← Retour au sommaire

Chapitre 10 – Fonctions trigonométriques

Exercices par capacités · Terminale générale

Capacités travaillées

C1 — Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique

Exercice 1

Résoudre sur \([-\pi;\pi]\) :

  1. \(\sin x = \frac{1}{2}\)
  2. \(\cos x = -1\)
  3. \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
  1. \(x = \frac{\pi}{6}\) ou \(x = \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\).
  2. \(x = \pi\) (ou \(x=-\pi\), même point).
  3. \(x = -\frac{\pi}{3}\) ou \(x = \pi+\frac{\pi}{3}-2\pi = -\frac{2\pi}{3}\).
Exercice 2

Résoudre sur \([0;2\pi]\) : \(2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0\).

On pose \(X=\cos x\). \(2X^2-X-1=0\), \(\Delta=9\), \(X=1\) ou \(X=-\frac{1}{2}\).

\(\cos x=1\) : \(x=0\) ou \(x=2\pi\). \(\cos x=-\frac{1}{2}\) : \(x=\frac{2\pi}{3}\) ou \(x=\frac{4\pi}{3}\).

Solutions : \(\{0,\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ 2\pi\}\).

Exercice 3

Résoudre sur \([-\pi;\pi]\) : \(\sin(2x) = \sin x\).

\(\sin(2x)-\sin x=0\), \(2\sin x\cos x-\sin x=0\), \(\sin x(2\cos x-1)=0\).

\(\sin x=0\) : \(x=0\) ou \(x=\pm\pi\). \(\cos x=\frac{1}{2}\) : \(x=\pm\frac{\pi}{3}\).

Solutions : \(\{-\pi,\ -\frac{\pi}{3},\ 0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi\}\).

Exercice 4

Résoudre sur \([-\pi;\pi]\) l'inéquation \(\sin x \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\sin x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\) avec \(x_0 = \frac{\pi}{4}\). L'autre solution est \(\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}\).

\(\sin x \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\) sur \(\left[\frac{\pi}{4};\ \frac{3\pi}{4}\right]\).

Exercice 5

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) : \(\cos(3x) = \cos(x)\).

\(\cos(3x)=\cos(x)\) donne deux familles :

\(3x = x + 2k\pi\), soit \(2x=2k\pi\), \(x=k\pi\).

Ou \(3x=-x+2k\pi\), soit \(4x=2k\pi\), \(x=\frac{k\pi}{2}\).

La première famille est incluse dans la seconde. Solutions : \(x = \frac{k\pi}{2}\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Exercice 6

Résoudre sur \([-\pi;\pi]\) : \(2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0\).

On pose \(X=\sin x\). L'équation devient \(2X^2-X-1=0\).

\(\Delta=1+8=9\). \(X=\frac{1\pm 3}{4}\). Donc \(X=1\) ou \(X=-\frac{1}{2}\).

Cas 1 : \(\sin x = 1\). Sur \([-\pi;\pi]\) : \(x=\frac{\pi}{2}\).

Cas 2 : \(\sin x = -\frac{1}{2}\). Sur \([-\pi;\pi]\) : \(x=-\frac{\pi}{6}\) ou \(x=-\frac{5\pi}{6}\).

Solutions : \(S=\left\{-\frac{5\pi}{6};\ -\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}\right\}\).

Exercice 7

Résoudre sur \([0;2\pi]\) : \(\cos(2x) + \cos(x) = 0\).

Indication : utiliser \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\).

On remplace : \(2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0\), soit \(2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0\).

On pose \(X=\cos x\). \(2X^2+X-1=0\). \(\Delta=1+8=9\). \(X=\frac{-1\pm 3}{4}\).

\(X=\frac{1}{2}\) ou \(X=-1\).

Cas 1 : \(\cos x = \frac{1}{2}\). Sur \([0;2\pi]\) : \(x=\frac{\pi}{3}\) ou \(x=\frac{5\pi}{3}\).

Cas 2 : \(\cos x = -1\). Sur \([0;2\pi]\) : \(x=\pi\).

Solutions : \(S=\left\{\frac{\pi}{3};\ \pi;\ \frac{5\pi}{3}\right\}\).

C2 — Étudier une fonction trigonométrique

Exercice 8

Soit \(f(x) = \cos x + \sin x\).

