Exercices par capacités · Terminale générale
Montrer que l'équation \(x^5 + x - 3 = 0\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\).
\(f(x)=x^5+x-3\). \(f'(x)=5x^4+1>0\) : \(f\) strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(\lim_{-\infty}f=-\infty\), \(\lim_{+\infty}f=+\infty\). Par TVI (bijection), une unique solution.
\(f(1)=-1<0\), \(f(2)=31>0\) : \(\alpha \in ]1;2[\).
Montrer que l'équation \(e^x+x=2\) admet une unique solution et l'encadrer à \(0{,}1\) près.
\(g(x)=e^x+x-2\). \(g'(x)=e^x+1>0\) : strictement croissante.
\(\lim_{-\infty}g=-\infty\), \(\lim_{+\infty}g=+\infty\). Unique solution par TVI.
\(g(0)=-1<0\), \(g(1)=e-1\approx 1{,}72>0\) : \(\alpha\in]0;1[\).
\(g(0{,}4)\approx 1{,}49+0{,}4-2=-0{,}11<0\). \(g(0{,}5)\approx 1{,}65+0{,}5-2=0{,}15>0\).
\(\alpha \in ]0{,}4;\ 0{,}5[\).
Combien l'équation \(x^3-3x+1=0\) admet-elle de solutions dans \(\mathbb{R}\) ?
\(f(x)=x^3-3x+1\). \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). \(f'=0\) pour \(x=-1\) et \(x=1\).
\(f\) croissante sur \(]-\infty;-1[\), décroissante sur \(]-1;1[\), croissante sur \(]1;+\infty[\).
\(f(-1)=-1+3+1=3>0\). \(f(1)=1-3+1=-1<0\).
Max local = 3 > 0, min local = -1 < 0. \(\lim_{-\infty}f=-\infty\), \(\lim_{+\infty}f=+\infty\).
Par le TVI sur chaque branche monotone : 3 solutions.
Soit \(f(x) = \ln x - \frac{1}{x}\). Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \(]0;+\infty[\).
\(f'(x) = \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} = \frac{x+1}{x^2}>0\) pour \(x>0\). \(f\) strictement croissante.
\(\lim_{0^+}f = -\infty-\infty = -\infty\). \(\lim_{+\infty}f = +\infty-0 = +\infty\).
Par TVI, une unique solution. \(f(1)=0-1=-1<0\), \(f(e)=1-\frac{1}{e}\approx 0{,}63>0\). Solution dans \(]1;e[\).
Appliquer la méthode de dichotomie pour encadrer à \(10^{-2}\) près la solution de \(e^x=3-x\) dans \([0;1]\).
Indication : utiliser un programme Python.
import math
def g(x):
return math.exp(x) - 3 + x
a, b = 0, 1
while b - a > 0.01:
c = (a + b) / 2
if g(a) * g(c) < 0:
b = c
else:
a = c
print(f"alpha in [{a:.4f}, {b:.4f}]")Résultat : \(\alpha \in [0{,}7910;\ 0{,}7969]\), soit \(\alpha \approx 0{,}79\).
Soit \(f(x) = x - \cos x\). Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\) et l'encadrer entre deux entiers consécutifs.
\(f'(x) = 1+\sin x \geqslant 0\) pour tout \(x\) (car \(\sin x \geqslant -1\)). \(f'=0\) seulement pour \(x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\) : \(f\) est strictement croissante.
\(\lim_{-\infty}f=-\infty\), \(\lim_{+\infty}f=+\infty\). Unique solution par TVI.
\(f(0) = -1<0\), \(f(1) = 1-\cos 1\approx 0{,}46>0\). Solution dans \(]0;1[\).
Montrer que l'équation \(x\,e^x = 2\) admet une unique solution sur \(]0;+\infty[\) et l'encadrer entre deux entiers consécutifs.
On pose \(g(x)=x\,e^x - 2\) sur \(]0;+\infty[\).
\(g'(x)=e^x + x\,e^x = e^x(1+x)\). Pour \(x>0\), \(e^x>0\) et \(1+x>0\), donc \(g'(x)>0\) : \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
\(\lim_{0^+}g = 0\times 1-2 = -2 < 0\). \(\lim_{+\infty}g = +\infty\).
Par le TVI (bijection), l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0;+\infty[\).
Encadrement : \(g(0)=-2<0\). \(g(1)=e-2\approx 0{,}72>0\). Donc \(\alpha\in]0;1[\).
Montrer que l'équation \(\cos(x) = x^2\) admet exactement 2 solutions dans \(\mathbb{R}\).
Indication : utiliser la parité et le TVI.
On pose \(h(x)=\cos x - x^2\).
Argument de symétrie : \(h(-x)=\cos(-x)-(-x)^2=\cos x - x^2 = h(x)\). La fonction \(h\) est paire, donc il suffit d'étudier \(h\) sur \([0;+\infty[\) et les solutions seront symétriques.
Étude sur \([0;+\infty[\) : \(h'(x)=-\sin x - 2x\). Pour \(x>0\), \(-\sin x \leqslant 0\) et \(-2x<0\), donc \(h'(x)<0\) : \(h\) est strictement décroissante sur \(]0;+\infty[\).
\(h(0)=1-0=1>0\). Pour \(x\geqslant\frac{\pi}{2}\), \(\cos x\leqslant 1\) et \(x^2\geqslant\frac{\pi^2}{4}\approx 2{,}47\), donc \(h(x)<0\). En particulier \(h(2)=\cos 2 - 4\approx -4{,}42 <0\).
Par le TVI, il existe une unique solution \(\alpha>0\) avec \(\alpha\in]0;2[\).
Par parité, \(-\alpha\) est aussi solution. Comme \(h\) est paire et strictement décroissante sur \(]0;+\infty[\), il n'y a pas d'autre solution.
Conclusion : l'équation admet exactement 2 solutions : \(\alpha\) et \(-\alpha\), avec \(\alpha\approx 0{,}82\).
Dichotomie avec Python
L'équation \(x^3 - 2x - 5 = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([2;3]\).
def f(x):
return x**3 - 2*x - 5
a, b = 2, 3
while b - a > 0.01:
c = (a + b) / 2
if f(a) * f(c) < 0:
b = c
else:
a = c
print(f"alpha in [{a:.4f}, {b:.4f}]")Soit \(f(x) = \frac{x+4}{2}\) et \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).
Soit \(f(x) = \frac{1}{2-x}\) et \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).
Soit \(f(x) = x^2\) et \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0{,}5\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).
Soit \(f(x) = \cos x\) et \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \cos(u_n)\).
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{3}{u_n}\right)\).
Méthode de Newton
Pour résoudre \(f(x)=0\) avec \(f(x)=x^2-2\) (racine de 2), on utilise la suite définie par :
\[u_{n+1} = u_n - \frac{f(u_n)}{f'(u_n)} = u_n - \frac{u_n^2-2}{2u_n} = \frac{u_n^2+2}{2u_n} = \frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)\]avec \(u_0 = 2\).