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Interrogation — Ch08 : Continuité des fonctions

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _______________________ Prénom : _______________________ Date : __________

Exercice 1 — Continuité en un point (3 pts)

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \dfrac{x^2-9}{x-3}\) pour \(x \ne 3\) et \(f(3) = 5\).

  1. Simplifier l'expression de \(f(x)\) pour \(x \ne 3\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x)\).
  2. La fonction \(f\) est-elle continue en \(3\) ? Justifier.
  3. Quelle valeur faudrait-il donner à \(f(3)\) pour que \(f\) soit continue en \(3\) ?

Exercice 2 — Existence d'une solution par le TVI (4 pts)

Soit \(g(x) = x^3 + x - 5\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Justifier que \(g\) est continue sur \([1\,;2]\).
  2. Calculer \(g(1)\) et \(g(2)\).
  3. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que l'équation \(g(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]1\,;2[\).

Exercice 3 — Existence et unicité (5 pts)

On reprend la fonction \(g(x) = x^3 + x - 5\).

  1. Calculer \(g'(x)\) et montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
  2. En déduire que l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\).
  3. Justifier que \(\alpha \in ]1\,;2[\).

Exercice 4 — Méthode de dichotomie (4 pts)

On cherche à encadrer la solution \(\alpha\) de \(g(x) = x^3 + x - 5 = 0\), avec \(\alpha \in [1\,;2]\).

On rappelle que \(g(1) = -3\) et \(g(2) = 5\).

  1. Calculer le milieu \(c\) de l'intervalle \([1\,;2]\), puis \(g(c)\).
  2. En déduire un nouvel intervalle de longueur \(0{,}5\) contenant \(\alpha\).
  3. Effectuer une étape de plus de dichotomie pour obtenir un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}25\).

Exercice 5 — Suite récurrente et point fixe (4 pts)

Soit \(f(x) = \sqrt{x+6}\) et la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

  1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\) (valeurs exactes).
  2. Résoudre l'équation \(f(x) = x\) pour \(x \ge 0\).
  3. On admet que \((u_n)\) converge. Sachant que \(f\) est continue, déterminer la limite de \((u_n)\). Justifier.

Correction

Exercice 1.

a) Pour \(x\ne 3\) : \(f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=3+3=6\).

b) On a \(\lim_{x\to 3}f(x)=6\) alors que \(f(3)=5\). Comme \(6 \ne 5\), \(f\) n'est pas continue en \(3\).

c) Il faudrait poser \(f(3)=6\) pour que \(\lim_{x\to 3}f(x)=f(3)\).

Exercice 2.

a) \(g\) est une fonction polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([1\,;2]\).

b) \(g(1)=1+1-5=-3\) et \(g(2)=8+2-5=5\).

c) \(g\) est continue sur \([1\,;2]\) et \(g(1)=-3\lt 0\), \(g(2)=5\gt 0\) : \(g(1)\) et \(g(2)\) sont de signes contraires. Par le théorème des valeurs intermédiaires (cas \(k=0\)), il existe au moins un réel \(c\in]1\,;2[\) tel que \(g(c)=0\).

Exercice 3.

a) \(g'(x)=3x^2+1\). Pour tout réel \(x\), \(3x^2\ge 0\) donc \(g'(x)\ge 1\gt 0\). Ainsi \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

b) \(g\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), avec \(\lim_{-\infty}g=-\infty\) et \(\lim_{+\infty}g=+\infty\). \(0\) est compris entre ces deux limites : par le TVI (version bijection), l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\).

c) \(g(1)=-3\lt 0\) et \(g(2)=5\gt 0\), et \(g\) est strictement croissante : la solution \(\alpha\) vérifie donc \(\alpha\in]1\,;2[\).

Exercice 4.

a) \(c=\dfrac{1+2}{2}=1{,}5\). \(g(1{,}5)=1{,}5^3+1{,}5-5=3{,}375+1{,}5-5=-0{,}125\lt 0\).

b) \(g(1{,}5)\lt 0\) et \(g(2)\gt 0\) : ils sont de signes contraires, donc \(\alpha\in]1{,}5\,;2[\) (intervalle de longueur \(0{,}5\)).

c) Nouveau milieu : \(c=\dfrac{1{,}5+2}{2}=1{,}75\). \(g(1{,}75)=1{,}75^3+1{,}75-5=5{,}359+1{,}75-5\approx 2{,}11\gt 0\). Comme \(g(1{,}5)\lt 0\) et \(g(1{,}75)\gt 0\), on a \(\alpha\in]1{,}5\,;1{,}75[\), encadrement d'amplitude \(0{,}25\).

Exercice 5.

a) \(u_1=f(u_0)=\sqrt{0+6}=\sqrt{6}\). \(u_2=f(u_1)=\sqrt{\sqrt{6}+6}\).

b) Pour \(x\ge 0\) : \(\sqrt{x+6}=x \iff x+6=x^2\) (avec \(x\ge 0\)) \(\iff x^2-x-6=0 \iff (x-3)(x+2)=0\). Donc \(x=3\) ou \(x=-2\) ; comme \(x\ge 0\), la seule solution est \(x=3\).

c) Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et que \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell\) est solution de \(f(\ell)=\ell\). D'après b), le seul point fixe positif est \(3\). Comme tous les termes \(u_n\) sont positifs, la limite est \(\ell=3\).