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Interrogation — Ch13 : Épreuves indépendantes et loi binomiale

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _______________ Prénom : _______________ Date : __________

Exercice 1 — Épreuves indépendantes (3 pts)

On lance une pièce truquée pour laquelle \(P(\text{Pile}) = 0{,}6\) trois fois de suite. Les lancers sont indépendants.

  1. Calculer la probabilité d'obtenir la suite (Pile, Face, Pile).
  2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux fois Pile.

Exercice 2 — Reconnaître une loi binomiale (3 pts)

Pour chacune des situations suivantes, indiquer si la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Si oui, préciser ses paramètres \(n\) et \(p\) ; sinon, justifier en une phrase.

  1. On lance un dé équilibré 12 fois ; \(X\) compte le nombre de 6 obtenus.
  2. On tire successivement et sans remise 3 cartes d'un jeu de 32 ; \(X\) compte le nombre de rois tirés.
  3. Une machine produit des pièces dont 4 % sont défectueuses. On en prélève 50 au hasard (production en grande série) ; \(X\) compte le nombre de pièces défectueuses.

Exercice 3 — Calculs avec la loi binomiale (5 pts)

Une variable aléatoire suit la loi binomiale \(X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}2)\).

  1. Donner l'expression de \(P(X = k)\) en fonction de \(k\).
  2. Calculer \(P(X = 0)\) et \(P(X = 1)\) (valeurs exactes ou arrondies à \(10^{-4}\)).
  3. En déduire \(P(X \geqslant 1)\).
  4. Calculer l'espérance \(E(X)\) et l'écart type \(\sigma(X)\) (arrondi à \(10^{-3}\)).

Exercice 4 — Contrôle qualité (5 pts)

Dans un atelier, 30 % des planches présentent un défaut d'aspect. Un menuisier prélève au hasard 10 planches dans un grand lot. On note \(X\) le nombre de planches avec défaut parmi les 10.

  1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
  2. Calculer \(P(X = 3)\) (arrondi à \(10^{-4}\)).
  3. Calculer la probabilité qu'aucune planche ne présente de défaut.
  4. Calculer \(E(X)\) et interpréter ce résultat en une phrase.

Exercice 5 — Problème de seuil (4 pts)

Un jeu de grattage offre une probabilité \(p = 0{,}1\) de gagner à chaque ticket. Un joueur achète \(n\) tickets indépendants. Soit \(X\) le nombre de tickets gagnants.

  1. Exprimer \(P(X \geqslant 1)\) en fonction de \(n\) (probabilité de gagner au moins une fois).
  2. Déterminer le plus petit nombre \(n\) de tickets pour que la probabilité de gagner au moins une fois dépasse \(0{,}9\). (On rappelle : \(\ln(0{,}1) \approx -2{,}303\) et \(\ln(0{,}9) \approx -0{,}105\).)

Correction

Exercice 1.

a) Les lancers étant indépendants : \(P(\text{P,F,P}) = 0{,}6 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}144\).

b) Les issues à exactement 2 Pile sont (P,P,F), (P,F,P), (F,P,P), chacune de probabilité \(0{,}6^2 \times 0{,}4 = 0{,}144\). Total : \(3 \times 0{,}144 = 0{,}432\). (On reconnaît \(\binom{3}{2}\,0{,}6^2\,0{,}4 = 0{,}432\).)

Exercice 2.

a) Oui : 12 épreuves identiques et indépendantes, succès = « obtenir 6 » de probabilité \(p = \tfrac{1}{6}\). \(X \sim \mathcal{B}\!\left(12\,;\,\tfrac{1}{6}\right)\).

b) Non : le tirage est sans remise, donc les épreuves ne sont pas indépendantes et la probabilité de tirer un roi change à chaque tirage.

c) Oui : 50 prélèvements assimilables à des tirages indépendants (grande série), succès = « pièce défectueuse » de probabilité \(p = 0{,}04\). \(X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}04)\).

Exercice 3.

a) \(P(X = k) = \binom{5}{k}\,0{,}2^k\,0{,}8^{\,5-k}\) pour \(k \in \{0,1,2,3,4,5\}\).

b) \(P(X = 0) = 0{,}8^5 = 0{,}32768 \approx 0{,}3277\). \(\ P(X = 1) = \binom{5}{1}\,0{,}2 \times 0{,}8^4 = 5 \times 0{,}2 \times 0{,}4096 = 0{,}4096\).

c) \(P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}32768 = 0{,}67232 \approx 0{,}6723\).

d) \(E(X) = np = 5 \times 0{,}2 = 1\). \(\ \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{5 \times 0{,}2 \times 0{,}8} = \sqrt{0{,}8} \approx 0{,}894\).

Exercice 4.

a) On prélève dans un grand lot : les 10 prélèvements sont (assimilés à) indépendants et identiques, à deux issues (défaut / pas de défaut) avec \(p = 0{,}3\). Donc \(X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)\).

b) \(P(X = 3) = \binom{10}{3}\,0{,}3^3\,0{,}7^7 = 120 \times 0{,}027 \times 0{,}0823543 \approx 0{,}2668\).

c) \(P(X = 0) = 0{,}7^{10} \approx 0{,}0282\).

d) \(E(X) = 10 \times 0{,}3 = 3\). En moyenne, sur 10 planches prélevées, 3 présentent un défaut d'aspect.

Exercice 5.

a) \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}1)\). \(\ P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}9^{\,n}\).

b) On veut \(1 - 0{,}9^{\,n} \gt 0{,}9\), soit \(0{,}9^{\,n} \lt 0{,}1\). En passant au logarithme (et comme \(\ln(0{,}9) \lt 0\)) : \[ n \gt \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}9)} \approx \frac{-2{,}303}{-0{,}105} \approx 21{,}9. \] Le plus petit entier est \(n = 22\). Il faut acheter au moins 22 tickets.