Continuité des fonctions | Terminale générale | Mathématiques
Dernière mise à jour : 15 juin 2026
\(f\) est continue sur \([1;6]\), avec \(f(1)=4\) et \(f(6)=-2\).
1. L'équation \(f(x)=0\) a-t-elle une solution sur \([1;6]\) ? Justifie. (3 pts)
2. Peut-on affirmer qu'elle est unique ? Pourquoi ? (3 pts)
1. Oui : \(f\) continue, \(0\) compris entre \(4\) et \(-2\) → au moins une solution (TVI).
2. Non, pas sans information sur la monotonie : il faut savoir que \(f\) est strictement monotone pour conclure à l'unicité.
Soit \(f(x)=x^3+3x-5\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Calcule \(f'(x)\) et donne le sens de variation de \(f\). (4 pts)
2. Montre que \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\). (4 pts)
3. Sachant \(f(1)=-1\) et \(f(1{,}2)\approx0{,}33\), encadre \(\alpha\). (2 pts)
1. \(f'(x)=3x^2+3>0\) → \(f\) strictement croissante et continue sur \(\mathbb{R}\).
2. \(f\) continue, strictement croissante, \(\lim_{-\infty}f=-\infty\), \(\lim_{+\infty}f=+\infty\) : par le TVI (corollaire), \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\).
3. \(f(1)=-1<0<0{,}33=f(1{,}2)\) → \(1<\alpha<1{,}2\).
\(g\) continue sur \([0;8]\) : croît de \(g(0)=-1\) à \(g(3)=4\), puis décroît de \(g(3)=4\) à \(g(8)=-2\). Combien de solutions pour \(g(x)=0\) ?
Sur \([0;3]\) (croissante de \(-1\) à \(4\)) : une solution. Sur \([3;8]\) (décroissante de \(4\) à \(-2\)) : une solution. Total : 2 solutions.