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Interrogation — Ch12 : Calcul intégral

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _______________ Prénom : _______________ Date : _______________

Exercice 1 — Calculs d'intégrales (5 pts)

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,\mathrm{d}x\)
  2. \(\displaystyle\int_0^1 e^{x}\,\mathrm{d}x\)
  3. \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x\)

Exercice 2 — Valeur moyenne (3 pts)

Calculer la valeur moyenne de la fonction \(f(x) = x^2\) sur l'intervalle \([0\,;\,3]\).

Exercice 3 — Aire sous une courbe (3 pts)

Soit \(f(x) = -x^2 + 4\). Cette fonction est positive sur \([-2\,;\,2]\).

Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 2\).

Exercice 4 — Intégration par parties (4 pts)

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,\mathrm{d}x\) à l'aide d'une intégration par parties.

Exercice 5 — Aire entre deux courbes (5 pts)

On considère \(f(x) = 2x\) et \(g(x) = x^2\) sur l'intervalle \([0\,;\,2]\).

  1. Vérifier que \(f(x) \ge g(x)\) sur \([0\,;\,2]\).
  2. Calculer l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine compris entre les deux courbes sur \([0\,;\,2]\).

Correction

Exercice 1 (5 pts)

  1. (2 pts) Une primitive de \(3x^2-4x+1\) est \(x^3 - 2x^2 + x\).
    \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,\mathrm{d}x = \big[x^3 - 2x^2 + x\big]_0^2 = (8 - 8 + 2) - 0 = 2\).
  2. (1,5 pt) \(\displaystyle\int_0^1 e^{x}\,\mathrm{d}x = \big[e^{x}\big]_0^1 = e - 1\).
  3. (1,5 pt) \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = \big[-\cos x\big]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) + 1 = 2\).

Exercice 2 (3 pts)

\(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x\).

\(\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9\).

Donc \(\mu = \dfrac{1}{3}\times 9 = 3\).

Exercice 3 (3 pts)

Comme \(f \ge 0\) sur \([0\,;\,2]\), l'aire vaut \(\displaystyle\int_0^2 (-x^2 + 4)\,\mathrm{d}x\).

\(\displaystyle\int_0^2 (-x^2 + 4)\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac{x^3}{3} + 4x\right]_0^2 = \left(-\dfrac{8}{3} + 8\right) - 0 = -\dfrac{8}{3} + \dfrac{24}{3} = \dfrac{16}{3}\).

L'aire est de \(\dfrac{16}{3} \approx 5{,}33\) unités d'aire.

Exercice 4 (4 pts)

On pose \(u'(x) = e^{x}\) et \(v(x) = x\), donc \(u(x) = e^{x}\) et \(v'(x) = 1\).

\(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,\mathrm{d}x = \big[x\,e^{x}\big]_0^1 - \int_0^1 e^{x}\,\mathrm{d}x\).

\(\big[x\,e^{x}\big]_0^1 = 1\cdot e^{1} - 0\cdot e^{0} = e\) et \(\displaystyle\int_0^1 e^{x}\,\mathrm{d}x = \big[e^{x}\big]_0^1 = e - 1\).

Donc \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,\mathrm{d}x = e - (e - 1) = 1\).

Exercice 5 (5 pts)

  1. (2 pts) \(f(x) - g(x) = 2x - x^2 = x(2 - x)\). Sur \([0\,;\,2]\), \(x \ge 0\) et \(2 - x \ge 0\), donc \(f(x) - g(x) \ge 0\), c'est-à-dire \(f(x) \ge g(x)\).
  2. (3 pts) \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^2 \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x = \int_0^2 (2x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2\).
    \(= \left(4 - \dfrac{8}{3}\right) - 0 = \dfrac{12}{3} - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}\).
    L'aire vaut \(\dfrac{4}{3} \approx 1{,}33\) unités d'aire.