Chapitre 1 — Statistique à deux variables | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 22 mai 2026
Sébastien, technicien de maintenance énergétique chez Énergies Bagnoletaises, suit le coût annuel d'entretien de 6 chaudières gaz à condensation installées dans des copropriétés. Pour anticiper son budget et conseiller les syndics, il étudie le lien entre l'âge d'une chaudière et son coût de maintenance.
| Chaudière | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Âge \(x\) (années) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| Coût \(y\) (€/an) | 200 | 290 | 410 | 510 | 600 | 720 |
Identifier la variable explicative \(x\) et la variable expliquée \(y\). Préciser leurs unités. Quelle est la taille de la série ?
Variable \(x\) : âge de la chaudière, en années.
Variable \(y\) : coût annuel d'entretien, en €.
La série comporte \(n = 6\) couples \((x_i\,;\,y_i)\).
Calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) du nuage.
\(\bar{x} = \dfrac{2+4+6+8+10+12}{6} = \dfrac{42}{6} = \mathbf{7}\) ans
\(\bar{y} = \dfrac{200+290+410+510+600+720}{6} = \dfrac{2\,730}{6} = \mathbf{455}\) €/an
Point moyen : \(G(7\,;\,455)\).
À la calculatrice (mode statistiques à 2 variables), déterminer l'équation \(y = ax + b\) de la droite de régression et le coefficient \(r\).
Vérifier que la droite passe par \(G\).
La calculatrice donne : \(a \approx \mathbf{51{,}9}\) ; \(b \approx \mathbf{92}\).
Équation : \(\mathbf{y = 51{,}9\,x + 92}\).
Vérification : \(51{,}9 \times 7 + 92 = 363{,}3 + 92 = 455{,}3 \approx 455\) ✓ (la droite passe par \(G\), aux arrondis près).
\(r \approx \mathbf{0{,}999}\). Très proche de 1 : forte corrélation positive, le modèle linéaire est excellent.
Interpréter dans le contexte la valeur de \(a\) et celle de \(b\).
\(a = 51{,}9\) €/an : chaque année d'âge supplémentaire augmente le coût d'entretien d'environ 52 €. Le vieillissement entraîne plus de pannes, de pièces usées, d'interventions.
\(b = 92\) € : coût théorique pour une chaudière neuve (\(x = 0\)). Cela correspond à l'entretien annuel obligatoire (visite réglementaire). Cohérent avec les données du métier.
Estimer le coût d'entretien pour une chaudière de 9 ans. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
\(y = 51{,}9 \times 9 + 92 = 467{,}1 + 92 = \mathbf{559{,}1}\) €/an.
9 ans est dans la plage des données observées \([2\,;\,12]\) → interpolation, estimation fiable.
Estimer le coût pour une chaudière de 18 ans. Pourquoi cette estimation est-elle moins fiable que la précédente ?
\(y = 51{,}9 \times 18 + 92 = 934{,}2 + 92 = \mathbf{1\,026{,}2}\) €/an.
18 ans est hors de la plage \([2\,;\,12]\) → extrapolation, risquée.
En réalité, au-delà de 12 ans le modèle linéaire n'est probablement plus valable : grosse panne, remplacement obligatoire de pièces majeures, coûts non linéaires. La chaudière peut aussi être mise au rebut avant 18 ans.
Selon le document 2, on conseille le remplacement quand le coût annuel dépasse 700 €. À partir de quel âge la chaudière atteint-elle ce seuil d'après le modèle ?
Comparer ce coût cumulé sur 5 ans avec le coût d'une chaudière neuve (4 500 €).
On résout \(51{,}9\,x + 92 = 700\) : \(51{,}9\,x = 608\) → \(x = \dfrac{608}{51{,}9} \approx \mathbf{11{,}7}\) ans.
La chaudière atteint 700 € d'entretien annuel vers 12 ans.
Coût cumulé d'entretien de 12 à 16 ans (5 ans) ≈ \(5 \times 800 = 4\,000\) € (estimation grossière).
4 000 € de maintenance ≈ 4 500 € d'une chaudière neuve. Le remplacement devient justifié autour de 12-13 ans, surtout si l'on intègre les gains de rendement d'une chaudière récente (économies de gaz).
Sébastien rédige une note de recommandation aux syndics. 5 lignes maximum.
Note d'aide à la décision — Parc de chaudières
• Tendance observée : le coût annuel d'entretien augmente de l'ordre de 52 €/an d'âge supplémentaire (\(r \approx 0{,}999\)).
• Modèle : \(y = 51{,}9\,x + 92\), valable pour des chaudières de 2 à 12 ans.
• Seuil de remplacement préventif (700 €) atteint vers 12 ans.
• Cumuler 5 ans d'entretien au-delà ≈ prix d'une chaudière neuve : remplacement à privilégier.
• Action : programmer la révision des chaudières C, E, F (≥ 6 ans) et planifier le remplacement de F (12 ans) sur le budget 2026.
Une chaudière à pompe à chaleur (PAC) consomme 3 fois moins d'énergie qu'une chaudière gaz à puissance équivalente. Si la facture annuelle de gaz est de 1 800 € et que le remplacement par une PAC coûte 12 000 €, en combien d'années le surcoût de la PAC est-il amorti ?
Économie d'énergie annuelle : \(1\,800 \times \dfrac{2}{3} = 1\,200\) € (la PAC consomme 1/3, donc 2/3 d'économie).
Surcoût PAC vs gaz : \(12\,000 - 4\,500 = 7\,500\) €.
Amortissement : \(\dfrac{7\,500}{1\,200} \approx \mathbf{6{,}3}\) ans. Au bout de 6-7 ans, la PAC devient plus économique.
Et l'on n'a pas compté les aides MaPrimeRénov' (CEE, État), qui peuvent réduire le surcoût de 30 à 50 %.
📚 Cette activité s'appuie sur §4 (Point moyen), §5 (Ajustement affine) et §7 (Interpolation/extrapolation) de la leçon Ch01.