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Chapitre 12 – Calcul intégral

Exercices par capacités · Terminale générale

Capacités travaillées

C1 — Calculer une intégrale

Exercice 1

Calculer :

  1. \(\displaystyle\int_1^3 (2x^3-x+4)\,\mathrm{d}x\)
  2. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\mathrm{d}x\)
  3. \(\displaystyle\int_0^2 e^{-x}\,\mathrm{d}x\)
  4. \(\displaystyle\int_1^e \frac{3}{x}\,\mathrm{d}x\)
  1. \(\left[\frac{x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+4x\right]_1^3=(\frac{81}{2}-\frac{9}{2}+12)-(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+4)=36+12-4=44\).
  2. \([\sin x]_0^{\pi/2}=1-0=1\).
  3. \([-e^{-x}]_0^2=-e^{-2}+1=1-e^{-2}\).
  4. \([3\ln x]_1^e=3-0=3\).
Exercice 2

Calculer (fonctions composées) :

  1. \(\displaystyle\int_0^1 (2x+1)^3\,\mathrm{d}x\)
  2. \(\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x\)
  3. \(\displaystyle\int_0^{\ln 2} e^{2x}\,\mathrm{d}x\)
  1. \(\left[\frac{(2x+1)^4}{8}\right]_0^1=\frac{81}{8}-\frac{1}{8}=10\).
  2. \(\left[\frac{1}{2}\ln(x^2+1)\right]_0^1=\frac{1}{2}\ln 2-0=\frac{\ln 2}{2}\).
  3. \(\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^{\ln 2}=\frac{1}{2}(e^{2\ln 2}-1)=\frac{1}{2}(4-1)=\frac{3}{2}\).
Exercice 3

Calculer par IPP :

  1. \(\displaystyle\int_0^1 (x+1)e^x\,\mathrm{d}x\)
  2. \(\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x\)
  1. \(v=x+1\), \(v'=1\), \(u'=e^x\), \(u=e^x\).
    \([(x+1)e^x]_0^1-\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x=2e-1-(e-1)=e\).
  2. \(v=\ln x\), \(v'=\frac{1}{x}\), \(u'=\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), \(u=-\frac{1}{x}\).
    \(\left[-\frac{\ln x}{x}\right]_1^e+\int_1^e\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{e}+0+\left[-\frac{1}{x}\right]_1^e=-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}+1=1-\frac{2}{e}\).

C2 — Estimer ou encadrer une intégrale, calculer une valeur moyenne

Exercice 4

Encadrer \(\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\) sachant que pour \(x\in[0;1]\) : \(e^{-1}\leqslant e^{-x^2}\leqslant 1\).

Par intégration : \(\int_0^1 e^{-1}\,\mathrm{d}x \leqslant \int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x \leqslant \int_0^1 1\,\mathrm{d}x\).

\(e^{-1}\leqslant I\leqslant 1\), soit \(0{,}368\leqslant I\leqslant 1\).

Exercice 5

Montrer que \(\displaystyle\int_0^1\frac{x}{x+1}\,\mathrm{d}x\leqslant\frac{1}{2}\).

Sur \([0;1]\), \(x+1\geqslant 1\), donc \(\frac{x}{x+1}\leqslant x\).

\(\int_0^1\frac{x}{x+1}\,\mathrm{d}x\leqslant\int_0^1 x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\). □

Exercice 6

Calculer la valeur moyenne de \(f(x)=x^2\) sur \([0;3]\).

\(\mu=\frac{1}{3}\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}\times 9=3\).

Exercice 7

Calculer la valeur moyenne de \(f(x)=e^{-x}\) sur \([0;1]\) et interpréter.

\(\mu=\frac{1}{1}\int_0^1 e^{-x}\,\mathrm{d}x=[-e^{-x}]_0^1=1-e^{-1}\approx 0{,}632\).

La valeur moyenne de la fonction exponentielle décroissante sur \([0;1]\) est environ \(0{,}63\).

