Exercices – Chapitre 14

Sommes de variables aléatoires | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels : \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\), \(E(aX+b)=aE(X)+b\). \(V(aX+b)=a^2V(X)\). Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes : \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\). Pour \(n\) variables identiques indépendantes (moyenne \(\mu\), variance \(\sigma^2\)) : somme \(S_n\) a \(E(S_n)=n\mu\), \(V(S_n)=n\sigma^2\) ; moyenne \(M_n=\frac{S_n}{n}\) a \(E(M_n)=\mu\), \(V(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}\).

Exercice 1 — Linéarité de l'espérance

On sait que \(E(X)=4\) et \(E(Y)=-1\). Calcule :

1. \(E(X+Y)\). 2. \(E(3X)\). 3. \(E(2X-Y+5)\).

1. \(4+(-1)=3\). 2. \(3\times4=12\). 3. \(2\times4-(-1)+5=8+1+5=14\).

Exercice 2 — Variance

On donne \(V(X)=2\). Calcule \(V(3X)\) et \(V(X+7)\).

\(V(3X)=3^2\times2=18\) ; \(V(X+7)=V(X)=2\) (ajouter une constante ne change pas la variance).

Exercice 3 — Somme de variables indépendantes

\(X\) et \(Y\) sont indépendantes, \(V(X)=3\), \(V(Y)=5\).

Calcule \(V(X+Y)\).

Indépendance → \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)=3+5=8\).

Exercice 4 — Lancers de dé

On lance un dé équilibré ; soit \(X\) le résultat. On admet \(E(X)=3{,}5\) et \(V(X)=\frac{35}{12}\approx2{,}92\). On lance le dé 10 fois (lancers indépendants), \(S\) = somme des résultats.

1. Calcule \(E(S)\). 2. Calcule \(V(S)\).

1. \(E(S)=10\times3{,}5=35\).

2. \(V(S)=10\times\frac{35}{12}=\frac{350}{12}\approx29{,}2\).

Exercice 5 — Moyenne d'un échantillon (type Bac)

Une variable \(X\) a pour moyenne \(\mu=50\) et écart-type \(\sigma=8\). On prélève un échantillon de \(n=64\) valeurs indépendantes ; \(M_n\) est la moyenne de l'échantillon.

1. Calcule \(E(M_n)\). 2. Calcule \(V(M_n)\) puis l'écart-type de \(M_n\).

1. \(E(M_n)=\mu=50\).

2. \(V(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}=\dfrac{64}{64}=1\) ; écart-type \(=\sqrt1=1\). (L'échantillonnage divise l'écart-type par \(\sqrt n=8\) : \(8/8=1\).)