← Retour au sommaire

Interrogation — Ch14 : Sommes de variables aléatoires

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _______________ Prénom : _______________ Date : __________

Exercice 1 — Linéarité de l'espérance (3 pts)

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires telles que \(E(X) = 4\) et \(E(Y) = 7\).

  1. Calculer \(E(X + Y)\).
  2. Calculer \(E(3X)\).
  3. Calculer \(E(2X + 5Y - 1)\). (On rappelle que pour une constante \(c\), \(E(c) = c\).)

Exercice 2 — Variance d'une somme (4 pts)

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes telles que \(V(X) = 5\) et \(V(Y) = 9\).

  1. Calculer \(V(X + Y)\).
  2. Calculer \(V(2X)\).
  3. Une élève écrit : « \(V(X + Y) = V(X) + V(Y)\) est toujours vrai. » Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier en une phrase.

Exercice 3 — Somme de deux dés (4 pts)

On lance deux dés équilibrés à six faces. On note \(X_1\) et \(X_2\) les résultats (indépendants) et \(S = X_1 + X_2\) leur somme. On rappelle que pour un dé : \(E(X_i) = 3{,}5\) et \(V(X_i) = \dfrac{35}{12}\).

  1. Calculer \(E(S)\).
  2. Calculer \(V(S)\).
  3. En déduire l'écart type \(\sigma(S)\) (arrondi à \(10^{-2}\)).

Exercice 4 — Loi binomiale comme somme de Bernoulli (4 pts)

Une variable aléatoire \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\). On admet qu'elle s'écrit \(X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n\), où les \(X_i\) sont des variables de Bernoulli indépendantes de paramètre \(p\) (chaque \(X_i\) vaut 1 en cas de succès, 0 sinon).

  1. Rappeler \(E(X_i)\) et \(V(X_i)\) pour une variable de Bernoulli de paramètre \(p\).
  2. En utilisant la linéarité de l'espérance, retrouver \(E(X) = np\).
  3. En utilisant l'additivité de la variance (variables indépendantes), retrouver \(V(X) = np(1-p)\).
  4. Application : pour \(X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}2)\), calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).

Exercice 5 — Moyenne d'un échantillon (5 pts)

Une usine fabrique des sacs de plâtre. La masse d'un sac est une variable aléatoire d'espérance \(\mu = 500\) g et d'écart type \(\sigma = 12\) g. Un contrôleur prélève un échantillon de \(n\) sacs (prélèvements indépendants de même loi) et calcule la masse moyenne \(M_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}\).

  1. Exprimer \(E(M_n)\) et \(\sigma(M_n)\) en fonction de \(n\).
  2. Calculer \(\sigma(M_n)\) pour \(n = 16\), puis pour \(n = 144\). Que constate-t-on lorsque la taille de l'échantillon est multipliée par 9 ?
  3. Le cahier des charges impose \(\sigma(M_n) \leqslant 1{,}5\) g. Déterminer le nombre minimal de sacs à prélever.

Correction

Exercice 1.

a) \(E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 4 + 7 = 11\).

b) \(E(3X) = 3\,E(X) = 3 \times 4 = 12\).

c) \(E(2X + 5Y - 1) = 2E(X) + 5E(Y) - 1 = 2 \times 4 + 5 \times 7 - 1 = 8 + 35 - 1 = 42\).

Exercice 2.

a) Les variables sont indépendantes, donc \(V(X + Y) = V(X) + V(Y) = 5 + 9 = 14\).

b) \(V(2X) = 2^2\,V(X) = 4 \times 5 = 20\).

c) Faux : l'additivité de la variance n'est vraie que pour des variables indépendantes. (La linéarité de l'espérance, elle, est toujours vraie.)

Exercice 3.

a) Par linéarité : \(E(S) = E(X_1) + E(X_2) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7\).

b) Les dés sont indépendants, donc \(V(S) = V(X_1) + V(X_2) = \dfrac{35}{12} + \dfrac{35}{12} = \dfrac{70}{12} = \dfrac{35}{6} \approx 5{,}83\).

c) \(\sigma(S) = \sqrt{V(S)} = \sqrt{\dfrac{35}{6}} \approx \sqrt{5{,}833} \approx 2{,}42\).

Exercice 4.

a) Pour \(X_i \sim \mathcal{B}(p)\) : \(E(X_i) = p\) et \(V(X_i) = p(1-p)\).

b) \(E(X) = E(X_1 + \cdots + X_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) = n \times p = np\).

c) Les \(X_i\) étant indépendantes : \(V(X) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = n \times p(1-p) = np(1-p)\).

d) Pour \(\mathcal{B}(50\,;\,0{,}2)\) : \(E(X) = 50 \times 0{,}2 = 10\) et \(V(X) = 50 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 8\).

Exercice 5.

a) \(E(M_n) = \mu = 500\) g (indépendant de \(n\)) et \(\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{12}{\sqrt{n}}\) g.

b) \(\sigma(M_{16}) = \dfrac{12}{\sqrt{16}} = \dfrac{12}{4} = 3\) g ; \(\ \sigma(M_{144}) = \dfrac{12}{\sqrt{144}} = \dfrac{12}{12} = 1\) g. Quand on multiplie \(n\) par 9, \(\sqrt{n}\) est multiplié par 3, donc l'écart type de la moyenne est divisé par 3 (la moyenne devient 3 fois plus précise).

c) On veut \(\dfrac{12}{\sqrt{n}} \leqslant 1{,}5\), soit \(\sqrt{n} \geqslant \dfrac{12}{1{,}5} = 8\), donc \(n \geqslant 64\). Il faut prélever au minimum 64 sacs.