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Chapitre 14 – Sommes de variables aléatoires

Exercices par capacités · Terminale générale

Capacités travaillées

C1 — Représenter une variable comme somme de variables plus simples

Exercice 1

On lance 3 dés. Soit \(S\) la somme. Écrire \(S\) comme somme de 3 variables indépendantes et calculer \(E(S)\).

\(S=X_1+X_2+X_3\), \(X_i\sim\) loi uniforme sur \(\{1,...,6\}\). \(E(S)=3\times 3{,}5=10{,}5\).

Exercice 2

On répète 10 fois une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p=0{,}7\). Soit \(X\) le nombre de succès. Écrire \(X\) comme somme de Bernoulli et en déduire \(E(X)\) et \(V(X)\).

\(X=X_1+\cdots+X_{10}\), \(X_i\sim\mathcal{B}(0{,}7)\). \(E(X)=10\times 0{,}7=7\). \(V(X)=10\times 0{,}7\times 0{,}3=2{,}1\).

Exercice 3

On lance 4 dés équilibrés. Pour chaque dé \(i\), on pose \(X_i = 1\) si le résultat est 6, et \(X_i = 0\) sinon.

  1. Quelle est la loi de chaque \(X_i\) ? Donner \(E(X_i)\) et \(V(X_i)\).
  2. On note \(F\) le nombre de « 6 » obtenus sur les 4 dés. Écrire \(F\) comme somme des \(X_i\).
  3. En déduire \(E(F)\) et \(V(F)\).
  4. Reconnaître la loi de \(F\). Vérifier les résultats.
  1. \(X_i \sim \mathcal{B}\!\left(\frac{1}{6}\right)\). \(E(X_i) = \frac{1}{6}\). \(V(X_i) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36}\).
  2. \(F = X_1 + X_2 + X_3 + X_4\).
  3. \(E(F) = 4 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\). \(V(F) = 4 \times \frac{5}{36} = \frac{5}{9} \approx 0{,}556\).
  4. \(F \sim \mathcal{B}\!\left(4,\frac{1}{6}\right)\). On retrouve \(E(F) = np = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) et \(V(F) = np(1-p) = 4 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{9}\). ✓
Exercice 4

Un client achète \(n = 8\) articles. Pour chaque article \(i\), une remise aléatoire \(R_i\) est appliquée :

  • \(R_i = 0\) € (pas de remise) avec probabilité \(0{,}6\)
  • \(R_i = 5\) € avec probabilité \(0{,}3\)
  • \(R_i = 10\) € avec probabilité \(0{,}1\)

Les remises sont indépendantes d'un article à l'autre. Le prix de base de chaque article est \(40\) €.

  1. Exprimer le coût total \(T\) en fonction des \(R_i\).
  2. Calculer \(E(R_i)\) pour un article.
  3. En déduire \(E(T)\), le coût total moyen.
  1. Le coût d'un article est \(40 - R_i\). Le coût total est \(T = \displaystyle\sum_{i=1}^{8}(40 - R_i) = 320 - \sum_{i=1}^{8} R_i\).
  2. \(E(R_i) = 0 \times 0{,}6 + 5 \times 0{,}3 + 10 \times 0{,}1 = 2{,}5\) €.
  3. Par linéarité : \(E(T) = 320 - 8 \times 2{,}5 = 320 - 20 = 300\) €.

C2 — Calculer l'espérance d'une variable par linéarité

Exercice 3

Soit \(X\) une v.a. avec \(E(X)=5\) et \(V(X)=4\). Calculer \(E(Y)\) et \(V(Y)\) pour \(Y=3X-2\).

\(E(Y)=3E(X)-2=15-2=13\). \(V(Y)=9V(X)=36\). \(\sigma(Y)=6\).

Exercice 4

Un commerçant vend des articles A et B. Le bénéfice sur un article A est une v.a. \(X_A\) avec \(E(X_A)=15\) €. Le bénéfice sur un article B est \(X_B\) avec \(E(X_B)=8\) €. Un jour, il vend 20 articles A et 35 articles B. Quel est le bénéfice moyen total ?

\(B=20X_A+35X_B\) (en supposant les ventes indépendantes et identiques par type).

En fait, \(B=X_{A,1}+\cdots+X_{A,20}+X_{B,1}+\cdots+X_{B,35}\).

\(E(B)=20\times 15+35\times 8=300+280=580\) €.

Exercice 5

On lance un dé. On note \(X\) le résultat. Calculer \(E(X^2)\) sachant que \(E(X)=3{,}5\) et \(V(X)=\frac{35}{12}\).

