Chapitre 1 — Statistique à deux variables | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 23:19
Sébastien, technicien de maintenance énergétique chez Énergies Bagnoletaises, suit le coût annuel d'entretien de 6 chaudières gaz à condensation installées dans des copropriétés. Pour anticiper son budget et conseiller les syndics, il étudie le lien entre l'âge d'une chaudière et son coût de maintenance.
Données et entreprise simulées à des fins pédagogiques.
| Chaudière | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Âge \(x\) (années) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| Coût \(y\) (€/an) | 200 | 290 | 410 | 510 | 600 | 720 |
Repères documentaires : l'entretien annuel d'une chaudière est obligatoire ; les conseils relatifs à son remplacement restent indicatifs. Sources consultées le 3 septembre 2026 : Service-Public.fr, « Entretien annuel de la chaudière » ; Anah, guide des aides financières 2026 pour vérifier les aides et leurs conditions selon la situation.
Identifier la variable explicative \(x\) et la variable expliquée \(y\). Préciser leurs unités. Quelle est la taille de la série ?
Variable \(x\) : âge de la chaudière, en années.
Variable \(y\) : coût annuel d'entretien, en €.
La série comporte \(n = 6\) couples \((x_i\,;\,y_i)\).
Calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) du nuage.
\(\bar{x} = \dfrac{2+4+6+8+10+12}{6} = \dfrac{42}{6} = \mathbf{7}\) ans
\(\bar{y} = \dfrac{200+290+410+510+600+720}{6} = \dfrac{2\,730}{6} = \mathbf{455}\) €/an
Point moyen : \(G(7\,;\,455)\).
À la calculatrice (mode statistiques à 2 variables), déterminer l'équation \(y = ax + b\) de la droite de régression et le coefficient \(r\).
Vérifier que la droite passe par \(G\).
La calculatrice donne : \(a \approx \mathbf{51{,}9}\) ; \(b \approx \mathbf{92}\).
Équation : \(\mathbf{y = 51{,}9\,x + 92}\).
Vérification : \(51{,}9 \times 7 + 92 = 363{,}3 + 92 = 455{,}3 \approx 455\) ✓ (la droite passe par \(G\), aux arrondis près).
\(r \approx \mathbf{0{,}999}\). Très proche de 1 : forte corrélation positive, le modèle linéaire est excellent.
Interpréter dans le contexte la valeur de \(a\) et celle de \(b\).
\(a = 51{,}9\) €/an : dans ce jeu de données, une année d'âge supplémentaire est associée à environ 52 € de coût annuel en plus. Cette association ne prouve pas, à elle seule, que l'âge explique tout l'écart observé.
\(b = 92\) € : valeur donnée par le modèle pour \(x = 0\). Comme aucune chaudière neuve ne figure dans les observations, il s'agit d'une extrapolation du modèle, et non d'un tarif réel ou réglementaire.
Estimer le coût d'entretien pour une chaudière de 9 ans. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
\(y = 51{,}9 \times 9 + 92 = 467{,}1 + 92 = \mathbf{559{,}1}\) €/an.
9 ans est dans la plage des données observées \([2\,;\,12]\) → interpolation. L'estimation est généralement moins risquée qu'une extrapolation, mais sa qualité dépend encore du modèle et du contexte.
Estimer le coût pour une chaudière de 18 ans. Pourquoi cette estimation est-elle moins fiable que la précédente ?
\(y = 51{,}9 \times 18 + 92 = 934{,}2 + 92 = \mathbf{1\,026{,}2}\) €/an.
18 ans est hors de la plage \([2\,;\,12]\) → extrapolation, risquée.
En réalité, au-delà de 12 ans le modèle linéaire n'est probablement plus valable : grosse panne, remplacement obligatoire de pièces majeures, coûts non linéaires. La chaudière peut aussi être mise au rebut avant 18 ans.
Dans le scénario du document 2, le seuil d'alerte budgétaire est fixé à 700 € par an. À partir de quel âge le modèle atteint-il ce seuil ?
Pour une chaudière âgée de 12 ans, comparer sur 5 ans : le coût de maintien en service prévu par le modèle et le coût d'un remplacement immédiat, entretien compris.
On résout \(51{,}9\,x + 92 = 700\) : \(51{,}9\,x = 608\) → \(x = \dfrac{608}{51{,}9} \approx \mathbf{11{,}7}\) ans.
Le modèle atteint 700 € d'entretien annuel vers 11,7 ans, soit environ 12 ans.
Maintien en service de 12 à 16 ans : \(714{,}8 + 766{,}7 + 818{,}6 + 870{,}5 + 922{,}4 = \mathbf{4\,093}\) € environ.
Remplacement immédiat : \(4\,500 + 5 \times 150 = \mathbf{5\,250}\) € sur 5 ans.
Avec ces seules hypothèses, le maintien en service coûte environ 1 157 € de moins. On ne peut donc pas conclure automatiquement au remplacement : il faut aussi considérer les pannes imprévues, la sécurité, la consommation et le rendement énergétiques, la durée de comparaison et l'incertitude des estimations.
Sébastien rédige une note de recommandation aux syndics. 5 lignes maximum.
Note d'aide à la décision — Parc de chaudières
• Tendance observée : le coût annuel d'entretien augmente de l'ordre de 52 €/an d'âge supplémentaire (\(r \approx 0{,}999\)).
• Modèle : \(y = 51{,}9\,x + 92\), valable pour des chaudières de 2 à 12 ans.
• Le seuil d'alerte budgétaire choisi dans le scénario (700 €) est atteint vers 11,7 ans.
• Sur 5 ans, le modèle estime environ 4 093 € de maintenance, contre 5 250 € pour un remplacement immédiat entretien compris.
• Ces montants ne suffisent pas à décider : demander des devis et intégrer pannes, sécurité, consommation, rendement énergétique et durée d'usage prévue.
• Action : lancer une étude technique et financière pour la chaudière F, sans présenter le modèle comme une prescription.
Dans un scénario simplifié, le chauffage actuel coûte 1 800 € par an en énergie. Une PAC coûterait 12 000 € à installer et 900 € par an en énergie ; une chaudière gaz neuve coûterait 4 500 € à installer et conserverait la dépense de 1 800 € par an. En combien d'années l'écart d'investissement serait-il compensé par l'économie annuelle ?
Économie annuelle retenue dans le scénario : \(1\,800 - 900 = \mathbf{900}\) €.
Surcoût PAC vs gaz : \(12\,000 - 4\,500 = 7\,500\) €.
Temps de retour simple : \(\dfrac{7\,500}{900} \approx \mathbf{8{,}3}\) ans.
Ce résultat dépend entièrement des hypothèses : prix futurs de l'énergie, entretien, aides réellement obtenues, durée de vie, performance du logement et coût du financement. Il s'agit d'un scénario, pas d'une promesse d'économie.
📚 Cette activité s'appuie sur §4 (Point moyen), §5 (Ajustement affine) et §7 (Interpolation/extrapolation) de la leçon Ch01.