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Interrogation — Ch09 : Fonction logarithme

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _______________________ Prénom : _______________________ Date : __________

Exercice 1 — Calculs et propriétés algébriques (4 pts)

Donner la valeur exacte de chaque expression.

  1. \(\ln(e^4)\)
  2. \(e^{\ln 7}\)
  3. \(\ln(25) - \ln(5)\)
  4. \(2\ln 5 + \ln 4 - \ln 100\)

Exercice 2 — Dérivée de \(\ln u\) (4 pts)

Dériver les fonctions suivantes en précisant l'ensemble de dérivation lorsqu'il est demandé.

  1. \(f(x) = \ln(4x+3)\) sur \(\left]-\tfrac{3}{4}\,;+\infty\right[\)
  2. \(g(x) = \ln(x^2+1)\)
  3. \(h(x) = x\ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\)

Exercice 3 — Équations avec ln (4 pts)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\), en précisant les conditions d'existence.

  1. \(\ln(3x-1) = 2\)
  2. \(\ln x + \ln(x+3) = \ln 10\)

Exercice 4 — Inéquation avec ln (3 pts)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(\ln(2x-4) \le 0\), en précisant la condition d'existence.

Exercice 5 — Étude de fonction et inégalité (5 pts)

Soit \(f(x) = x - \ln x\) définie sur \(]0\,;+\infty[\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et l'écrire sous la forme \(\dfrac{x-1}{x}\).
  2. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(]0\,;+\infty[\) et en déduire le sens de variation de \(f\).
  3. Calculer la valeur minimale de \(f\).
  4. En déduire que pour tout \(x \gt 0\) : \(\ln x \le x - 1\).

Correction

Exercice 1.

a) \(\ln(e^4)=4\).

b) \(e^{\ln 7}=7\).

c) \(\ln 25-\ln 5=\ln\dfrac{25}{5}=\ln 5\).

d) \(2\ln 5+\ln 4-\ln 100=\ln 25+\ln 4-\ln 100=\ln(25\times 4)-\ln 100=\ln 100-\ln 100=0\).

Exercice 2.

a) \(u(x)=4x+3\), \(u'(x)=4\). \(f'(x)=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{4}{4x+3}\).

b) \(u(x)=x^2+1\gt 0\), \(u'(x)=2x\). \(g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\).

c) \(h'(x)=1\times\ln x + x\times\dfrac{1}{x}=\ln x + 1\).

Exercice 3.

a) Condition d'existence : \(3x-1\gt 0\), soit \(x\gt \dfrac{1}{3}\). On a \(\ln(3x-1)=2 \iff 3x-1=e^2 \iff x=\dfrac{e^2+1}{3}\). Comme \(\dfrac{e^2+1}{3}\approx 2{,}80\gt \dfrac{1}{3}\), la solution est \(x=\dfrac{e^2+1}{3}\).

b) Conditions : \(x\gt 0\) et \(x+3\gt 0\), donc \(x\gt 0\). \(\ln x+\ln(x+3)=\ln\big(x(x+3)\big)=\ln 10\), d'où \(x(x+3)=10\), soit \(x^2+3x-10=0\). Le discriminant vaut \(9+40=49\), racines \(x=\dfrac{-3\pm 7}{2}\) : \(x=2\) ou \(x=-5\). On rejette \(x=-5\) (hors condition). Solution : \(x=2\).

Exercice 4.

Condition d'existence : \(2x-4\gt 0\), soit \(x\gt 2\). On a \(\ln(2x-4)\le 0=\ln 1\). Comme \(\ln\) est strictement croissante : \(2x-4\le 1\), soit \(2x\le 5\), \(x\le \dfrac{5}{2}\). En tenant compte de la condition : \(x\in\left]2\,;\dfrac{5}{2}\right]\).

Exercice 5.

a) \(f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}\).

b) Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x\gt 0\), donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x-1\). Ainsi \(f'(x)\lt 0\) sur \(]0\,;1[\) (\(f\) décroissante) et \(f'(x)\gt 0\) sur \(]1\,;+\infty[\) (\(f\) croissante).

c) \(f\) admet un minimum en \(x=1\) : \(f(1)=1-\ln 1=1-0=1\).

d) Pour tout \(x\gt 0\), \(f(x)\ge f(1)=1\), c'est-à-dire \(x-\ln x\ge 1\). En réarrangeant : \(\ln x\le x-1\). \(\square\)