Concentration et loi des grands nombres | Terminale générale | Mathématiques
Dernière mise à jour : 15 juin 2026
Une variable \(X\) a \(E(X)=10\) et \(V(X)=4\). Majore \(P\big(|X-10|\geqslant4\big)\).
\(P\big(|X-10|\geqslant4\big)\leqslant\dfrac{V(X)}{4^2}=\dfrac{4}{16}=0{,}25\).
Avec l'exercice 1, que signifie le résultat \(\leqslant0{,}25\) ?
La probabilité que \(X\) s'écarte de sa moyenne de 4 ou plus est au plus 25 %. Donc \(X\) est, avec une probabilité d'au moins 75 %, dans l'intervalle \(]6\,;\,14[\).
Une v.a. a \(\mu=5\) et \(\sigma^2=2\). On considère la moyenne \(M_n\) de \(n=200\) tirages indépendants. Majore \(P\big(|M_n-5|\geqslant0{,}5\big)\).
\(P\big(|M_n-5|\geqslant0{,}5\big)\leqslant\dfrac{\sigma^2}{n\,a^2}=\dfrac{2}{200\times0{,}25}=\dfrac{2}{50}=0{,}04\).
Avec \(\sigma^2=2\) et \(a=0{,}5\), quelle taille \(n\) garantit \(P\big(|M_n-\mu|\geqslant0{,}5\big)\leqslant0{,}01\) ?
On veut \(\dfrac{\sigma^2}{n a^2}\leqslant0{,}01\), soit \(\dfrac{2}{0{,}25\,n}\leqslant0{,}01\Rightarrow \dfrac{8}{n}\leqslant0{,}01\Rightarrow n\geqslant800\).
On lance un dé équilibré un grand nombre de fois et on calcule la fréquence d'apparition du « 6 ».
1. Vers quelle valeur cette fréquence se stabilise-t-elle quand le nombre de lancers augmente ?
2. Quel théorème justifie ce comportement ?
1. Vers \(\dfrac16\approx0{,}167\) (probabilité théorique).
2. La loi des grands nombres : la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique quand le nombre d'expériences augmente.