  1. Montrer que \(f(x) = \sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\).
  2. En déduire les variations de \(f\) sur \([0;2\pi]\) et ses extremums.
  1. \(\cos x+\sin x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x+\sin\frac{\pi}{4}\sin x\right) = \sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\).
  2. \(f\) est un cosinus de période \(2\pi\), d'amplitude \(\sqrt{2}\), décalé de \(\frac{\pi}{4}\).
    Max = \(\sqrt{2}\) en \(x=\frac{\pi}{4}\). Min = \(-\sqrt{2}\) en \(x=\frac{5\pi}{4}\).
Exercice 9

Soit \(f(x) = \sin^2 x\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Montrer que \(f(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}\).
  2. En déduire la période, les variations sur \([0;\pi]\) et la dérivée.
  1. \(\cos(2x) = 1-2\sin^2 x\), donc \(\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}\). ✓
  2. Période : \(\cos(2x)\) a pour période \(\pi\), donc \(f\) a pour période \(\pi\).
    \(f'(x) = \frac{\sin(2x)\times 2}{2}=\sin(2x)\). \(f'=0\) pour \(x=0,\frac{\pi}{2},\pi\).
    \(f'>0\) sur \(]0;\frac{\pi}{2}[\), \(f'<0\) sur \(]\frac{\pi}{2};\pi[\). Max en \(\frac{\pi}{2}\) : \(f(\frac{\pi}{2})=1\). Min en \(0\) et \(\pi\) : \(f=0\).
Exercice 10

Soit \(f(x) = x + 2\sin x\) sur \([0;2\pi]\).

  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Montrer que \(f'(x)=0\) a exactement deux solutions sur \([0;2\pi]\).
  3. Dresser le tableau de variations.
  1. \(f'(x) = 1+2\cos x\).
  2. \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \cos x=-\frac{1}{2}\). Sur \([0;2\pi]\) : \(x=\frac{2\pi}{3}\) et \(x=\frac{4\pi}{3}\).
  3. \(f'>0\) sur \([0;\frac{2\pi}{3}[\) et \(]\frac{4\pi}{3};2\pi]\), \(f'<0\) sur \(]\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}[\).
    \(f(0)=0\), \(f(\frac{2\pi}{3})=\frac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\approx 3{,}83\), \(f(\frac{4\pi}{3})=\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}\approx 2{,}46\), \(f(2\pi)=2\pi\approx 6{,}28\).
Exercice 11

Un projectile est lancé avec une vitesse \(v_0\) et un angle \(\theta\) par rapport à l'horizontale. La portée est \(R(\theta)=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}\).

  1. Pour quel angle \(\theta\in]0;\frac{\pi}{2}[\) la portée est-elle maximale ?
  2. Montrer que deux angles complémentaires donnent la même portée.
  1. \(R(\theta)\) est maximale quand \(\sin(2\theta)=1\), soit \(2\theta=\frac{\pi}{2}\), \(\theta=\frac{\pi}{4}=45°\).
  2. \(R\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{v_0^2\sin(\pi-2\theta)}{g}=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}=R(\theta)\). ✓
Exercice 12

Problème de synthèse

Soit \(f(x) = e^x\cos x\) sur \([0;\pi]\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et la factoriser.
  2. Résoudre \(f'(x)=0\) sur \([0;\pi]\).
  3. Dresser le tableau de variations.
  4. Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \([0;\pi]\) et la déterminer.
  1. \(f'(x) = e^x\cos x+e^x(-\sin x) = e^x(\cos x-\sin x)\).
  2. \(e^x>0\), donc \(f'(x)=0\Leftrightarrow\cos x=\sin x\Leftrightarrow\tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}\).
  3. \(f'>0\) sur \([0;\frac{\pi}{4}[\), \(f'<0\) sur \(]\frac{\pi}{4};\pi]\).
    \(f(0)=1\), \(f(\frac{\pi}{4})=e^{\pi/4}\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 1{,}55\) (max), \(f(\pi)=e^\pi\cos\pi=-e^\pi\approx -23{,}1\).
  4. \(f(x)=0\Leftrightarrow e^x\cos x=0\Leftrightarrow\cos x=0\) (car \(e^x\neq 0\)). Sur \([0;\pi]\), \(\cos x=0\) pour \(x=\frac{\pi}{2}\). Unique solution : \(x=\frac{\pi}{2}\).
Exercice 13

Soit \(f(x) = \dfrac{\cos x}{2+\sin x}\) définie sur \([0;2\pi]\).

