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Interrogation — Ch15 : Concentration et loi des grands nombres

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _______________ Prénom : _______________ Date : __________

Exercice 1 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (3 pts)

Soit \(X\) une variable aléatoire d'espérance \(\mu = 80\) et de variance \(V = 16\).

  1. Rappeler l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
  2. Majorer \(P(|X - 80| \geqslant 8)\).

Exercice 2 — Application à une loi binomiale (4 pts)

Soit \(X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}4)\).

  1. Calculer l'espérance \(\mu\) et la variance \(V\) de \(X\).
  2. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer \(P(|X - 40| \geqslant 12)\).

Exercice 3 — Inégalité de concentration (4 pts)

On considère la moyenne \(M_n\) d'un échantillon de taille \(n\) issu d'une variable aléatoire d'espérance \(\mu = 20\) et de variance \(V = 16\).

  1. Énoncer l'inégalité de concentration vérifiée par \(M_n\).
  2. Déterminer la taille \(n\) de l'échantillon pour que \(P(|M_n - 20| \geqslant 1) \leqslant 0{,}04\).

Exercice 4 — Loi des grands nombres (4 pts)

On lance une pièce équilibrée \(n\) fois. On note \(F_n\) la fréquence d'apparition de Pile.

  1. Énoncer en une phrase ce que dit la loi des grands nombres pour \(F_n\).
  2. On admet que \(E(F_n) = 0{,}5\) et \(V(F_n) = \dfrac{0{,}25}{n}\). En utilisant l'inégalité de concentration, déterminer \(n\) pour que \(P(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}02) \leqslant 0{,}05\).

Exercice 5 — Sondage et taille d'échantillon (5 pts)

Un institut souhaite estimer la proportion \(p\) (inconnue) d'électeurs favorables à une mesure, à l'aide de la fréquence \(F_n\) observée sur un échantillon de taille \(n\). On rappelle que pour tout \(p \in [0\,;\,1]\), \(p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}\).

  1. Montrer que, pour tout \(\delta \gt 0\) : \(\ P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{1}{4n\delta^2}\).
  2. On veut une précision \(\delta = 0{,}025\) au risque \(\alpha = 0{,}05\). Déterminer la taille minimale \(n\) de l'échantillon.
  3. Un sondage portant sur \(n = 2500\) personnes donne une fréquence observée \(\hat{p} = 0{,}46\). Avec une précision \(\delta = 0{,}045\), peut-on affirmer, au risque 5 %, que la mesure est soutenue par une majorité de la population ? Justifier.

Correction

Exercice 1.

a) Pour tout \(\delta \gt 0\) : \(\ P(|X - \mu| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V}{\delta^2}\).

b) Avec \(\delta = 8\) : \(\ P(|X - 80| \geqslant 8) \leqslant \dfrac{16}{8^2} = \dfrac{16}{64} = 0{,}25\).

Exercice 2.

a) \(\mu = np = 100 \times 0{,}4 = 40\) et \(V = np(1-p) = 100 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 24\).

b) Avec \(\delta = 12\) : \(\ P(|X - 40| \geqslant 12) \leqslant \dfrac{24}{12^2} = \dfrac{24}{144} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\).

Exercice 3.

a) Pour tout \(\delta \gt 0\) : \(\ P(|M_n - \mu| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V}{n\delta^2}\) (Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(M_n\), de variance \(\tfrac{V}{n}\)).

b) On veut \(\dfrac{16}{n \times 1^2} \leqslant 0{,}04\), soit \(\dfrac{16}{n} \leqslant 0{,}04\), donc \(n \geqslant \dfrac{16}{0{,}04} = 400\). Il faut \(n \geqslant \mathbf{400}\).

Exercice 4.

a) Quand le nombre de lancers \(n\) devient très grand, la fréquence \(F_n\) de Pile se rapproche (converge en probabilité) de la probabilité théorique \(0{,}5\).

b) Inégalité de concentration : \(P(|F_n - 0{,}5| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(F_n)}{\delta^2} = \dfrac{0{,}25/n}{\delta^2}\). Avec \(\delta = 0{,}02\) (donc \(\delta^2 = 0{,}0004\)) : \[ \frac{0{,}25}{n \times 0{,}0004} \leqslant 0{,}05 \ \Longleftrightarrow\ \frac{625}{n} \leqslant 0{,}05 \ \Longleftrightarrow\ n \geqslant \frac{625}{0{,}05} = 12\,500. \] Il faut \(n \geqslant \mathbf{12\,500}\) lancers.

Exercice 5.

a) En appliquant l'inégalité de concentration à \(F_n\), de variance \(\dfrac{p(1-p)}{n}\) : \[ P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1-p)}{n\delta^2} \leqslant \frac{1}{4n\delta^2}, \] la dernière majoration venant de \(p(1-p) \leqslant \tfrac{1}{4}\). \(\quad\blacksquare\)

b) On veut \(\dfrac{1}{4n\delta^2} \leqslant \alpha\), c'est-à-dire \(n \geqslant \dfrac{1}{4\alpha\delta^2}\). Avec \(\alpha = 0{,}05\) et \(\delta = 0{,}025\) (\(\delta^2 = 0{,}000625\)) : \[ n \geqslant \frac{1}{4 \times 0{,}05 \times 0{,}000625} = \frac{1}{0{,}000125} = 8\,000. \] Il faut interroger au moins 8 000 personnes.

c) L'intervalle est \([\hat{p} - \delta\,;\,\hat{p} + \delta] = [0{,}46 - 0{,}045\,;\,0{,}46 + 0{,}045] = [0{,}415\,;\,0{,}505]\). Cet intervalle contient la valeur \(0{,}5\) : au risque 5 %, on ne peut pas affirmer que la mesure est soutenue par une majorité (la proportion réelle pourrait être inférieure à 50 %).