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Interrogation — Ch11 : Primitives et équations différentielles

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _______________ Prénom : _______________ Date : _______________

Exercice 1 — Primitives de fonctions de référence (4 pts)

Déterminer une primitive \(F\) de chaque fonction :

  1. \(f(x) = 4x^3 - 6x + 2\)
  2. \(g(x) = 3e^x + \sin x\)
  3. \(h(x) = \dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\)
  4. \(k(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\)

Exercice 2 — Primitives de fonctions composées (4 pts)

Déterminer une primitive de chaque fonction :

  1. \(f(x) = (3x - 2)^4\)
  2. \(g(x) = 2e^{-2x}\)
  3. \(h(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 5}\)

Exercice 3 — Primitive avec condition initiale (3 pts)

Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = e^{2x} + x\) qui vérifie \(F(0) = 1\).

Exercice 4 — Équation \(y' = ay\) (3 pts)

  1. Résoudre l'équation différentielle \(y' = -4y\).
  2. Déterminer la solution vérifiant \(y(0) = 5\).

Exercice 5 — Équation \(y' = ay + b\) (6 pts)

On étudie l'équation différentielle \((E):\ y' = -2y + 8\).

  1. Déterminer la solution particulière constante de \((E)\).
  2. Donner la forme générale des solutions de \((E)\).
  3. Déterminer la solution \(f\) vérifiant \(f(0) = 1\).
  4. Déterminer la limite de \(f(x)\) quand \(x \to +\infty\) et interpréter.

Correction

Exercice 1 (4 pts — 1 pt par primitive)

  1. \(F(x) = x^4 - 3x^2 + 2x\) (vérif. : \(F'(x)=4x^3-6x+2\) ✓).
  2. \(F(x) = 3e^x - \cos x\) (car une primitive de \(\sin x\) est \(-\cos x\)).
  3. \(h(x)=x^{-2}\), donc \(F(x) = -\dfrac{1}{x}\) (vérif. : \(\left(-x^{-1}\right)'=x^{-2}\) ✓).
  4. \(F(x) = \ln x\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Exercice 2 (4 pts)

  1. (2 pts) \(u=3x-2\), \(u'=3\). On écrit \(f(x)=\dfrac{1}{3}\times 3(3x-2)^4\), donc \(F(x) = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{(3x-2)^5}{5} = \dfrac{(3x-2)^5}{15}\).
    Vérif. : \(F'(x)=\dfrac{5\times 3(3x-2)^4}{15}=(3x-2)^4\) ✓.
  2. (1 pt) \(u=-2x\), \(u'=-2\). \(g(x)=2e^{-2x}=-(-2)e^{-2x}=-u'e^{u}\), donc \(F(x) = -e^{-2x}\).
    Vérif. : \(F'(x)=-(-2)e^{-2x}=2e^{-2x}\) ✓.
  3. (1 pt) Forme \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u=x^2+5\), \(u'=2x\). Donc \(F(x) = \ln(x^2+5)\) (le dénominateur est toujours positif, valeur absolue inutile).

Exercice 3 (3 pts)

Primitives générales : \(F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + \dfrac{x^2}{2} + C\).

Condition \(F(0)=1\) : \(\dfrac{1}{2}e^{0} + 0 + C = 1\), soit \(\dfrac{1}{2} + C = 1\), donc \(C = \dfrac{1}{2}\).

Conclusion : \(F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{1}{2}\).

Exercice 4 (3 pts)

  1. (1,5 pt) Les solutions de \(y'=ay\) sont \(y(x)=Ce^{ax}\). Ici \(a=-4\) : \(y(x) = Ce^{-4x}\), \(C\in\mathbb{R}\).
  2. (1,5 pt) \(y(0) = C = 5\), donc \(y(x) = 5e^{-4x}\).

Exercice 5 (6 pts)

  1. (1,5 pt) Une solution constante \(y=k\) vérifie \(y'=0\), donc \(0 = -2k + 8\), soit \(k = 4\).
  2. (1,5 pt) Forme générale : \(y(x) = Ce^{-2x} + 4\) (avec \(a=-2\), \(-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{8}{-2}=4\)), \(C\in\mathbb{R}\).
  3. (1,5 pt) \(f(0) = C + 4 = 1\), donc \(C = -3\). Ainsi \(f(x) = -3e^{-2x} + 4\).
    Vérif. : \(f'(x)=6e^{-2x}\) et \(-2f(x)+8 = 6e^{-2x}-8+8 = 6e^{-2x}\) ✓.
  4. (1,5 pt) Quand \(x \to +\infty\), \(e^{-2x} \to 0\), donc \(f(x) \to 4\). La fonction tend vers la solution d'équilibre \(y = 4\) : quel que soit le départ, la solution se stabilise à long terme à la valeur \(4\).