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Chapitre 11 – Primitives et équations différentielles

Exercices par capacités · Terminale générale

Capacités travaillées

C1 — Calculer une primitive

Exercice 1

Déterminer une primitive de chaque fonction :

  1. \(f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7\)
  2. \(g(x) = \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\)
  3. \(h(x) = 2\cos x - 3\sin x + e^x\)
  1. \(F(x) = x^5 - x^3 + 7x\).
  2. \(G(x) = -\frac{3}{x} + \ln x\).
  3. \(H(x) = 2\sin x + 3\cos x + e^x\).
Exercice 2

Déterminer une primitive (reconnaître la forme \(u'/u\), \(u'e^u\), etc.) :

  1. \(f(x) = \frac{6x}{3x^2+1}\)
  2. \(g(x) = (4x+2)e^{2x^2+2x}\)
  3. \(h(x) = \frac{\cos x}{\sin x}\) sur \(]0;\pi[\)
  4. \(k(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\)
  1. \(u=3x^2+1\), \(u'=6x\). Forme \(\frac{u'}{u}\). \(F(x)=\ln(3x^2+1)\).
  2. \(u=2x^2+2x\), \(u'=4x+2\). Forme \(u'e^u\). \(G(x)=e^{2x^2+2x}\).
  3. \(u=\sin x\), \(u'=\cos x\). Forme \(\frac{u'}{u}\). \(H(x)=\ln(\sin x)\).
  4. \(u=x^2+4\), \(u'=2x\). \(k(x)=\frac{1}{2}\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)... Plus simple : \(k(x)=\frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{1}{2}\frac{u'}{\sqrt{u}}\). Forme \(\frac{u'}{2\sqrt{u}}\). \(K(x)=\sqrt{x^2+4}\).
Exercice 3

Déterminer une primitive de \(f(x) = \frac{1}{2x+3}\) sur \(]-\frac{3}{2};+\infty[\).

\(u=2x+3\), \(u'=2\). \(f(x)=\frac{1}{2}\frac{u'}{u}\). \(F(x)=\frac{1}{2}\ln(2x+3)\).

Exercice 4

Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = \sin(2x) + 3\cos x\) telle que \(F(0) = 1\).

\(F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x)+3\sin x+C\).

\(F(0) = -\frac{1}{2}+0+C=1\), \(C=\frac{3}{2}\). \(F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x)+3\sin x+\frac{3}{2}\).

Exercice 5

Déterminer une primitive de \(f(x)=xe^{x^2}\).

\(u=x^2\), \(u'=2x\). \(f(x)=\frac{1}{2}u'e^u\). \(F(x)=\frac{1}{2}e^{x^2}\).

C2 — Résoudre \(y'=ay+b\) et déterminer une solution particulière

Exercice 6

Résoudre les équations différentielles :

  1. \(y' = 4y\)
  2. \(y' = -\frac{1}{2}y\) avec \(y(0) = 10\)
  3. \(2y' + y = 0\)
  1. \(y=Ce^{4x}\).
  2. \(y=Ce^{-x/2}\). \(C=10\). \(y=10e^{-x/2}\).
  3. \(y'=-\frac{1}{2}y\). \(y=Ce^{-x/2}\).
Exercice 7

Résoudre les équations différentielles :

  1. \(y' = 3y - 9\)
  2. \(y' = -2y + 8\) avec \(y(0) = 1\)
  3. \(y' + 5y = 15\) avec \(y(0) = 0\)
  1. \(k=-\frac{-9}{3}=3\). \(y=Ce^{3x}+3\).
  2. \(k=-\frac{8}{-2}=4\). \(y=Ce^{-2x}+4\). \(y(0)=C+4=1\), \(C=-3\). \(y=-3e^{-2x}+4\).
  3. \(y'=-5y+15\). \(k=3\). \(y=Ce^{-5x}+3\). \(y(0)=C+3=0\), \(C=-3\). \(y=3(1-e^{-5x})\).
Exercice 8

Un condensateur se charge selon la loi \(q'(t) = -\frac{1}{RC}q(t)+\frac{E}{R}\) avec \(R=100\,\Omega\), \(C=10^{-3}\,\text{F}\), \(E=12\,\text{V}\) et \(q(0)=0\).

  1. Résoudre l'équation différentielle.
  2. Déterminer la charge limite.
  1. \(RC=0{,}1\). \(q'=-10q+120\). \(k=12\times 10^{-3}=0{,}012\). Non : \(k=-\frac{120}{-10}=12\times 10^{-3}\). Recalculons : \(\frac{E}{R}=\frac{12}{100}=0{,}12\). Donc \(q'=-10q+0{,}12\). \(k=\frac{0{,}12}{10}=0{,}012\). \(q=Ce^{-10t}+0{,}012\). \(q(0)=C+0{,}012=0\), \(C=-0{,}012\). \(q(t)=0{,}012(1-e^{-10t})\).
  2. \(\lim_{+\infty}q = 0{,}012 = CE = 12\times 10^{-3}\,\text{C}\).
Exercice 9

La population \(P(t)\) (en milliers) d'une espèce vérifie \(P'(t)=0{,}02P(t)-1\) avec \(P(0)=80\).

  1. Résoudre l'équation différentielle.
  2. Déterminer la population limite.
  3. La population croît-elle ou décroît-elle ?
  1. \(a=0{,}02\), \(b=-1\). \(k=-\frac{-1}{0{,}02}=50\). \(P=Ce^{0{,}02t}+50\). \(P(0)=C+50=80\), \(C=30\). \(P(t)=30e^{0{,}02t}+50\).
  2. \(\lim_{+\infty}P=+\infty\). La population ne se stabilise pas, elle croît indéfiniment (modèle valable sur un temps limité).
  3. \(P'(t)=0{,}02\times 30e^{0{,}02t}=0{,}6e^{0{,}02t}>0\). La population est croissante.
Exercice 10

Problème de synthèse

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(0)=1\) et \(f'(x)+f(x)=e^{-2x}\) pour tout \(x\).

  1. On pose \(g(x)=e^x f(x)\). Calculer \(g'(x)\) et en déduire une expression de \(g(x)\).
  2. En déduire \(f(x)\).
  1. \(g'(x) = e^x f(x)+e^x f'(x) = e^x(f(x)+f'(x)) = e^x\cdot e^{-2x}=e^{-x}\).
    Donc \(g(x)=-e^{-x}+C\). \(g(0)=e^0 f(0)=1\), et \(-1+C=1\), \(C=2\). \(g(x)=-e^{-x}+2\).
  2. \(f(x)=e^{-x}g(x)=e^{-x}(-e^{-x}+2)=-e^{-2x}+2e^{-x}\).