Chapitre 1 — Statistique à deux variables | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 23:19
Léna, 17 ans, prépare le 10 km de Bagnolet avec son club d'athlétisme. Son entraîneur a relevé pendant 6 mois, pour 6 coureurs amateurs du club, le nombre de séances hebdomadaires d'entraînement et leur temps moyen sur 10 km.
Données et personnages simulés à des fins pédagogiques.
| Coureur | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Séances/semaine \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Temps sur 10 km \(y\) (min) | 62 | 58 | 53 | 50 | 47 | 45 |
Source : Organisation mondiale de la Santé, recommandations d'activité physique (consultée le 3 septembre 2026).
Représenter mentalement le nuage de points (séances en abscisse, temps en ordonnée). Décrire son allure. Quelle est la nature de la corrélation ?
Le nuage est descendant : plus le nombre de séances augmente, plus le temps sur 10 km diminue. Les points sont quasi alignés.
Il s'agit d'une corrélation négative très marquée.
Calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).
\(\bar{x} = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = \mathbf{3{,}5}\) séances
\(\bar{y} = \dfrac{62+58+53+50+47+45}{6} = \dfrac{315}{6} = \mathbf{52{,}5}\) min
Point moyen : \(G(3{,}5\,;\,52{,}5)\).
À la calculatrice, déterminer l'équation \(y = ax + b\) et le coefficient \(r\). Vérifier que la droite passe par \(G\).
Calculatrice : \(a \approx \mathbf{-3{,}5}\) ; \(b \approx \mathbf{64{,}6}\).
Équation : \(\mathbf{y = -3{,}5\,x + 64{,}6}\).
Vérification : \(-3{,}5 \times 3{,}5 + 64{,}6 = -12{,}25 + 64{,}6 = 52{,}35 \approx 52{,}5\) ✓ (arrondis près).
\(r \approx \mathbf{-0{,}99}\). Très proche de \(-1\) : corrélation linéaire négative très forte.
Interpréter dans le contexte sportif la valeur de \(a = -3{,}5\) et celle de \(b = 64{,}6\).
\(a = -3{,}5\) min/séance : dans ce groupe, une séance hebdomadaire supplémentaire est associée à un temps inférieur d'environ 3,5 min. La pente décrit l'association observée ; elle ne prouve pas que la séance supplémentaire produit à elle seule ce gain.
\(b = 64{,}6\) min : temps théorique donné par le modèle pour \(x = 0\). Comme les données commencent à une séance par semaine, cette valeur est une extrapolation, pas le temps de référence réel d'une personne sans entraînement.
Léna veut courir en moins de 50 min. Quel nombre entier de séances le modèle suggère-t-il ? Pourquoi ce résultat n'est-il pas une prescription d'entraînement ?
On résout \(-3{,}5\,x + 64{,}6 < 50\) :
\(-3{,}5\,x < -14{,}6\) → \(x > \dfrac{14{,}6}{3{,}5} \approx 4{,}17\).
Le modèle suggère au moins 5 séances par semaine pour obtenir une estimation inférieure à 50 min.
(Vérification : \(y(5) = -3{,}5 \times 5 + 64{,}6 = 47{,}1\) min ✓ ; \(y(4) = 50{,}6\) min, juste au-dessus de 50.)
Ce résultat compare six coureurs différents et ne tient compte ni du contenu des séances, ni de la progression, ni de la récupération, ni de l'état de santé de Léna. Seul un encadrement compétent peut construire avec elle un programme adapté.
Selon le modèle, un coureur qui s'entraînerait 15 séances par semaine ferait quel temps ? Pourquoi ce résultat montre-t-il les limites d'une extrapolation ?
\(y = -3{,}5 \times 15 + 64{,}6 = -52{,}5 + 64{,}6 = \mathbf{12{,}1}\) min.
Cette valeur n'est pas crédible : prolonger encore la droite finirait même par prévoir un temps nul puis négatif.
Le modèle linéaire est construit sur des observations comprises entre 1 et 6 séances. À 15 séances, on extrapole très loin et rien ne garantit que la relation reste linéaire.
Le document 2 ne fixe pas un nombre universel de séances de course : il rappelle que l'intensité, le volume et la récupération doivent être adaptés à la personne.
L'entraîneur déclare : « Mes relevés montrent que l'entraînement cause la performance. » L'argument est-il valable ? Discuter en lien avec la notion de corrélation et causalité.
Ici, la causalité est plausible : il existe un mécanisme physiologique connu (capacités cardio-respiratoires améliorées, économie de course optimisée, muscles plus efficaces).
Mais la corrélation seule ne le prouve pas. D'autres facteurs interviennent : âge, génétique, alimentation, sommeil, motivation, technique de course. Un coureur qui s'entraîne beaucoup est aussi souvent motivé et bien encadré.
Pour confirmer la causalité, il faudrait suivre les mêmes coureurs avant/après une augmentation du nombre de séances (étude longitudinale), pas comparer des coureurs différents.
Rédiger en 5 lignes les conseils que l'entraîneur peut donner à Léna pour préparer son 10 km.
Conseils préparation 10 km — Léna (club d'athlétisme)
• Sur les six données observées, le modèle associe 5 séances hebdomadaires à un temps estimé de 47,1 min.
• Cette estimation ne constitue pas une prescription individuelle et ne garantit pas un temps inférieur à 50 min.
• Le modèle ne distingue ni le contenu ni l'intensité des séances et ne prend pas en compte la récupération.
• Construire une progression adaptée avec l'entraîneur, puis suivre les résultats réels de Léna.
• Réévaluer l'objectif selon sa santé, son expérience et ses réactions à l'entraînement.
Le repère de l'OMS pour les 5–17 ans correspond à une moyenne d'au moins 60 min par jour. Quelle durée cela représente-t-il sur une semaine ? Pourquoi ne peut-on pas la convertir directement en un nombre imposé de séances de course de 45 min ?
Sur 7 jours : \(7 \times 60 = \mathbf{420}\) min d'activité physique modérée à soutenue en moyenne.
Le calcul \(420 \div 45 \approx 9{,}3\) ne signifie pas qu'il faut programmer 10 séances de course : les 420 minutes peuvent inclure les déplacements actifs, l'EPS, les jeux, le sport et d'autres activités.
Le repère de santé publique décrit une quantité globale d'activité ; il ne remplace pas un programme d'entraînement individualisé.
📚 Cette activité s'appuie sur §5 (Droite de régression), §6 (\(R^2\)), §7 (Interpolation/extrapolation) et §8 (Corrélation et causalité) de la leçon Ch01.