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Chapitre 13 – Épreuves indépendantes et loi binomiale

Exercices par capacités · Terminale générale

Capacités travaillées

C1 — Modéliser une situation par un schéma de Bernoulli

Exercice 1

Un QCM comporte 10 questions à 4 choix. Un élève répond au hasard. Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses.

  1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale. Préciser les paramètres.
  2. Calculer \(E(X)\). Interpréter.
  3. Calculer \(P(X\geqslant 5)\).
  1. 10 questions indépendantes, chaque réponse correcte avec \(p=\frac{1}{4}\). \(X\sim\mathcal{B}(10;\frac{1}{4})\).
  2. \(E(X)=10\times\frac{1}{4}=2{,}5\). En moyenne, l'élève obtient 2,5 bonnes réponses.
  3. \(P(X\geqslant 5)=1-P(X\leqslant 4)\approx 1-0{,}9219=0{,}0781\). Environ 7,8 %.
Exercice 2

Dans chacune des situations suivantes, indiquer si on peut modéliser par une loi binomiale. Si oui, préciser \(n\) et \(p\).

  1. On tire 5 cartes successivement avec remise dans un jeu de 32 cartes. \(X\) = nombre de cœurs.
  2. On tire 5 cartes simultanément dans un jeu de 32 cartes. \(X\) = nombre de cœurs.
  3. Un médicament a 80 % de chances de guérir. On traite 15 patients indépendants. \(X\) = nombre de guérisons.
  1. Oui. Avec remise = épreuves indépendantes identiques. \(n=5\), \(p=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}\).
  2. Non. Tirage sans remise : les épreuves ne sont pas indépendantes (loi hypergéométrique).
  3. Oui. \(n=15\), \(p=0{,}8\).
Exercice 3

Une machine produit des pièces dont 3 % sont défectueuses. On prélève un échantillon de 50 pièces. Modéliser et calculer la probabilité qu'il n'y ait aucune pièce défectueuse.

\(X\sim\mathcal{B}(50;0{,}03)\). \(P(X=0)=0{,}97^{50}\approx 0{,}218\).

Exercice 3 bis

Pile ou face — jeu équitable ou truqué ?

Un joueur lance une pièce de monnaie 20 fois de suite et compte le nombre de « Pile » obtenus. Soit \(X\) ce nombre.

  1. Si la pièce est équilibrée, quelle est la loi de \(X\) ? Préciser les paramètres.
  2. On suspecte la pièce d'être truquée avec \(P(\text{Pile})=0{,}7\). Soit \(Y\) le nombre de « Pile » dans ce cas. Quelle est la loi de \(Y\) ?
  3. Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\). Qu'observe-t-on ?
  4. Calculer \(P(X\geqslant 15)\) et \(P(Y\geqslant 15)\). Commenter.
  1. 20 lancers indépendants, chaque lancer a deux issues, \(P(\text{Pile})=0{,}5\). Donc \(X\sim\mathcal{B}(20;\ 0{,}5)\).
  2. Même raisonnement avec \(P(\text{Pile})=0{,}7\). Donc \(Y\sim\mathcal{B}(20;\ 0{,}7)\).
  3. \(E(X)=20\times 0{,}5=10\). \(E(Y)=20\times 0{,}7=14\). Avec la pièce truquée, on attend en moyenne 4 « Pile » de plus.
  4. \(P(X\geqslant 15)=1-P(X\leqslant 14)\approx 1-0{,}9941=0{,}0059\) (très rare avec une pièce équilibrée).
    \(P(Y\geqslant 15)=1-P(Y\leqslant 14)\approx 1-0{,}5836=0{,}4164\) (courant avec la pièce truquée).
    Observer 15 « Pile » ou plus est un indice fort que la pièce est truquée.
Exercice 3 ter

Contrôle qualité — ampoules

Une usine produit des ampoules LED dont 1 % présentent un défaut. On prélève un échantillon de 100 ampoules.

