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Interrogation — Ch10 : Fonctions trigonométriques

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _______________ Prénom : _______________ Date : _______________

Exercice 1 — Dérivées (4 pts)

Dériver les fonctions suivantes sur \(\mathbb{R}\) :

  1. \(f(x) = 3\sin x - 5\cos x\)
  2. \(g(x) = \cos(4x)\)
  3. \(h(x) = \sin(x^2 + 1)\)
  4. \(k(x) = x\sin x\)

Exercice 2 — Valeurs et propriétés (3 pts)

  1. Donner les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{\pi}{3}\), \(\sin\dfrac{\pi}{4}\) et \(\cos\dfrac{\pi}{6}\).
  2. La fonction cosinus est-elle paire ou impaire ? Et la fonction sinus ?
  3. Quelle est la période commune des fonctions \(\sin\) et \(\cos\) ?

Exercice 3 — Équations trigonométriques (5 pts)

Résoudre sur l'intervalle \([-\pi\,;\,\pi]\) :

  1. \(\cos x = \dfrac{1}{2}\)
  2. \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\)
  3. \(\cos(2x) = 0\)

Exercice 4 — Inéquation (3 pts)

Résoudre sur \([-\pi\,;\,\pi]\) l'inéquation \(\cos x \ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Exercice 5 — Étude d'une fonction (5 pts)

Soit \(f(x) = \cos x + \dfrac{1}{2}\cos(2x)\).

  1. Montrer que \(f\) est paire.
  2. Calculer \(f'(x)\) et la factoriser sous la forme \(-\sin x\,(1 + 2\cos x)\).
  3. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([0\,;\,\pi]\) puis dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0\,;\,\pi]\).

Correction

Exercice 1 (4 pts — 1 pt par dérivée)

  1. \(f'(x) = 3\cos x + 5\sin x\) (car \((\sin x)'=\cos x\) et \((\cos x)'=-\sin x\)).
  2. \(g'(x) = -4\sin(4x)\) (forme \((\cos u)'=-u'\sin u\) avec \(u=4x\)).
  3. \(h'(x) = 2x\cos(x^2+1)\) (forme \((\sin u)'=u'\cos u\) avec \(u=x^2+1\), \(u'=2x\)).
  4. \(k'(x) = \sin x + x\cos x\) (produit : \((x)'\sin x + x(\sin x)'\)).

Exercice 2 (3 pts — 1 pt par question)

  1. \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ; \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
  2. Cosinus est paire : \(\cos(-x)=\cos x\). Sinus est impaire : \(\sin(-x)=-\sin x\).
  3. Les deux fonctions sont \(2\pi\)-périodiques : la période commune est \(2\pi\).

Exercice 3 (5 pts)

  1. \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) : la valeur de référence est \(x_0 = \dfrac{\pi}{3}\). Sur \([-\pi\,;\,\pi]\), \(x = \dfrac{\pi}{3}\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{3}\). (2 pts)
  2. \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\) : on connaît \(\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\). Les solutions sur \([-\pi\,;\,\pi]\) sont \(x = -\dfrac{\pi}{6}\) et \(x = -\pi + \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{5\pi}{6}\).
    Vérification : \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\) ✓ et \(\sin\!\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\sin\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}\) ✓. (2 pts)
  3. \(\cos(2x)=0 \iff 2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \iff x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}\ (k\in\mathbb{Z})\). Sur \([-\pi\,;\,\pi]\) : \(x \in \left\{-\dfrac{3\pi}{4}\,;\,-\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{3\pi}{4}\right\}\). (1 pt)

Exercice 4 (3 pts)

On résout \(\cos x \ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\). La valeur de référence vérifie \(\cos x_0 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), soit \(x_0 = \dfrac{\pi}{4}\). Sur \([-\pi\,;\,\pi]\), le cosinus est supérieur ou égal à \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) près de \(0\), c'est-à-dire pour les angles proches de la valeur \(1\) du cosinus :

\(\cos x \ge \dfrac{\sqrt{2}}{2} \iff x \in \left[-\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{\pi}{4}\right]\).

Exercice 5 (5 pts)

  1. (1 pt) \(f(-x) = \cos(-x) + \dfrac{1}{2}\cos(-2x) = \cos x + \dfrac{1}{2}\cos(2x) = f(x)\) (cosinus paire). Donc \(f\) est paire.
  2. (2 pts) \(f'(x) = -\sin x + \dfrac{1}{2}\times(-2\sin(2x)) = -\sin x - \sin(2x)\).
    Or \(\sin(2x) = 2\sin x\cos x\), donc \(f'(x) = -\sin x - 2\sin x\cos x = -\sin x\,(1 + 2\cos x)\).
  3. (2 pts) Sur \([0\,;\,\pi]\), \(\sin x \ge 0\) donc \(-\sin x \le 0\). Le signe de \(f'\) dépend de \(1 + 2\cos x\).
    \(1 + 2\cos x = 0 \iff \cos x = -\dfrac{1}{2} \iff x = \dfrac{2\pi}{3}\).
    • Sur \(\left]0\,;\,\dfrac{2\pi}{3}\right[\) : \(\cos x \gt -\dfrac{1}{2}\) donc \(1+2\cos x \gt 0\) et \(f'(x) \lt 0\) (décroissante).
    • Sur \(\left]\dfrac{2\pi}{3}\,;\,\pi\right[\) : \(1+2\cos x \lt 0\) et \(f'(x) \gt 0\) (croissante).
    Valeurs : \(f(0) = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\) ; \(f\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{1}{2}\cos\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\times\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{3}{4}\) ; \(f(\pi) = -1 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}\).
    Tableau : \(f\) décroît de \(\dfrac{3}{2}\) à \(-\dfrac{3}{4}\) sur \(\left[0\,;\,\dfrac{2\pi}{3}\right]\), puis croît de \(-\dfrac{3}{4}\) à \(-\dfrac{1}{2}\) sur \(\left[\dfrac{2\pi}{3}\,;\,\pi\right]\). Minimum \(-\dfrac{3}{4}\) atteint en \(x=\dfrac{2\pi}{3}\).