C3 — Calculer l'aire entre deux courbes

Exercice 8

Calculer l'aire entre \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=\sqrt{x}\) sur \([0;1]\).

Sur \([0;1]\), \(\sqrt{x}\geqslant x^2\) (car \(\sqrt{x}-x^2=\sqrt{x}(1-x^{3/2})\geqslant 0\)).

\(\mathcal{A}=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\).

Exercice 9

Calculer l'aire entre \(f(x)=x^2-2x\) et l'axe des abscisses sur \([0;3]\).

\(f(x)=x(x-2)\). \(f\leqslant 0\) sur \([0;2]\) et \(f\geqslant 0\) sur \([2;3]\).

\(\mathcal{A}=-\int_0^2(x^2-2x)\,\mathrm{d}x+\int_2^3(x^2-2x)\,\mathrm{d}x\).

\(\int_0^2(x^2-2x)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_0^2=\frac{8}{3}-4=-\frac{4}{3}\). Donc \(-(-\frac{4}{3})=\frac{4}{3}\).

\(\int_2^3(x^2-2x)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_2^3=(9-9)-(\frac{8}{3}-4)=0+\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\).

\(\mathcal{A}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\).

Exercice 10

Calculer l'aire entre les courbes de \(f(x)=e^x\) et \(g(x)=e^{2-x}\) sur \([0;2]\).

\(f(x)=g(x)\Leftrightarrow e^x=e^{2-x}\Leftrightarrow x=2-x\Leftrightarrow x=1\).

Sur \([0;1]\), \(e^x\leqslant e^{2-x}\) ; sur \([1;2]\), \(e^x\geqslant e^{2-x}\).

\(\mathcal{A}=\int_0^1(e^{2-x}-e^x)\,\mathrm{d}x+\int_1^2(e^x-e^{2-x})\,\mathrm{d}x\).

\(\int_0^1(e^{2-x}-e^x)\,\mathrm{d}x=[-e^{2-x}-e^x]_0^1=(-e-e)-(-e^2-1)=e^2-2e+1=(e-1)^2\).

Par symétrie (le problème est symétrique par rapport à \(x=1\)) : la seconde intégrale vaut aussi \((e-1)^2\).

\(\mathcal{A}=2(e-1)^2\approx 5{,}87\).

C4 — Interpréter une intégrale ou une valeur moyenne dans un contexte

Exercice 11

La vitesse d'un mobile est \(v(t)=3t^2+2\) (en m/s). Calculer la distance parcourue entre \(t=0\) et \(t=4\) s.

\(d=\int_0^4(3t^2+2)\,\mathrm{d}t=[t^3+2t]_0^4=64+8=72\) m.

Exercice 12

La température extérieure sur une journée (0 ≤ t ≤ 24, en heures) est modélisée par \(T(t)=15+8\sin\left(\frac{\pi}{12}(t-9)\right)\).

  1. Calculer la température moyenne sur la journée.
  2. Interpréter le résultat.
  1. \(\mu=\frac{1}{24}\int_0^{24}\left(15+8\sin\left(\frac{\pi}{12}(t-9)\right)\right)\mathrm{d}t\).
    \(\int_0^{24}15\,\mathrm{d}t=360\).
    \(\int_0^{24}8\sin\left(\frac{\pi}{12}(t-9)\right)\mathrm{d}t=8\left[-\frac{12}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{12}(t-9)\right)\right]_0^{24}\).
    \(=-\frac{96}{\pi}\left[\cos\left(\frac{15\pi}{12}\right)-\cos\left(\frac{-9\pi}{12}\right)\right]=-\frac{96}{\pi}\left[\cos\frac{5\pi}{4}-\cos\frac{-3\pi}{4}\right]\).
    \(\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos\frac{-3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Différence = 0.
    \(\mu=\frac{360}{24}=15°\text{C}\).
  2. La température moyenne est 15°C. La sinusoïde oscille symétriquement autour de 15°C sur une période complète (24h), donc la moyenne est la valeur centrale.