Exercices – Chapitre 13

Épreuves indépendantes et loi binomiale | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels : si \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n;p)\) (répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes, succès de probabilité \(p\)) : \(P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), \(E(X)=np\), \(V(X)=np(1-p)\).

Exercice 1 — Reconnaître une loi binomiale

On lance 5 fois un dé équilibré. \(X\) compte le nombre de « 6 ».

1. Justifie que \(X\) suit une loi binomiale et donne ses paramètres.

2. Donne \(E(X)\).

1. 5 épreuves identiques et indépendantes, deux issues (6 / pas 6), \(p=\frac16\) : \(X\sim\mathcal{B}\!\left(5;\frac16\right)\).

2. \(E(X)=np=5\times\frac16=\frac56\approx0{,}83\).

Exercice 2 — Calcul de probabilités

Avec \(X\sim\mathcal{B}\!\left(5;\frac16\right)\) :

1. Calcule \(P(X=0)\). 2. Calcule \(P(X=1)\).

1. \(P(X=0)=\left(\frac56\right)^5\approx0{,}402\).

2. \(P(X=1)=\dbinom{5}{1}\left(\frac16\right)\left(\frac56\right)^4=5\times\frac16\times\left(\frac56\right)^4\approx0{,}402\).

Exercice 3 — « Au moins un »

Un QCM a 10 questions ; à chacune on répond au hasard avec une probabilité de réussite \(p=0{,}25\). \(X\) = nombre de bonnes réponses, \(X\sim\mathcal{B}(10;0{,}25)\).

1. Calcule \(P(X=0)\). 2. En déduire \(P(X\geqslant1)\).

1. \(P(X=0)=(0{,}75)^{10}\approx0{,}0563\).

2. \(P(X\geqslant1)=1-P(X=0)\approx1-0{,}0563=0{,}944\).

Exercice 4 — Espérance et écart-type

Toujours avec \(X\sim\mathcal{B}(10;0{,}25)\).

1. Calcule \(E(X)\). 2. Calcule \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).

1. \(E(X)=10\times0{,}25=2{,}5\).

2. \(V(X)=np(1-p)=10\times0{,}25\times0{,}75=1{,}875\) ; \(\sigma=\sqrt{1{,}875}\approx1{,}37\).

Exercice 5 — Production (type Bac)

Une machine produit des pièces ; 4 % sont défectueuses. On prélève 20 pièces (tirage assimilé indépendant). \(X\) = nombre de défectueuses, \(X\sim\mathcal{B}(20;0{,}04)\).

1. Calcule \(P(X=0)\) (lot sans défaut). 2. Calcule \(E(X)\). 3. Interprète \(E(X)\).

1. \(P(X=0)=(0{,}96)^{20}\approx0{,}442\).

2. \(E(X)=20\times0{,}04=0{,}8\).

3. En moyenne, sur de nombreux lots de 20 pièces, on attend environ 0,8 pièce défectueuse par lot.