\(V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\), donc \(E(X^2)=V(X)+[E(X)]^2=\frac{35}{12}+\frac{49}{4}=\frac{35+147}{12}=\frac{182}{12}=\frac{91}{6}\approx 15{,}17\).

Exercice 6

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires avec \(E(X) = 4\) et \(E(Y) = 7\). On pose \(Z = 3X - 2Y + 5\).

  1. Calculer \(E(Z)\) par linéarité de l'espérance.
  2. Si de plus \(V(X) = 9\), \(V(Y) = 16\) et \(X\), \(Y\) sont indépendantes, calculer \(V(Z)\) et \(\sigma(Z)\).
  1. \(E(Z) = 3E(X) - 2E(Y) + 5 = 3 \times 4 - 2 \times 7 + 5 = 12 - 14 + 5 = 3\).
  2. \(V(Z) = V(3X - 2Y) = 3^2 V(X) + (-2)^2 V(Y) = 9 \times 9 + 4 \times 16 = 81 + 64 = 145\).
    \(\sigma(Z) = \sqrt{145} \approx 12{,}04\).
Exercice 7

Un magasin de bricolage observe que le nombre de clients par jour suit une variable aléatoire \(N\) avec \(E(N) = 120\) et \(\sigma(N) = 15\). Chaque client dépense en moyenne \(35\) €.

On modélise le chiffre d'affaires journalier par \(C = 35N\).

  1. Calculer \(E(C)\), le chiffre d'affaires journalier moyen.
  2. Calculer \(\sigma(C)\).
  3. Sur une semaine de 6 jours ouvrés (en supposant les jours indépendants et de même loi), on note \(S = C_1 + C_2 + \cdots + C_6\). Calculer \(E(S)\) et \(\sigma(S)\).
  1. \(E(C) = 35 \times E(N) = 35 \times 120 = 4\,200\) €.
  2. \(\sigma(C) = 35 \times \sigma(N) = 35 \times 15 = 525\) €.
  3. \(E(S) = 6 \times 4\,200 = 25\,200\) €. \(V(S) = 6 \times V(C) = 6 \times 525^2 = 1\,653\,750\). \(\sigma(S) = \sqrt{1\,653\,750} \approx 1\,286\) €.

C3 — Calculer la variance d'une somme de variables indépendantes

Exercice 8

\(X\) et \(Y\) sont indépendantes avec \(E(X)=2\), \(V(X)=3\), \(E(Y)=4\), \(V(Y)=5\). Calculer \(E(X+Y)\), \(V(X+Y)\) et \(\sigma(X+Y)\).

\(E(X+Y)=6\). \(V(X+Y)=3+5=8\). \(\sigma(X+Y)=2\sqrt{2}\approx 2{,}83\).

Exercice 9

On prélève un échantillon de 50 pièces. Chaque pièce a une masse \(X_i\) d'espérance \(\mu=100\) g et d'écart type \(\sigma=2\) g.

  1. Calculer \(E(M_{50})\) et \(\sigma(M_{50})\).
  2. Combien de pièces faut-il pour que \(\sigma(M_n)\leqslant 0{,}1\) g ?
  1. \(E(M_{50})=100\). \(\sigma(M_{50})=\frac{2}{\sqrt{50}}\approx 0{,}283\) g.
  2. \(\frac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0{,}1\), \(\sqrt{n}\geqslant 20\), \(n\geqslant 400\).
Exercice 10

Problème de synthèse

Un casino propose un jeu : on lance 2 dés, le gain est la différence \(|X_1-X_2|\). Le jeu coûte 2 €.

  1. Déterminer la loi de \(D=|X_1-X_2|\).
  2. Calculer \(E(D)\). Le jeu est-il favorable au joueur ?
  1. Il y a 36 issues équiprobables. \(D=0\) pour 6 cas (les doubles), \(D=1\) pour 10 cas, \(D=2\) pour 8, \(D=3\) pour 6, \(D=4\) pour 4, \(D=5\) pour 2.
    \(P(D=0)=\frac{6}{36}\), \(P(D=1)=\frac{10}{36}\), \(P(D=2)=\frac{8}{36}\), \(P(D=3)=\frac{6}{36}\), \(P(D=4)=\frac{4}{36}\), \(P(D=5)=\frac{2}{36}\).
  2. \(E(D)=\frac{0\times 6+1\times 10+2\times 8+3\times 6+4\times 4+5\times 2}{36}=\frac{70}{36}=\frac{35}{18}\approx 1{,}94\) €.
    Gain net moyen : \(1{,}94-2=-0{,}06\) €. Le jeu est légèrement défavorable au joueur.
Exercice 11

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes avec \(E(X) = 10\), \(V(X) = 4\), \(E(Y) = 6\) et \(V(Y) = 9\). On pose \(W = 2X - Y\).