  1. Justifier que \(f\) est bien définie sur \([0;2\pi]\).
  2. Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x) = \dfrac{-1-2\sin x}{(2+\sin x)^2}\).
  3. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
  1. Pour tout \(x\), \(\sin x \geqslant -1\), donc \(2+\sin x \geqslant 1 > 0\). Le dénominateur ne s'annule jamais. ✓
  2. Par la formule du quotient : \[f'(x)=\frac{-\sin x(2+\sin x)-\cos x\cdot\cos x}{(2+\sin x)^2}=\frac{-2\sin x-\sin^2 x-\cos^2 x}{(2+\sin x)^2}=\frac{-2\sin x-1}{(2+\sin x)^2}=\frac{-(1+2\sin x)}{(2+\sin x)^2}\]
  3. \((2+\sin x)^2>0\). Donc \(f'(x)=0\Leftrightarrow\sin x=-\frac{1}{2}\), soit \(x=\frac{7\pi}{6}\) et \(x=\frac{11\pi}{6}\) sur \([0;2\pi]\).
    \(f'(x)\leqslant 0\) quand \(1+2\sin x\geqslant 0\), c'est-à-dire \(\sin x\geqslant -\frac{1}{2}\), soit \(x\in\left[0;\frac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{11\pi}{6};2\pi\right]\).
    \(f'>0\) sur \(\left]\frac{7\pi}{6};\frac{11\pi}{6}\right[\).
    Valeurs : \(f(0)=\frac{1}{2}\), \(f\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx -0{,}577\), \(f\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0{,}577\), \(f(2\pi)=\frac{1}{2}\).
Exercice 14

Soit \(f(x) = x - 2\cos x\) définie sur \([0;\pi]\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f\) est strictement croissante sur \([0;\pi]\).
  2. Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([0;\pi]\).
  3. Encadrer \(\alpha\) à \(0{,}1\) près.
  1. \(f'(x)=1+2\sin x\). Sur \([0;\pi]\), \(\sin x\geqslant 0\), donc \(f'(x)\geqslant 1>0\) : \(f\) est strictement croissante. ✓
  2. \(f(0)=0-2\cos 0=-2<0\). \(f(\pi)=\pi-2\cos\pi=\pi+2\approx 5{,}14>0\).
    \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0;\pi]\), avec \(f(0)<0<f(\pi)\). Par le TVI, l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\). ✓
  3. \(f(1)=1-2\cos 1\approx 1-1{,}08=-0{,}08<0\). \(f(1{,}1)\approx 1{,}1-2\cos(1{,}1)\approx 1{,}1-0{,}91=0{,}19>0\).
    Donc \(\alpha\in]1{,}0;\ 1{,}1[\).
Exercice 15

Optimisation

On considère la fonction \(f(\theta) = \sin\theta + \sin(2\theta)\) définie sur \(]0;\pi[\).

  1. Calculer \(f'(\theta)\).
  2. En utilisant \(\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1\), montrer que \(f'(\theta)=\cos\theta(4\cos\theta+1)\) [à un facteur près]. Plus précisément, montrer que \(f'(\theta)=\cos\theta+2\cos(2\theta)\) puis factoriser.
  3. Résoudre \(f'(\theta)=0\) sur \(]0;\pi[\).
  4. Dresser le tableau de variations et déterminer le maximum de \(f\) sur \(]0;\pi[\).
  1. \(f'(\theta)=\cos\theta+2\cos(2\theta)\).
  2. On remplace \(\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1\) : \[f'(\theta)=\cos\theta+2(2\cos^2\theta-1)=4\cos^2\theta+\cos\theta-2\] On pose \(X=\cos\theta\) : \(4X^2+X-2\). Le discriminant vaut \(\Delta=1+32=33\).
    \(X=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{8}\). Soit \(X_1=\frac{-1+\sqrt{33}}{8}\approx 0{,}593\) et \(X_2=\frac{-1-\sqrt{33}}{8}\approx -0{,}843\).
  3. \(f'(\theta)=0\) quand \(\cos\theta=X_1\approx 0{,}593\) ou \(\cos\theta=X_2\approx -0{,}843\).
    Sur \(]0;\pi[\) : \(\theta_1=\arccos(X_1)\approx 0{,}936\) et \(\theta_2=\arccos(X_2)\approx 2{,}573\).
  4. \(f'>0\) sur \(]0;\theta_1[\), \(f'<0\) sur \(]\theta_1;\theta_2[\), \(f'>0\) sur \(]\theta_2;\pi[\).
    Maximum en \(\theta_1\approx 0{,}936\) : \(f(\theta_1)=\sin(\theta_1)+\sin(2\theta_1)\approx 0{,}806+0{,}968\approx 1{,}76\).
    Minimum local en \(\theta_2\) : \(f(\theta_2)\approx 0{,}537+\sin(5{,}146)\approx 0{,}537-0{,}906\approx -0{,}369\).
    \(f(0^+)=0\), \(f(\pi^-)=0\). Le maximum global de \(f\) sur \(]0;\pi[\) est environ \(1{,}76\), atteint en \(\theta\approx 0{,}94\) rad \(\approx 53{,}6°\).