Devoir Surveillé – Chapitre 14

Sommes de variables aléatoires | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Exercice 1 — Espérance et variance (8 points)

On donne \(E(X)=6\), \(V(X)=4\), \(E(Y)=2\), \(V(Y)=9\), \(X\) et \(Y\) indépendantes.

1. Calcule \(E(2X+3Y)\). (3 pts)

2. Calcule \(V(2X)\). (2 pts)

3. Calcule \(V(X+Y)\). (3 pts)

1. \(2\times6+3\times2=18\). 2. \(2^2\times4=16\). 3. \(4+9=13\) (indépendance).

Une v.a. \(X\) a \(\mu=20\), \(\sigma^2=5\). On répète \(n=8\) tirages indépendants ; \(S\) est la somme.

1. Calcule \(E(S)\). (3 pts)

2. Calcule \(V(S)\). (3 pts)

1. \(E(S)=8\times20=160\). 2. \(V(S)=8\times5=40\).

\(X\) a \(\mu=100\), \(\sigma=15\). On prélève \(n=25\) valeurs indépendantes, \(M_n\) la moyenne.

1. Calcule \(E(M_n)\). (3 pts)

2. Calcule l'écart-type de \(M_n\). (3 pts)

1. \(E(M_n)=\mu=100\).

2. \(\sigma(M_n)=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{15}{\sqrt{25}}=\dfrac{15}{5}=3\).