  1. Soit \(X\) le nombre d'ampoules défectueuses dans l'échantillon. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
  2. Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).
  3. Calculer \(P(X=0)\), c'est-à-dire la probabilité qu'aucune ampoule ne soit défectueuse.
  4. Calculer \(P(X\geqslant 3)\). L'usine rejette le lot si au moins 3 ampoules sont défectueuses. Ce rejet est-il fréquent ?
  1. 100 épreuves indépendantes (chaque ampoule est testée individuellement), deux issues (défectueuse ou non), \(p=0{,}01\) constant. Donc \(X\sim\mathcal{B}(100;\ 0{,}01)\).
  2. \(E(X)=100\times 0{,}01=1\). \(\sigma(X)=\sqrt{100\times 0{,}01\times 0{,}99}=\sqrt{0{,}99}\approx 0{,}995\).
  3. \(P(X=0)=0{,}99^{100}\approx 0{,}366\).
  4. \(P(X\geqslant 3)=1-P(X\leqslant 2)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]\).
    \(P(X=1)=\binom{100}{1}\times 0{,}01\times 0{,}99^{99}\approx 0{,}370\).
    \(P(X=2)=\binom{100}{2}\times 0{,}01^2\times 0{,}99^{98}\approx 0{,}185\).
    \(P(X\leqslant 2)\approx 0{,}366+0{,}370+0{,}185=0{,}921\).
    \(P(X\geqslant 3)\approx 0{,}079\). Le rejet survient dans environ 8 % des cas : c'est peu fréquent mais non négligeable.

C2 — Calculer des probabilités, résoudre des problèmes de seuil

Exercice 4

\(X\sim\mathcal{B}(8;0{,}4)\). Calculer :

  1. \(P(X=3)\)
  2. \(P(X\leqslant 2)\)
  3. \(P(3\leqslant X\leqslant 5)\)
  4. \(E(X)\) et \(\sigma(X)\)
  1. \(P(X=3)=\binom{8}{3}0{,}4^3\times 0{,}6^5=56\times 0{,}064\times 0{,}07776\approx 0{,}2787\).
  2. \(P(X\leqslant 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx 0{,}0168+0{,}0896+0{,}2090=0{,}3154\).
  3. \(P(3\leqslant X\leqslant 5)=P(X\leqslant 5)-P(X\leqslant 2)\approx 0{,}9502-0{,}3154=0{,}6348\).
  4. \(E(X)=3{,}2\). \(\sigma(X)=\sqrt{8\times 0{,}4\times 0{,}6}=\sqrt{1{,}92}\approx 1{,}386\).
Exercice 5

Un joueur lance un dé 12 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 ?

\(X\sim\mathcal{B}(12;\frac{1}{6})\). \(P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{12}\approx 1-0{,}112=0{,}888\).

Exercice 6

Combien de fois faut-il lancer un dé pour que la probabilité d'obtenir au moins un 6 dépasse 95 % ?

\(1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\geqslant 0{,}95\), soit \(\left(\frac{5}{6}\right)^n\leqslant 0{,}05\).

\(n\geqslant\frac{\ln 0{,}05}{\ln(5/6)}=\frac{-2{,}996}{-0{,}1823}\approx 16{,}4\). Il faut au moins 17 lancers.

Exercice 7

Un test de dépistage a une sensibilité de 95 % (probabilité de détecter un malade). On teste 200 personnes malades (indépendamment). Soit \(X\) le nombre de tests positifs.

  1. Quelle est la loi de \(X\) ?
  2. Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).
  3. Déterminer \(P(X\geqslant 185)\).
  1. \(X\sim\mathcal{B}(200;0{,}95)\).
  2. \(E(X)=190\). \(\sigma(X)=\sqrt{200\times 0{,}95\times 0{,}05}=\sqrt{9{,}5}\approx 3{,}08\).
  3. Par la calculatrice : \(P(X\geqslant 185)=1-P(X\leqslant 184)\approx 0{,}957\).
Exercice 8

Algorithme

Écrire un programme Python qui simule \(N=10\,000\) schémas de Bernoulli de paramètres \(n=20\), \(p=0{,}3\) et estime \(P(X\geqslant 8)\).

import random

N = 10000
n, p = 20, 0.3
compteur = 0

for _ in range(N):
    x = sum(1 for _ in range(n) if random.random() < p)
    if x >= 8:
        compteur += 1

print(f"Estimation de P(X>=8) : {compteur/N}")
# Valeur théorique : environ 0.228
Exercice 9

Calculs avec \(X\sim\mathcal{B}(15;\ 0{,}6)\)

Soit \(X\sim\mathcal{B}(15;\ 0{,}6)\).

  1. Calculer \(P(X=9)\).
  2. Calculer \(P(X\geqslant 10)\).
  3. Calculer \(P(8\leqslant X\leqslant 12)\).
  4. Calculer \(E(X)\) et vérifier que la valeur \(k=9\) est la plus probable.
  1. \(P(X=9)=\binom{15}{9}0{,}6^9\times 0{,}4^6=5005\times 0{,}6^9\times 0{,}4^6\approx 0{,}2066\).
  2. \(P(X\geqslant 10)=1-P(X\leqslant 9)\approx 1-0{,}5968=0{,}4032\).
  3. \(P(8\leqslant X\leqslant 12)=P(X\leqslant 12)-P(X\leqslant 7)\approx 0{,}9729-0{,}2131=0{,}7598\).
  4. \(E(X)=15\times 0{,}6=9\). La valeur la plus probable est effectivement \(k=9\) avec \(P(X=9)\approx 0{,}207\), le maximum de la distribution.
Exercice 10

Déterminer \(n\) pour un seuil donné

Un composant électronique a une probabilité \(p=0{,}01\) de tomber en panne chaque jour. On note \(X\) le nombre de pannes sur \(n\) jours.

