : plus le nombre de séances augmente, plus le temps sur 10 km diminue. Les points sont quasi alignés.
Il s'agit d'une corrélation négative très marquée.
Calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).
\(\bar{x} = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = \mathbf{3{,}5}\) séances
\(\bar{y} = \dfrac{62+58+53+50+47+45}{6} = \dfrac{315}{6} = \mathbf{52{,}5}\) min
Point moyen : \(G(3{,}5\,;\,52{,}5)\).
À la calculatrice, déterminer l'équation \(y = ax + b\) et le coefficient \(r\). Vérifier que la droite passe par \(G\).
Calculatrice : \(a \approx \mathbf{-3{,}5}\) ; \(b \approx \mathbf{64{,}6}\).
Équation : \(\mathbf{y = -3{,}5\,x + 64{,}6}\).
Vérification : \(-3{,}5 \times 3{,}5 + 64{,}6 = -12{,}25 + 64{,}6 = 52{,}35 \approx 52{,}5\) ✓ (arrondis près).
\(r \approx \mathbf{-0{,}99}\). Très proche de \(-1\) : corrélation linéaire négative très forte.
Interpréter dans le contexte sportif la valeur de \(a = -3{,}5\) et celle de \(b = 64{,}6\).
\(a = -3{,}5\) min/séance : chaque séance supplémentaire par semaine fait gagner en moyenne 3,5 min sur le 10 km. Le signe \(-\) confirme la corrélation négative (plus on s'entraîne, plus on est rapide).
\(b = 64{,}6\) min : temps théorique pour un coureur qui ferait \(x = 0\) séance par semaine (sédentaire). C'est le temps de référence sans entraînement.
Léna veut courir en moins de 50 min. Combien de séances par semaine doit-elle prévoir, d'après le modèle ?
On résout \(-3{,}5\,x + 64{,}6 < 50\) :
\(-3{,}5\,x < -14{,}6\) → \(x > \dfrac{14{,}6}{3{,}5} \approx 4{,}17\).
Léna doit s'entraîner au moins 5 séances par semaine pour passer sous les 50 min.
(Vérification : \(y(5) = -3{,}5 \times 5 + 64{,}6 = 47{,}1\) min ✓ ; \(y(4) = 50{,}6\) min, juste au-dessus de 50.)
Selon le modèle, un coureur qui s'entraînerait 15 séances par semaine ferait quel temps ? Le résultat est-il réaliste ? Justifier en utilisant le document 2.
\(y = -3{,}5 \times 15 + 64{,}6 = -52{,}5 + 64{,}6 = \mathbf{12{,}1}\) min.
Résultat physiquement impossible : aucun être humain ne court 10 km en 12 min (record du monde ≈ 26 min).
Le modèle linéaire n'est plus valable au-delà des données observées (1 à 6 séances). Au-delà, la progression ralentit (effet plateau) et le corps atteint ses limites physiologiques.
De plus, 15 séances/semaine est dangereux pour la santé (risque très élevé de blessure, voir doc 2).
L'entraîneur déclare : « Mes relevés montrent que l'entraînement cause la performance. » L'argument est-il valable ? Discuter en lien avec la notion de corrélation et causalité.
Ici, la causalité est plausible : il existe un mécanisme physiologique connu (capacités cardio-respiratoires améliorées, économie de course optimisée, muscles plus efficaces).
Mais la corrélation seule ne le prouve pas. D'autres facteurs interviennent : âge, génétique, alimentation, sommeil, motivation, technique de course. Un coureur qui s'entraîne beaucoup est aussi souvent motivé et bien encadré.
Pour confirmer la causalité, il faudrait suivre les mêmes coureurs avant/après une augmentation du nombre de séances (étude longitudinale), pas comparer des coureurs différents.
Rédiger en 5 lignes les conseils que l'entraîneur peut donner à Léna pour préparer son 10 km.
Conseils préparation 10 km — Léna (club d'athlétisme)
• Objectif sub-50 min : viser 5 séances/semaine (modèle \(y = -3{,}5x + 64{,}6\)).
• Ne pas dépasser 6 séances : risque élevé de blessure et faible gain marginal.
• Varier l'entraînement (endurance, fractionné, repos actif) pour progresser sans surcharger.
• La progression n'est pas indéfinie : le modèle linéaire vaut entre 1 et 6 séances, pas au-delà.
• Compléter par sommeil, alimentation équilibrée, étirements — facteurs cachés essentiels à la performance.
L'OMS recommande au moins 150 min d'activité modérée par semaine pour rester en bonne santé. En supposant qu'une séance dure 45 min, à partir de combien de séances Léna respecte-t-elle cette recommandation ?
Durée d'entraînement hebdomadaire : \(x \times 45\) min. On résout \(45\,x \geqslant 150\) :
\(x \geqslant \dfrac{150}{45} \approx 3{,}33\).
Au minimum 4 séances/semaine (durée 45 min) pour respecter la recommandation de l'OMS.
Dès 3 séances de 50 min, l'objectif santé est aussi atteint (150 min).
📚 Cette activité s'appuie sur §5 (Droite de régression), §6 (\(R^2\)), §7 (Interpolation/extrapolation) et §8 (Corrélation et causalité) de la leçon Ch01.