  1. Calculer \(E(W)\).
  2. Justifier que \(V(W) = 4V(X) + V(Y)\). Calculer \(V(W)\) et \(\sigma(W)\).
  3. On pose \(U = 2X + Y\). A-t-on \(V(U) = V(W)\) ? Expliquer.
  1. \(E(W) = 2E(X) - E(Y) = 20 - 6 = 14\).
  2. \(W = 2X + (-1)Y\). Comme \(X\) et \(Y\) sont indépendantes : \(V(W) = 2^2 V(X) + (-1)^2 V(Y) = 4 \times 4 + 1 \times 9 = 25\). \(\sigma(W) = 5\).
  3. Oui : \(V(U) = 4V(X) + V(Y) = 25 = V(W)\). Le signe devant \(Y\) n'intervient pas car la variance absorbe le carré du coefficient : \((-1)^2 = 1^2 = 1\).
Exercice 12

Précision de mesure

Un laboratoire mesure la concentration d'un produit chimique. Chaque mesure \(X_i\) a un écart type \(\sigma = 3\) mg/L. On effectue \(n\) mesures indépendantes et on calcule la moyenne \(M_n\).

  1. Exprimer \(\sigma(M_n)\) en fonction de \(n\).
  2. Compléter le tableau :
\(n\)41625100?
\(\sigma(M_n)\)????\(0{,}5\)
  1. Le cahier des charges exige \(\sigma(M_n) \leqslant 0{,}5\) mg/L. Quel est le nombre minimal de mesures ?
  2. Pour diviser \(\sigma(M_n)\) par 2 par rapport à \(n = 36\), combien de mesures sont nécessaires ?
  1. \(\sigma(M_n) = \frac{3}{\sqrt{n}}\).
  2. \(n\)4162510036
    \(\sigma(M_n)\)\(1{,}5\)\(0{,}75\)\(0{,}6\)\(0{,}3\)\(0{,}5\)
  3. \(\frac{3}{\sqrt{n}} \leqslant 0{,}5\), soit \(\sqrt{n} \geqslant 6\), donc \(n \geqslant 36\). Il faut au minimum 36 mesures.
  4. Avec \(n = 36\) : \(\sigma(M_{36}) = 0{,}5\). Pour avoir \(\sigma = 0{,}25\), il faut \(\frac{3}{\sqrt{n}} = 0{,}25\), soit \(\sqrt{n} = 12\), donc \(n = 144\). Il faut quadrupler le nombre de mesures pour diviser l'écart type par 2.
Exercice 13

Variance d'un portefeuille

Un investisseur place son capital dans 3 actions indépendantes. Le rendement annuel de chaque action (en %) est modélisé par une variable aléatoire :

  • Action A : \(R_A\), \(E(R_A) = 8\), \(\sigma(R_A) = 12\)
  • Action B : \(R_B\), \(E(R_B) = 5\), \(\sigma(R_B) = 6\)
  • Action C : \(R_C\), \(E(R_C) = 3\), \(\sigma(R_C) = 2\)

L'investisseur répartit son capital en parts égales : le rendement du portefeuille est \(R = \frac{1}{3}(R_A + R_B + R_C)\).

  1. Calculer \(E(R)\).
  2. Calculer \(V(R)\) et \(\sigma(R)\).
  3. Comparer \(\sigma(R)\) aux écarts types individuels. Quel est l'effet de la diversification ?
  4. Si l'investisseur avait tout placé dans l'action A, quel serait l'écart type ? Conclure.
  1. \(E(R) = \frac{1}{3}(8 + 5 + 3) = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\) %.
  2. \(V(R) = \frac{1}{9}\left(V(R_A) + V(R_B) + V(R_C)\right) = \frac{1}{9}(144 + 36 + 4) = \frac{184}{9} \approx 20{,}44\).
    \(\sigma(R) = \sqrt{\frac{184}{9}} = \frac{\sqrt{184}}{3} \approx 4{,}52\) %.
  3. \(\sigma(R) \approx 4{,}52\) % est inférieur aux écarts types de A (\(12\) %) et B (\(6\) %), et légèrement supérieur à celui de C (\(2\) %). La diversification réduit le risque global du portefeuille.
  4. Tout dans A : \(\sigma = 12\) %, soit presque 3 fois plus que le portefeuille diversifié (\(4{,}52\) %). La diversification divise le risque par environ \(2{,}7\) pour un rendement moyen de \(5{,}33\) % au lieu de \(8\) % : c'est le compromis rendement/risque.