Concentration et loi des grands nombres | Terminale générale | Mathématiques
Dernière mise à jour : 15 juin 2026
Une v.a. \(X\) vérifie \(E(X)=20\) et \(V(X)=9\).
1. Majore \(P\big(|X-20|\geqslant6\big)\). (4 pts)
2. En déduire une minoration de \(P\big(14\lt X\lt 26\big)\). (4 pts)
1. \(\leqslant\dfrac{9}{6^2}=\dfrac{9}{36}=0{,}25\).
2. L'événement \(\{14\lt X\lt 26\}\) est le complémentaire de \(\{|X-20|\geqslant6\}\) : \(P\geqslant1-0{,}25=0{,}75\).
Une v.a. a \(\mu=12\), \(\sigma^2=4\). On considère \(M_n\) (moyenne de \(n\) tirages indépendants).
1. Pour \(n=100\), majore \(P\big(|M_n-12|\geqslant0{,}4\big)\). (4 pts)
2. Comment évolue cette majoration quand \(n\) augmente ? (3 pts)
1. \(\leqslant\dfrac{\sigma^2}{n a^2}=\dfrac{4}{100\times0{,}16}=\dfrac{4}{16}=0{,}25\).
2. Quand \(n\) augmente, \(\dfrac{\sigma^2}{n a^2}\) diminue (tend vers 0) : la moyenne se concentre autour de \(\mu\) (loi des grands nombres).
Avec \(\sigma^2=4\) et \(a=0{,}4\), quelle taille \(n\) garantit \(P\big(|M_n-\mu|\geqslant0{,}4\big)\leqslant0{,}05\) ?
\(\dfrac{4}{0{,}16\,n}\leqslant0{,}05\Rightarrow\dfrac{25}{n}\leqslant0{,}05\Rightarrow n\geqslant500\).