QCM – Continuité des fonctions

Chapitre 8 | Mathématiques | Terminale générale

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

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La fonction \(f\) est continue en \(a\) lorsque :

\(f(a)=0\) \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) \(f'(a)\) existe \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\)

Toute fonction dérivable en \(a\) est :

continue en \(a\) constante au voisinage de \(a\) croissante en \(a\) nulle en \(a\)

Quelle fonction est continue en \(0\) mais non dérivable en \(0\) ?

\(x^2\) \(e^x\) \(|x|\) \(3x+1\)

Soit \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\) pour \(x\ne 2\) et \(f(2)=3\). La fonction est-elle continue en \(2\) ?

Oui Oui, car \(f(2)=3\) Impossible à savoir Non, car \(\lim_{x\to 2}f(x)=4\ne 3\)

Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) suppose surtout que la fonction est :

dérivable deux fois continue sur \([a\,;b]\) positive paire

Soit \(f(x)=x^3+x-1\). On a \(f(0)=-1\) et \(f(1)=1\). On peut affirmer que :

l'équation \(f(x)=0\) a une solution dans \(]0\,;1[\) \(f\) n'a aucune racine \(f(x)=0\) a une solution dans \(]1\,;2[\) \(f\) est décroissante

Pour garantir l'unicité de la solution de \(f(x)=k\), il faut que \(f\) soit continue et :

positive bornée strictement monotone impaire

Soit \(f(x)=x^3+x-1\), strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). L'équation \(f(x)=0\) admet :

aucune solution exactement une solution exactement deux solutions une infinité de solutions

Dichotomie sur \([0\,;1]\) pour \(f(x)=x^3+x-1\). On calcule \(f(0{,}5)=-0{,}375\lt 0\) et \(f(1)\gt 0\). La solution est dans :

\([0{,}5\,;1]\) \([0\,;0{,}5]\) \([0\,;0{,}25]\) on ne peut pas conclure

En dichotomie sur \([a\,;b]\), la précision atteinte après \(n\) étapes est :

\(n(b-a)\) \(\dfrac{b-a}{n}\) \(\dfrac{b-a}{2n}\) \(\dfrac{b-a}{2^n}\)

La suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers \(\ell\) et \(f\) est continue en \(\ell\). Alors \(\ell\) vérifie :

\(f(\ell)=0\) \(f(\ell)=\ell\) \(f'(\ell)=\ell\) \(\ell=0\)

L'image d'un segment \([a\,;b]\) par une fonction continue est :

un seul point une demi-droite un segment \([m\,;M]\) \(\mathbb{R}\) tout entier