  1. Quelle est la loi de \(X\) ?
  2. Exprimer \(P(X\geqslant 1)\) en fonction de \(n\).
  3. Déterminer le plus petit \(n\) tel que \(P(X\geqslant 1)>0{,}999\).
  4. Interpréter ce résultat.
  1. \(X\sim\mathcal{B}(n;\ 0{,}01)\).
  2. \(P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-0{,}99^n\).
  3. \(1-0{,}99^n > 0{,}999\), soit \(0{,}99^n < 0{,}001\).
    \(n > \dfrac{\ln 0{,}001}{\ln 0{,}99}=\dfrac{-6{,}908}{-0{,}01005}\approx 687{,}3\).
    Il faut au moins \(n=688\) jours.
  4. Il faut presque 2 ans d'utilisation continue pour être quasiment certain (à 99,9 %) qu'au moins une panne survienne.
Exercice 11

Comparaison de deux lois binomiales

On considère deux variables aléatoires : \(X\sim\mathcal{B}(20;\ 0{,}3)\) et \(Y\sim\mathcal{B}(10;\ 0{,}6)\).

  1. Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\). Que constate-t-on ?
  2. Calculer \(P(X\geqslant 8)\) et \(P(Y\geqslant 8)\).
  3. Calculer \(\sigma(X)\) et \(\sigma(Y)\). Laquelle des deux distributions est la plus « dispersée » ?
  4. Malgré la même espérance, les deux lois donnent-elles les mêmes probabilités ? Commenter.
  1. \(E(X)=20\times 0{,}3=6\). \(E(Y)=10\times 0{,}6=6\). Les deux espérances sont égales.
  2. \(P(X\geqslant 8)=1-P(X\leqslant 7)\approx 1-0{,}7723=0{,}2277\).
    \(P(Y\geqslant 8)=1-P(Y\leqslant 7)\approx 1-0{,}9453=0{,}0547\).
  3. \(\sigma(X)=\sqrt{20\times 0{,}3\times 0{,}7}=\sqrt{4{,}2}\approx 2{,}049\).
    \(\sigma(Y)=\sqrt{10\times 0{,}6\times 0{,}4}=\sqrt{2{,}4}\approx 1{,}549\).
    \(X\) est plus dispersée que \(Y\).
  4. Non. Bien que \(E(X)=E(Y)=6\), les probabilités diffèrent : \(P(X\geqslant 8)\approx 22{,}8\,\%\) contre \(P(Y\geqslant 8)\approx 5{,}5\,\%\). La forme de la distribution dépend à la fois de \(n\) et de \(p\), pas seulement de leur produit.
Exercice 12

Fiabilité — système redondant

Un système de sécurité est composé de 5 capteurs identiques et indépendants. Chaque capteur fonctionne avec une probabilité \(p=0{,}9\). Le système détecte l'alarme si au moins un capteur fonctionne. Soit \(X\) le nombre de capteurs en fonctionnement.

  1. Quelle est la loi de \(X\) ? Calculer \(E(X)\).
  2. Calculer la probabilité que le système détecte l'alarme.
  3. Calculer la probabilité que tous les capteurs fonctionnent.
  4. On souhaite une fiabilité de 99,999 % (probabilité de détection). Combien de capteurs faut-il installer ?
  1. \(X\sim\mathcal{B}(5;\ 0{,}9)\). \(E(X)=5\times 0{,}9=4{,}5\).
  2. \(P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-0{,}1^5=1-0{,}00001=0{,}99999\). Le système est extrêmement fiable.
  3. \(P(X=5)=0{,}9^5=0{,}59049\approx 0{,}590\).
  4. On veut \(P(X\geqslant 1)=1-0{,}1^n\geqslant 0{,}99999\), soit \(0{,}1^n\leqslant 0{,}00001=10^{-5}\).
    \(0{,}1^n=10^{-n}\leqslant 10^{-5}\), donc \(n\geqslant 5\).
    Il faut au moins 5 capteurs. Avec \(p=0{,}9\), le système atteint déjà cette fiabilité avec 5 capteurs.